《清華微積分高等數(shù)學(xué)第四講連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《清華微積分高等數(shù)學(xué)第四講連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（33頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021-5-29 1 作 業(yè)P50 綜 合 題 1. 4.P49 習(xí) 題 2.4 11. 13. 14.預(yù) 習(xí) ： P5158 2021-5-29 2 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì)第 四 講一 、 連 續(xù) 函 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì)二 、 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性三 、 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 2021-5-29 3 一 、 函 數(shù) 連 續(xù) 性 的 基 本 性 質(zhì)（ 一 ） 連 續(xù) 性 定 義 的 等 價(jià) 形 式 ：下列命題等價(jià)則的某鄰域內(nèi)有定義在設(shè),)( 0 xxf )()(lim)1( 00 xfxfxx )()()()2( 0 xxfxf )0)(lim( 0

2、xxx 其中 2021-5-29 4 )()()(, 0)(lim)4( 000 00 xfxfxfxxx xfx 既左連續(xù)又右連續(xù)在點(diǎn)）（03 xf )()(lim)(lim 000 xfxfxf xxxx （ 二 ） 連 續(xù) 函 數(shù) 的 有 界 性 ： )( , 0 00有界在點(diǎn)簡(jiǎn)稱某鄰域上有界的在則連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xf xfxf 2021-5-29 5.)()( ),(,0 . ,0)(,0 000 00同號(hào)與上使在即的某鄰域上保號(hào)在點(diǎn)則且連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xfxf xxxf xfxf （ 三 ） 連 續(xù) 函 數(shù) 的 保 號(hào) 性 ： 2021-5-29 6 連續(xù)也在0 )2( xgf 則連續(xù)都

3、在點(diǎn)若, 0 xgf連續(xù)也在函數(shù)對(duì)任意常數(shù)0 ,)1( x gf 連續(xù)也在則若00 ,0)()3( xgfxg （ 四 ） 連 續(xù) 函 數(shù) 的 運(yùn) 算 性 質(zhì) ：. )(),( ,)(,)()4( 000 00連續(xù)在則復(fù)合函數(shù)且連續(xù)在連續(xù)在若ttgftgx xxfttgx 2021-5-29 7（ 六 ） 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 上 是 連 續(xù) 的 。 （ 五 ） 關(guān) 于 反 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性. )(),()(),( )(, ,)( 1嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)上也或區(qū)間在閉則其反函數(shù)單調(diào)且連續(xù)上嚴(yán)格在閉區(qū)間若函數(shù)afbfbfaf yfx baxfy

4、結(jié) 論 ： 2021-5-29 8 1. 基 本 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性（ 1） 由 連 續(xù) 定 義 可 驗(yàn) 證 基 本 初 等 函 數(shù) ：的連續(xù)性常量函數(shù)xexC x ln,sin, 00lim xxxx ee 證明0)1(lim 00 xxxx e 0)1(lim0 xx e例 2021-5-29 9（ 3） 用 連 續(xù) 函 數(shù) 四 則 運(yùn) 算 性 質(zhì) 證 明 基 本 初 等 函 數(shù) :的連續(xù)性xxxx csc,sec,cot,tan （ 2） 用 復(fù) 合 函 數(shù) 及 反 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 證 明 基 本 初 等 函 數(shù) :的連續(xù)性xxx xxex x arctan,arcc

5、os,arcsin ),2sin(cos,ln 2021-5-29 10 2. 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 由 基 本 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ,運(yùn) 用 連 續(xù)函 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 、 復(fù) 合 運(yùn) 算 就 推 出 所 有初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 上 處 處 連 續(xù) . .,21cos)( Znnxxxf 定義域?yàn)殡x散點(diǎn)是初等函數(shù)。例： 2021-5-29 11 的連續(xù)性。研究函數(shù)例nn nnn xx xxxf 2lim)( 解 的表達(dá)式先求)(xf 1, ,1,0 ,10,111lim)( 22 22 xx x xxxxf nnn .,)(, ),1(),1,0

6、(),0,1(),1,(所以連續(xù)是初等函數(shù)上在xf 非 初 等 函 數(shù) 連 續(xù) 性 問 題 舉 例 2021-5-29 12 1)(lim,1)(lim 11 xfxf xx 1)(lim,1)(lim 11 xfxf xx 1)(lim 0 xfx可去型間斷點(diǎn)0 x 間斷點(diǎn)1,0 xx 第一類間斷點(diǎn)1x 2021-5-29 13 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)討論下列函數(shù)的連續(xù)性例0, ,0,21 ,0,11)( 1 xe xxxxxf x ., 11)(,0在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)時(shí)當(dāng)xxxfx 解 2021-5-29 14 .,)(,0 1在定義區(qū)間上連續(xù)也是初等函數(shù)時(shí)當(dāng)xexfx )0(2111lim)

7、(lim 00 fxxxf xx xexf xx 100 lim)(lim ).)(:( )(0.0 ,0)(, 0處右連續(xù)在注意第二類間斷點(diǎn)的是點(diǎn)處不連續(xù)在點(diǎn)處都是連續(xù)的在綜上所述xxf xfxx xxf 2021-5-29 15 1. 有 界 性 定 理 ：. ,)(,有界上在則設(shè)函數(shù)baxfbaCf 使得則存在兩點(diǎn)設(shè)函數(shù), , 21 baxx baCf )(max)(),(min)( 21 xfxfxfxf bxabxa 2. 最 大 最 小 值 定 理 ： 三 、 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 2021-5-29 16 3. 零 點(diǎn) 定 理 ： .0)(),( ,0)()

