《南京郵電學(xué)院《信號(hào)與系統(tǒng)》第二次習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《南京郵電學(xué)院《信號(hào)與系統(tǒng)》第二次習(xí)題（70頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二次習(xí)題課 1 內(nèi)容簡(jiǎn)介2 習(xí)題 1 內(nèi)容簡(jiǎn)介（一）周期信號(hào) 可以展開(kāi)為三角形和指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。三角型指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)單邊譜 02 nFn功率譜雙邊譜A nnnn 00 F nnnn 00 F a A F a jbn n n0 0 0 12 ,F nn 0 F nn 0是偶函數(shù)；是奇函數(shù)。1.2.3.偶函數(shù)；奇函數(shù)，奇虛函數(shù)和偶諧函數(shù)的特點(diǎn)。4.單邊頻譜、雙邊頻譜 會(huì)畫。實(shí)偶函數(shù)的頻譜是實(shí)偶函數(shù)；實(shí)奇函數(shù)的頻譜是虛奇函數(shù)。5.周期信號(hào)的功率譜F n n 2 0 平均功率:P T f t dt P F A AnnTT nn 1 122 222 02 21( ) , 周期矩形脈沖：幅高A，周期

2、 T，脈寬 )2( 0 nSaTAFn f(t)-/2 /2A T 2T-T-2T （二）非周期信號(hào)1. 傅里葉變換 正反變換的定義式；2. 頻譜密度 的物理意義；F( )3. 周期信號(hào) 的復(fù)系數(shù) 與非周期信號(hào) 的頻譜密度 的關(guān)系；F( ) Fn f t( )f tT( ) 0)(,lim)( nnnT TFFFTF 實(shí)奇函數(shù)的頻譜密度是虛奇函數(shù)。實(shí)偶函數(shù)的頻譜密度是實(shí)偶函數(shù)；實(shí)信號(hào) 有f t( ) f t Fe( ) Re ( ) f t j Fo( ) Im ( ) （1）典型信號(hào)(10對(duì))的傅氏變換)0(1)( ajate at )(211)( t jt 2sgn jt 1)()( )(

3、2 00 tje )()(cos 000 t )()(sin 000 jt 2 20 tA Ag t A Sa 2 A t A Sa2 2 2 t Ag tA A t20 （2）傅氏變換的性質(zhì))()( Ftf constbabFaFtbftaf ,)()()()( 2121 線性對(duì)稱性)(2)( ftF尺度變換性 aFaatf 1)(時(shí)移性 0)()( 0 tjeFttf 頻移性)()( 00 Fetf tj 時(shí)域卷積)()()()( 2121 FFtftf 頻域卷積)()(21)()( 2121 FFtftf 時(shí)域微分)()()( Fjdt tfd nnn 頻域微分 nnn dFdtfjt

4、)()()( )()()()()()( ffjFtf則時(shí)域積分)()(),()( tttf若 （3）周期信號(hào)傅氏變換 n nT nFtf )(2)( 0信號(hào)的頻帶寬度：0 第一個(gè)零交點(diǎn)； 其頻譜的 090能量。 （三）傅氏變換分析法)()()1( Xtx 已知激勵(lì) x(t)，求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng) y(t)()()4( Yty (2)求系統(tǒng)函數(shù)H（）)()()()3( HXY 系統(tǒng)的頻帶寬度(下降到最大值的 處。)1 2 求 H（）：1.由微分方程2.由電路頻域模型3.由)()( thH 4 . 由 x t e j t( ) ，求y t H e j t( ) ( ) 可以用來(lái)方便地求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如：x

5、 t t( ) cos( . ) 5 100 5 7先假設(shè)：,應(yīng)用4.,得y t H e j t( ) ( ) 100 100 x t e j t( ) 100再激勵(lì)、響應(yīng)均取實(shí)部，再均移位 、放大 5 倍，即可。 5 7. （四）非周期能量信號(hào)的能量譜密度：E f t dt E F d 2 212( ) , ( ) F( ) 2非周期能量信號(hào)的能量：信號(hào)的脈沖寬度和頻帶寬度 t 2單個(gè)矩形脈沖： （五）系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件：H H Ktd( ) ( )( ) y t K x t td( ) ( ) 時(shí)域表示：頻域表示：理想低通濾波器H H Kt Cd C( ) ( )( ) 頻域表示： 理想

