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1、 線 性 代 數 新 教 材 精 彩 案 例 李 尚 志 北 京 航 空 航 天 大 學 2021-5-30 一 、 指 導 思 想1、 主 題 文 學 : 永 恒 主 題 = 愛 + 死 ? 數 學 : 重 要 主 題 = 方 程 +函 數 微 積 分 : 非 線 性 線 性 線 性 代 數 : 多 元 一 次 方 程 組 +多 元 一 次 函 數 組 2021-5-30 空 間 解 析 幾 何 = 3 維 線 性 代 數 線 性 代 數 = n 維 解 析 幾 何 空 間 為 體 ， 矩 陣 為 用 幾 何 問 題 矩 陣 語 言 描 述 矩 陣 運 算 解 決 幾 何 解 方 程 組 幾

2、 何 描 述 代 數 語 言 描 述 矩 陣 運 算 求 解2、 代 數 幾 何 熔 一 爐 2021-5-30 幾 何 PK 代 數 幾 何 好 看 不 好 算 代 數 好 算 不 好 看 幾 何 代 數 : 幫 助 計 算 代 數 幾 何 ： 幫 助 理 解 2021-5-30 內 容 : 最 簡 單 的 方 程 - 一 次 方 程 最 簡 單 的 函 數 - 一 次 函 數 算 法 少 ： 只 有 兩 個 (1) 矩 陣 初 等 變 換 ， (2) 矩 陣 乘 法 。 通 過 初 等 矩 陣 相 互 轉 化 1 . 5 個3、 線 性 代 數 之 易 2021-5-30 不 怪 抽 象

3、， 不 怪 學 生 怪 誰 ： 只 為 考 試 死 記 硬 背 ， 不 解 決 問 題 解 方 程 組 只 會 用 中 學 代 入 法 ; 判 定 方 程組 解 的 惟 一 性 不 會 用 線 性 無 關 ; 算 旋 轉不 會 用 矩 陣 乘 法 ; 算 旋 轉 軸 不 會 用 特 征向 量 ; 抽 象 =許 多 不 同 事 物 共 同 點 =難 得 糊 涂 =放 之 四 海 皆 準 =無 招 勝 有 招4、 線 性 代 數 之 難 :抽 象 2021-5-30 學 會 少 量 算 法 ， 解 決 大 量 問 題 各 種 問 題 轉 化 (凌 波 微 步 )少 量 算 法 無 招 勝 有 招

4、如 何 實 現 ： 通 過 有 招 學 無 招 積 累 案 例 ， 使 用 案 例 案 例 ： 陽 春 白 雪 下 里 巴 人 抽 象 數 學 貼 近 生 活 ， 喜 聞 樂 見 ， 易 學 易 用5、 線 性 代 數 之 教 學 任 務 博 客 與 視 頻 http:/ http:/ 比 夢 更 美 好 , 名 師 培 養(yǎng) 了 我 數 學 家 的 文 學 故 事 數 學 聊 齋 , 數 學 詩 選視 頻 : 李 尚 志訪 談 :教 育 人 生 數 學 的 草 根 本 色 CCTV1見 證 與 親 歷 :首 博 誕 生 記 網 上 資 源 http:/ 精 品 課 程 國 家 級 數 學 實

5、 驗 (2003),線 性 代 數 (2004) http:/教 育 部 線 性 代 數 (非 數 學 專 業(yè) )(2006) 高 等 數 學 (2008) (鄭 志 明 ) 聯 系 辦 法 : lisz 2021-5-30 數 學 的 神 韻 科 學 出 版 社 2010.4 新 書 介 紹 已 出 版 教 材 李 尚 志 , 線 性 代 數 (數 學 專 業(yè) 用 ), 高 等 教 育 出 版 社 ,2006.5 精 品 課 程 網 頁http:/ 2021-5-30 案 例 1.1 解 n元 一 次 方 程 組 與 中 學 接 軌 ： 加 減 消 去 法 各 方 程 乘 常 數 再 相

6、加 = 線 性 組 合 原 方 程 組 解 新 方 程 解 原 方 程 解 ? 怎 樣 保 證 :變 形 前 后 互 為 線 性 組 合 ! 怎 樣 實 現 :初 等 變 換 ,高 斯 消 去 法 。 只 計 算 系 數 :矩 陣 消 元 . 只 用 到 加 減 乘 除 :數 域 2021-5-30 案 例 2.1 方 程 組 惟 一 解 問 題 例 1.過 已 知 點 的 多 項 式 函 數 曲 線 方 程 組 的 解 是 否 惟 一 : 2021-5-30 方 程 組 惟 一 解 問 題 例 2.已 知 電 壓 與 各 電 阻 ,求 各 段 電 流 對 任 意 電 阻 值 有 惟 一 解