8、(, fba bfafbaCf使得則存在且設(shè)函數(shù) o by xa 2021-5-29 17 4. 介 值 定 理 ： )( ),(, )()( ),()(,f babfaf bfafbaCf使得存在一點(diǎn)實(shí)數(shù)之間的任何一個(gè)與對(duì)于介于則設(shè)函數(shù)推 論 ： , baCf 設(shè))(min ),(max , xfmxfM baxbax 使得則對(duì)任意),(),( baMm )(f 2021-5-29 18 o b y xa Mm f(x)g(x) 2021-5-29 19 證 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) )()( xfxg令0)()(,)( bgagbaCxg則使?jié)M足知存在運(yùn)用零點(diǎn)定理),(, ba0)( g )

9、(f 介 值 定 理 的 證 明 2021-5-29 20 ).)( )()1,0( 1)(0,1,0)(的不動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)稱為，使得試證：存在，且滿足設(shè)例xf f xfCxf ,)()( xxfxg 構(gòu)造函數(shù)證明,1,0)( Cxg 則 有 ,01)1()1(,0)0()0( fgfg 且結(jié)論。即得上應(yīng)用零點(diǎn)定理，在對(duì),10)(xg 2021-5-29 21 的實(shí)根研究方程例019: 3 xx解 19)( 3 xxxf令試 算 01)3( f 09)2( f 1)2,3( x內(nèi)有一個(gè)根方程在 07)1( f 01)0( f 2)0,1( x有一個(gè)根方程在 01)3( f 027)4( f 3)4,3

10、( x有一個(gè)根方程在根 據(jù) 代 數(shù) 基 本 定 理 三 次 多 項(xiàng) 式 最 多 有 三 個(gè) 實(shí) 根是方程的全部實(shí)根321 , xxx 2021-5-29 22 .)( 1221120至少存在一個(gè)實(shí)根證明奇次多項(xiàng)式例 nnn axaxaxP 證 ),()( CxP )()( 12 121012 nnn xaxaaxxP 00 a不妨設(shè) )(lim,)(lim xPxP xx 0)(,0)(,0 rPrPr使0)(),(, cPrrc使根據(jù)零點(diǎn)定理 2021-5-29 23 . 03162715:至少有兩個(gè)實(shí)根證明方程例 xxx 3162715)( xxxxf設(shè)證 內(nèi)都連續(xù)和在開區(qū)間則)3,2()

11、2,1()(xf )3162715(lim)(lim 11 xxxxf xx )3162715(lim)(lim 22 xxxxf xx 2021-5-29 24 0)(,0)( bfaf使閉區(qū)間存在以證明利用無窮大量的定義可),2,1(, ,ba .)2,1(, 03162715:,內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根從而在在方程即ba xxx 0)(, 11 xfbax使根據(jù)零點(diǎn)定理.)3,2( 03162715:,內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根在方程同法可證 xxx 2021-5-29 25 .), ,)(lim,),能取到最小值在則且若函數(shù)例baf xfbaCf bx 證 )(lim xfbx Mxfbcxbcac )

12、(),(,:有 01),(max afM對(duì)于,()()(, ,)( 00 caxxfxfcax caCxf 使根據(jù)最大最小值定理因?yàn)?),能取到最小值在綜上所述baf 2021-5-29 26 )31()(,1,0 :),1()0(1,0 000 xfxfx ffCf使證明且設(shè)函數(shù)例證 )31()()( xfxfxg令32,0)( Cxg .,0)(,32,0 00命題得證使若 xgx 0)(,32,0 xgx有不妨設(shè)0)(0)(,32,0, xgxg或必有上在否則 2021-5-29 27 0)31()0()0( ffg 0)32()31()31( ffg 0)1()32()32( ffg

13、)1()0( ff 矛 盾 ！ .0)(,32,0 00 xgx使故)31()(,1,0 000 xfxfx使即 2021-5-29 28 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分 2021-5-29 29 一 、 引 言兩 個(gè) 典 型 背 景 示 例例 1 運(yùn) 動(dòng) 物 體 的 瞬 時(shí) 速 度設(shè) 汽 車 沿 t軸 作 直 線 運(yùn) 動(dòng) , 若 己 知 其 運(yùn) 動(dòng)規(guī) 律 (路 程 與 時(shí) 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 )為求 在 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速 度 . )(txx 0t 0t ttt 0 t 2021-5-29 30 解 的平均速度到求時(shí)段ttt 00)1( t txttxttv )()(),( 000 速度平均速度

14、的極限是瞬時(shí))2( t txttxtv t )()(lim)( 0000 如 果 極 限 存 在 , 這 個(gè) 極 限 值 就 是 汽 車 的瞬 時(shí) 速 度 . 2021-5-29 31 例 2 曲 線 的 切 線 斜 率 問 題 ).(,( ),(),( .,)( )()(, 00 0000 xfy yxMLbax baCxf bxaxfyL 其中的切線在點(diǎn)求曲線其方程為設(shè)曲線什 麼 是 曲 線 的 切 線 ？ 2021-5-29 32 x y o 0M N0 x xx 0 T)(: xfyL 的極限位置就是切線 割線時(shí)當(dāng),0MN 割線切線 2021-5-29 33x xfxxfxk x )()(lim)( 0000 x xfxxfxxk )()(),( 000 的割線斜率到求區(qū)間xxx 00)1(斜率割線斜率的極限是切線)2( )()( 000 xxxkxfy 的切線方程在點(diǎn)曲線),()3( 000 yxML