6、低通濾波是物理不可實(shí)現(xiàn)的，是 “非因果系統(tǒng)”。從階躍響應(yīng)可以看出，即使信號(hào)通過(guò)這樣的理想系統(tǒng)，它也有可能發(fā)生失真。信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)發(fā)生的失真稱為線性失真：1.幅度失真；2.相位失真。定義了“上升時(shí)間”：t r C 2 時(shí)，信號(hào) 要滿足兩條：1.有限帶寬；即 m（六）取樣定理F( ) 0f t( ) 2.取樣頻率滿足： S m2奈奎斯特取樣率: S m2或: f fS m2實(shí)現(xiàn): f tS( )f t( ) T t( )或:其它非正弦周期信號(hào) 2 . 習(xí) 題 （一）信號(hào)f1(t)和f2(t) 、f3(t)的波形如圖所示。0 tf1(t)1 1 T 01 T-1 T tf3(t) 2T-1-T-2

7、T (1)試求f1(t)和f2(t)的頻譜密度函數(shù)F1()和F2()；(2)求f3(t)的傅里葉復(fù)系數(shù)F3(n0)和頻譜密度函數(shù)F 3()。f2(t) t01 T-1 T 解:(1)對(duì)于f1(t)，求其導(dǎo)數(shù)f1(t)0 tf1(t)1 1 T tf1(t)10 1 T(1) Tjj eeSatf 21 )2()()( j eeSaFtf Tjj 2 11 )2()()( 由圖可看出0 tf1(t)1 1 Tf2(t) t01 T-1 T )()( 12 Ttftf TjeFF )()( 12 TjTjj ej eeSa 2)2( j eSa Tj )21()2(1 （2）由圖可看出f3(t)是

8、f2(t)的周期延拓函數(shù) nT nnFtftf )()(2)()( 00323 并且 0 )21(0203 00 )2(1)()( jn enSaFnF Tjnn )()2(12)( 00 )21(03 0 njn enSaF Tjnn T TT （二）用可變中心頻率的選頻回路能否從圖示的周期矩形信號(hào)中選取5K H Z，12K H Z，50K H Z，80K H Z和100K H Z頻率分量。(重復(fù)頻率f0=5K H Z，=20s, E=10V) f(t)-/2 /2E T 2T-T-2T 解（1）已知基波頻率f0=5K H Z，依據(jù)f(t)頻譜中出現(xiàn)頻率為f0的整數(shù)倍，可判斷12K H zm

9、f0(m為整數(shù))，頻率為f0的整數(shù)倍所以不能選出。(2）f(t)的傅立葉復(fù)系數(shù))2( 0 nSaTAFn 這里 A=E=10V ， T=1/f0=0.2ms ， =20s ，0=2f0=10 k rad/s，所以 )10()2 10201010(102.0 102010 633 6 nSanSaFn )10( nSaFn 包絡(luò)線是一取樣函數(shù)，其圖形如左零交點(diǎn)位置 4,2即當(dāng))3,2,1(10 kkn 時(shí)，頻譜的幅值為0。)(F22A 此時(shí),30,20,10n頻率KHZKHZKHZnf 150,100,500 所以不能選出50 K H z，100 K H z頻率分量。綜合(1)(2)，只能選出5

10、 K H z，80 K H z頻率分量。 (三)已知圖中f1(t)的傅氏變換是)()()( 111 jIRF 寫出其余波形的傅氏變換式。0 1 t2 f1(t)0 1 t2 f2(t)-1 )()()( 112 tftftf )()( 11 FF )(2 1 R解：)()( 11 FF t0 12 f3(t)-1 )()( 13 tftf )()( 11 jIR 0 1 t-2 f4(t)-1 )()( 14 tftf )(1 F )()( 11 jIR )(1 F 0 1 t-2 f5(t)-1 2 )()()( 115 tftftf )()( 11 FF )(2 1 jI0 13 f6(t