7、? 物 理 ： yes. 代 數 ： 方 程 組 總 有 惟 一 解 嗎 ？ 二 元 一 次 方 程 組 的 幾 何 意 義寫 成 向 量 形 式惟 一 解 條 件 : OA,OB 不 共 線 ,組 成 平 面 上 一 組 基案 例 2.2 n=2,3的 幾 何 解 法 用 各 aj 線 性 組 合 b,何 時 系 數 惟 一 ？案 例 2.3. n元 方 程 組 幾 何 解 釋 2021-5-30 案 例 2.4 共 線 共 面 概 念 推 廣 幾 何 概 念 難 推 廣 ， 用 代 數 運 算 描 述 易 推 廣 兩 向 量 a,b共 線 一 個 是 另 一 個 的 實 數 倍 xa+yb

8、=0 有 非 零 解 (x,y). 三 向 量 a,b,c共 面 一 個 是 另 兩 個 的 線 性 組 合 推 廣 到 n 維 向 量 線 性 相 關 : 有 非 零 解 線 性 無 關 : 只 有 零 解 若 有 解 必 惟 一xa+yb+zc=0 有 非 零 解 (x,y,z) 解 方 程 組OB順 時 針 方 向 旋 直 角 到 與 方 程 兩 邊 作 內 積 消 去 y，得是 平 行 四 邊 形 OAPB有 向 面 積 . 稱 為 二 階 行 列 式 。 案 例 3.1 二 階 行 列 式 :幾 何 定 義 利 用 基 本 性 質 計 算 2 階 行 列 式 利 用 基 本 性 質

9、計 算 ：= 案 例 3.2 三 階 行 列 式幾 何 定 義 ： D=a (b c) 平 行 六 面 體 有 向 體 積 2021-5-30 案 例 3.3 n階 行 列 式 定 義 3階 算 法 ： 各 列 取 不 同 行 元 素 ai,bj,ck相 乘 再 乘 d(ijk) =(-1)s. d(ijk)是 自 然 基 列 向 量 ei,ej,ek排成 的 行 列 式 ,經 s次 兩 列 互 換 為 d (123)=1. n 階 行 列 式 D= 排 列 經 s次 對 換 變 成 則 在 中 將 1,2,依 次 往 前 一 步 步 換到 第 1,2, 位 .則 s = 逆 序 數 2021

10、-5-30 案 例 3.4 行 列 式 判 定 線 性 無 關 方 陣 A的 行 列 式 (n維 體 積 ) D 0 各 列 線 性 無 關 方 程 組 Ax=b有 惟 一 解 。 證 明 : A 的 各 列 a1, ,an 線 性 相 關 某 列 ai 是 其 余 各 列 的 線 性 組 合 將 各 列 aj的 lj 倍 加 到 第 i列 A的 第 i列 化 為 零 D=0. 可 見 ： D0 各 列 線 性 無 關 . 反 過 來 : D=0 初 等 行 變 換 化 成 階 梯 形 , 最 后 一 行 為 零 各 列 線 性 相 關 . 2021-5-30 案 例 3.5 惟 一 解 公

11、式 (Crammer) 以 n=3為 例 : 左 邊 第 2列 乘 -y,第 3列 乘 -z,各 加 到 第 1列 再 提 取 公 因 子 x,得 xD=D1 x=D1/D. 類 似 可 得 y=D 2/D, z=D3/D. 案 例 4.1 秩 與 維 數 的 惟 一 性 向 量 組 A=(a1, am) 的 線 性 組 合 B=(b1,bk) . km B 線 性 相 關 . 記 A的 線 性 組 合 b 為 乘 積 形 式 則 (3) k個 m維 數 組 Xj線 性 相 關 bj線 性 相 關 A,B互 為 線 性 組 合 且 線 性 無 關 m=k 案 例 4.2 矩 陣 乘 法 的 引