11、)-1 t )()(1)( 116 tftftf )()()(2 11 FF )(2)(2 1 R (四)求下列信號(hào)的傅氏變換(a)-3 -1 0 1 3 tfa(t)1()1(2cos ttt 1解：設(shè))1()1(2cos)(0 ttttfa )2()()2()( 000 tftftftf aaaa則)(2)22(21)1()1( SaSatt )2()2()( 0 SaSatfa )1)()( 220 jjaa eeFtf )2cos21)(2()2( SaSa t(b)1-1 0 1fb(t)解：求 fb(t) 的導(dǎo)數(shù))(tfb圖形為t1-1 0 1(1) )(tfb 2)2()( jj

12、b eSaetf )(2)2()( 2 j eSaetf jj b （c）已知)()( Ftf ?)54( ttf,求解：)45(4)54( tftf 45)4(41 jeF ddFjttf )()( 而)4(41)54( 45 jeFddjttf )4(4)4(16545 FjFe j (d) ?sin atat解：由公式：利用對(duì)稱性取 ( ) ( )t t Sa 2 2 2 Sa t2 2 2 2 ( ) ( ) 2a有 2 2a Sa at a a ( ) ( )有線性： sin ( ) ( )atat Sa at a a a (e)求fe(t)的傅氏變換的虛部fe(t) t1 2 3

13、4-1-2 12 -1解：因?yàn)?()()( tftftf oeeee （偶）（奇）)(Im)( jFjtf eoe 其中)()(21)( tftftf eeoe 而如圖所示。 fe(t) t1 2 3 4-1-2 12 -1 0 tfoe(t)1 -1 4-4 22 )2(4)2(4)( jjoe eSaeSatf )2(4 22 jj eeSa 2sin2)2(4 jSa 2sin22 2sin4 j )(Im2sin4 2 jFjj e 2sin4)(Im 2 jF t1-1-/2 /2)(cos 0 tft (f)解：對(duì)于1,2),( Atf )4(2)( 2 Satf 根據(jù)調(diào)制定理)(

14、4)(44 0202 SaSa )(cos 0 tft (五)求下列信號(hào)的傅氏反變換5cos)5()5()1( 解：由公式 ( ) ( )t t Sa 5 5 10 5由對(duì)稱性 10 5 2 5 5Sa t ( ) ( ) 5 5 5 5 Sa t ( ) ( )cos ( ) ( ) t5 5 5 由公式 ( ) ( ) cost t5 5 2 5 由時(shí)域卷積定理： 12 5 5 5 ( ) ( ) cost t ( ) ( ) cos( ) ( )( ) 5 5 55 5 12 5 552 5 5Sa t t tf t Sa t Sa t 1 )1sin(1 )1sin()2( 解：由tt

15、ttf cos)1()1()( sin ( ) ( ) Sa t t12 1 1由頻移性 sin( ) ( ) ( ) 11 1 12 1 1Sa t t e jt sin( ) ( ) ( ) 11 1 12 1 1Sa t t e jt 2sin)3( j解：由得 考慮到能量信號(hào)積分后成了功率信號(hào)。頻域多了一項(xiàng)。 ( ) ( )t t Sa 1 1 2 12 1 1 ( ) ( )t t Sa 由時(shí)域積分性質(zhì) 12 1 1 ( ) ( ) ( )t t dt Saj t 又有1 2 ( )得 12 ( )得 12 1 1 1212 12 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t dt

16、 Sajt dt t dtt t t f(t) 如圖所示 12 12 1 112 12 1 1 1 111 ( ) ( ) ( ) ( )dt t dt tt t t ttt -1/21/2-1 1 tf(t) (4) 00 0)(F 0 0 0)(00t 00t 解：定義做： f t F e de e de d j t t ej t t e e t t t t Sa j tt j tj t t j t t j t t j t t ( ) ( ) ( )( ) ( ) sin ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1212 112 12 112 11 000 000 0 000 0 0 000

17、0 0 0 0 0 0t t 1 (4) 00 0)(F 0 0 0)(00t 00t 解：用性質(zhì)做：利用時(shí)移性F G ej t( ) ( ) 2 0 0其中， 為時(shí)移因子：ej t 0 G Sa t Sa t2 0 0 0 0 0 12 2 ( ) f t Sa t t( ) 0 0 0 1 解：依據(jù)傅氏變換的定義 deFtf tj )(21)( 21 00 0 20 2 deedee tjjtjj 21 00 0202 jteejtee tjjtjj )1()1(21 00 tjtj ejejjt )2(sin2 02 tt 00 0)(2 2 00 0 )(F1 解：依據(jù)傅氏變換的性質(zhì)0

18、 0 0)(2 2 00 0 )(F1它有左、右兩邊的半個(gè)門組成，為F G e G ej j( ) ( ) ( ) 0 00 2 0 22 2G Sa t e j t 0 00 0 0 22 12 2( ) 其中 為頻移因子，e j t 02同理，有G Sa t ej t 0 00 0 0 22 12 2( ) 得f t Sa t e e Sa t e ej t j j t j( ) 0 0 2 2 0 0 2 22 2 2 20 0f t Sa t tSa t ttt t t t( ) cossinsin sin sin 0 0 00 0 0 0 00 0 2 02 2 2 2 22 222

19、 2 2 2 （六）限帶信號(hào)f(t)的頻譜密度如圖(a)所示，試作出當(dāng)f(t)通過(guò)圖(b)的系統(tǒng)時(shí)，在系統(tǒng)A，B，C，D各點(diǎn)的頻譜密度，圖(b)中兩濾波器的截止頻率均為0弧度/秒；（ 0 1 ），相移為零，即 001 0)( KH 002 0)( KH )(F 11 1(a) )(1 H )(2 Ht0cos t)cos( 10 )(tf A B C D(b) 解：A 是 f(t) 經(jīng)過(guò) cos0(t)調(diào)制001 0 0 01 )(AF1/2 B是fA(t)經(jīng)過(guò)H 1()高通濾波器。 001 0 0 01 )(BFK/2 C是fB(t)經(jīng)過(guò)cos（ 1+ 0）t調(diào)制0)(2 01 0 0 )(

20、2 01 )(CFK/4 1 1D是fC(t)經(jīng)過(guò)H 2()低通濾波0 )( DFK2/4 1 1 （七）已知某系統(tǒng)函數(shù),65)( 2 jjH輸入),()( tetX t試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ，并指出響應(yīng)中的強(qiáng)制分量與自然分量。若系統(tǒng)函數(shù),11)( jH激勵(lì)為周期信號(hào).3sinsin)( ttte 試求 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t) , 并討論傳輸是否引起失真。 解： jXtetX t 1 1)()()( )()()( XHY 11652 jjj 32/32212/1 jjj )(23)(2)(21)( 32 tetetety ttt 強(qiáng)制響應(yīng)自然響應(yīng)全部是暫態(tài)響應(yīng) )()()( EHY )3()

21、3()1()1()( jjE 31 )3(31 )3(1 )1(1 )1(. jjjjj )1(2)1(21)1(2)1(21 jjj )3(103)3(101)3(103)3(101 jjj ttttty ZS 3cos1033sin101cos21sin21)( )5.713sin(1010)45sin(22 00 tt產(chǎn)生失真 （八）已知周期矩形脈沖 f1(t) ，它的脈幅為E，脈寬為，其傅里葉變換以F()表示 ，若f1(t)被間隔為TS的沖激序列所取樣 ，令取樣后的信號(hào)為 fS(t) ，試求 其傅氏變換FS()。22 0E 1T1T )(1 tf t 解：設(shè)單個(gè)矩形波，其頻譜為連續(xù)函數(shù)