12、 入 矩 陣 A=(a1, am) 看 成 列 向 量 組 線 性 組 合 a1x1+anxn 寫 成“ 行 向 量 ” A乘 列 向 量 X A與 矩 陣 X=(X1, , Xk)的 乘 積 : A乘 各 列 AX=A(X1, ,Xk)=(AX1, ,AXk) 實 際 上 是 利 用 分 塊 運 算 引 入 矩 陣 乘 法 案 例 4.3 矩 陣 乘 法 運 算 律 乘 法 法 則 對 角 陣 純 量 陣 與 單 位 陣 案 例 4.3 矩 陣 乘 法 運 算 律 分 配 律 A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y只 有 一 列 ： 合 并 同 類 項 (2)X,Y有 若 干 列 : 逐

13、 列 比 較 案 例 4.3 矩 陣 乘 法 運 算 律 結 合 律 (AB)C = A(BC). (AX)l=(a1x1+anxn)l =a1(x1l)+an(xnl)= A(Xl) (AB)L= = A(BL) (AB)Cj=A(BCj) 案 例 4.4 運 算 律 應 用 例 例 1. 例 2. 求 AB, An. XAX:旋 轉 角 a . OP=(x,y)=xe1+ye2 OQ=xe2+y(-e1)=(-y,x) OP=(cosa)OP+(sina)OQ 例 3. . 求 A10. 解 .A=lI+ N , 例 4. .求 B 使 B10=A 解 .A=I+ N , 易 驗 證 B

14、滿 足 要 求 。 例 5.解 微 分 方 程 組 解 . 通 解 X= eAtC.eAt由 Taylor級 數 定 義 . 令 ,則 N2 = O 例 6.矩 陣 求 逆 （ 解 矩 陣 方 程 組 ) 解 .解 方 程 組 AX=I。 按 列 分 塊 ： A(X1,Xn)=(e1,en ) 分 別 解 AXj = ej. 分 別 做 初 等 變 換 （ A,ej)- (I,Xj) 同 時 做 (A,e1, ,en)(I,X1, ,Xn) 即 (A,I)(I,X),X=A-1. 解 AX=B， (A,B)(I,X). 案 例 5.1 最 小 二 乘 法 (1) 例 1.過 三 點 (3.7,

15、0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作 直 線 y=kx+b. 解 . 解 方 程 組 即 ka1+ba2=c. 求 D與 C距 離 最 近 . 幾 何 解 :DC 平 面 p. ATAX=ATc 案 例 5.2 最 小 二 乘 法 (2)-內 積 例 2.過 n點 (xi,yi)作 直 線 y=kx+b. 解 .解 方 程 組 ka1+ba2=c,AX=c. a1,a2是 n維 向 量 . 內 積 推 廣 到 Rn. 仍 求 距 離 CD最 短 . 為 什 么 DC 平 面 p? 勾 股 定 理 : CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc 案 例 5.3 勾 股

16、 定 理 的 理 由 (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2 對 向 量 a,b 仍 成 立 : AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC 完 全 平 方 公 式 = 余 弦 定 理 （ 含 勾 股 定 理 ) 對 數 組 向 量 a,b 也 成 立 。 案 例 5.4 Cauchy不 等 式 例 3.Cauchy不 等 式 的 理 由 . 向 量 a=OA,b=OB 夾 角 q |cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1 (a,b)2|a|2|b|2 為 什 么 |cosq

17、| 1? 直 角 邊 |OC| 斜 邊 |OB| OB2-OC2=CB20 . 案 例 5.5 特 征 向 量 的 引 入 例 4.求 曲 線 x2+2xy+5y2=4圍 成 的 面 積 . 解 . 左 邊 配 方 得 x2+y2=4, 所 求 面 積 S乘 |A|=2變 成 圓 面 積 4p,S=2p. 例 5.例 4曲 線 是 否 被 變 換 XAX拉 伸 為 圓 ? 解 . 是 否 有 非 零 X拉 長 為 AX=lX? (A-lI)X=0有 非 零 解 X,行 列 式 |A-lI|=0. 案 例 5.6 圖 解 特 征 向 量 例 4的 曲 線 x2+2xy+5y2=4被 拉 伸 成 圓 . 案 例 5.7 利 用 線 性 變 換 引 入 e 求 雙 曲 線 圍 成 的 面 積 案 例 5.8 實 對 稱 方 陣 的 正 交 相 似 例 6.通 過 直 角 坐 標 系 旋 轉 將 曲 線 x2+2xy+5y2=4方 程 化 為 標 準 形 式 . 分 析 . 直 角 坐 標 變 換 X=UY 使 Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. 選 擇 正 交 方 陣 U 使 B =diag(l1,l2). 則 AU=UB,A(U 1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的 兩 列 是 A 的 特 征 向 量 . 謝 謝 ！