22、；ss TT 2,210 )(2)( 01 nFF n n )()2(2 00 nnSaTEn )()2( 000 nnSaE n F E Sa0 2( ) 若時(shí)域周期化，則等價(jià)于頻域取樣；F T F nn n1 1 0 12 1 1( ) ( ) ( ) 即 若時(shí)域取樣，等價(jià)于頻域周期化。即)()()( 1 n ss nTttftf )()(21)( 1 n sss nFF )()2( 001 nnnSaTE n sns )()()2(2 000 n sns nnnSaE 如有興趣，見(jiàn)清華大學(xué) “信號(hào)與系統(tǒng)” P.229. （九）理想高通濾波器的 c ctj deH 0)(其中 C 為截止角

23、頻率 ，td為延遲時(shí)間。求理想高通濾波器的沖激響應(yīng)。一信號(hào))(2)( tetf t通過(guò)理想高通濾波器，若要求輸出信號(hào)能量為輸入信號(hào)能量的50% ，試確定理想高通濾波器的截止角頻率C。 解： c ctjtj dd eeHHH 0)()()( 21 )()()()( dccd ttSattthH 12)()(2)( jFtetf t輸入信號(hào)能量 E f t d t e d t i t 2 20 2 2( )或E F di 12 2 ( ) 輸出信號(hào)能量iEdHFE c %50)()(21 220 即 E j d dtgi 1 21 4 114 4 2 220 201 0 E j d dtg tgC

24、 C C C0 2 21 11 21 4 114 4 2 1 C rad s1 / 教科書 p.170. 3-42. 要求在不計(jì)算頻譜的前提下進(jìn)行：(1)頻譜的相位函數(shù) f t g t tF Sa Sa e j( ) ( ) ( ) 2 1 18 2 24 2 2 相移因子故得 F eF e jj( )( ) 00 (2)由傅里葉正變換定義式 F f t e dtj t ( )取 =0 , 得 F f t dt0 8 1 7 ( ) (3)由傅里葉反變換定義式 f t F e dj t 12 ( )取 t=0 , 得 2 0 2 2 4 f F d ( ) (4)設(shè)f t g t F e j(

25、 ) ( ) ( ) sin 2 2則又設(shè)g t e Sa ej j( ) sin 2 22 2 g t Sa1 2( ) 1-3 -1 t 1-1 1 tg t 1( )g t( ) 得 f t g t f t g t( ) ( ) ( ) ( ) 則1-4 -3 -2 -1 1 2 t f t g t( ) ( ) 1-4 -3 -2 -1 1 2 t類(3)，可得 F e d f t g tj t( ) sin ( ) ( )( ) 2 22 2 2 12 1 1 2 72 72 0 f t g t( ) ( ) 上圖積分后的 t=0 時(shí)的值 (5)由能量等式f t dt F d2 21

26、2( ) ( ) 得F d f t dt( ) ( ) 2 22 能量與信號(hào)的波形有關(guān)，與出現(xiàn)的時(shí)間無(wú)關(guān)。故把波形的一半畫成21-1 1 2 tf (t )：01 t+112 2 f 2(t )：01 (t+1)212 4 得 f t dt t dt dtt t2 201 123 01 12 3 32 1 42 13 4 2 23 13 8 42 73 4 383( )( ) 故F d f t dt( ) ( ) 2 22 763 思考：f t F1 1 1( ) ( ) f t F2 2 2( ) ( ) 時(shí) 為零；：F1( )時(shí) 為零；：F2 ( )試分別求：f t f t f t f t

27、 f t f t 1 2 1 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 的頻帶寬度。 補(bǔ)充題：某系統(tǒng)傳輸函數(shù) 如下圖所示。求 1. 系統(tǒng)輸入 H H e j( ) ( ) ( ) H ( ) 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 5 0 1 5 0 2 ( )x t t t( ) cos sin 2 80 3 160時(shí)的輸出 。y t( )2. 該系統(tǒng)線性不失真?zhèn)鬏數(shù)念l率范圍。 解：1.由幅頻曲線 時(shí)：H ( ) 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 5 0 1 5 0 2 ( ) 80 160 H ( ) 10H ( ) 4 由相頻曲線 時(shí)： 80 ( ) 415 160 ( ) 2 H ( ) 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 5 0 1 5 0 2 ( ) y t t t( ) cos( )sin( )10 2 80 4154 3 160 2 2. 線性不失真頻帶:BW 0 100