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1、 “ 推 理 與 證 明 ” 是 數(shù) 學(xué) 的 基 本 思 維 過 程 ， 也是 人 們 學(xué) 習(xí) 和 生 活 中 經(jīng) 常 使 用 的 思 維 方 式 推 理一 般 包 括 合 情 推 理 和 演 繹 推 理 在 本 章 中 ， 我 們將 通 過 對(duì) 已 學(xué) 知 識(shí) 的 回 顧 ， 進(jìn) 一 步 體 會(huì) 合 情 推 理 、演 繹 推 理 以 及 二 者 之 間 的 聯(lián) 系 與 差 異 ； 體 會(huì) 數(shù) 學(xué)證 明 的 特 點(diǎn) ， 了 解 數(shù) 學(xué) 證 明 的 基 本 方 法 ,包 括 直接 證 明 的 方 法 （ 如 分 析 法 、 綜 合 法 、 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 ）和 間 接 證 明 的 方 法 （

2、 如 反 證 法 ） ； 感 受 邏 輯 證 明在 數(shù) 學(xué) 以 及 日 常 生 活 中 的 作 用 ， 養(yǎng) 成 言 之 有 理 、論 證 有 據(jù) 的 習(xí) 慣 。 2.1 合 情 推 理 與 演 繹 推 理 推 理合情推理（或然性推理）歸納（ 部 分 到 整 體 、特 殊 到 一 般 ）類比（ 特 殊 到 特 殊 ）演繹推理（ 必 然 性 推 理 ）三段論（一般到特殊） 2.1.1 合 情 推 理 歸 納 推 理歌 德 巴 赫 猜 想 的 提 出 過 程 ： 3710，31720，131730，1037，20317，30131763+3， 一 個(gè) 偶 數(shù) （ 不 小 于 6） 總 可 以 表 示

3、 成 兩 個(gè) 奇 質(zhì) 數(shù) 之 和 ； 沒 有 發(fā) 現(xiàn) 反 例 。83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971， 歸 納 推 理 的 定 義 : 由 某 類 事 物 的 部 分 對(duì) 象 具 有 某 些 特 征 ,推出 該 類 事 物 的 全 部 對(duì) 象 都 具 有 這 些 特 征 的 推 理 ,或 者 由 個(gè) 別 事 實(shí) 概 括 出 一 般 結(jié) 論 的 推 理 ,稱 為歸 納 推 理 (簡(jiǎn) 稱 歸 納 ). 簡(jiǎn) 言 之 ,歸 納 推 理 是 由 部 分 到 整 體 、 由 個(gè)別 到 一 般 的 推 理 。 例 如 ： 金 受 熱 后 體 積 膨 脹 ， 銀

4、受 熱 后 體 積 膨 脹 ， 銅 受 熱 后 體 積 膨 脹 ， 鐵 受 熱 后 體 積 膨 脹 ， 金 、 銀 、 銅 、 鐵 是 金 屬 的 部 分 小 類 對(duì) 象 ， 它 們受 熱 后 分 子 的 凝 聚 力 減 弱 ， 分 子 運(yùn) 動(dòng) 加 速 ， 分 子 彼此 距 離 加 大 ， 從 而 導(dǎo) 致 體 積 膨 脹 所 以 ， 所 有 的 金 屬 受 熱 后 都 體 積 膨 脹 。 例 如 ： 磨 擦 雙 手 （ S1 ） 能 產(chǎn) 生 熱 （ P） ， 敲 擊 石 頭 （ S2 ） 能 產(chǎn) 生 熱 （ P） ， 錘 擊 鐵 塊 （ S3 ） 能 產(chǎn) 生 熱 （ P） ， 磨 擦 雙 手

5、、 敲 擊 石 頭 、 錘 擊 鐵 塊 都 是 物 質(zhì) 運(yùn) 動(dòng) ； 所 以 ， 物 質(zhì) 運(yùn) 動(dòng) 能 產(chǎn) 生 熱 。 例 :觀 察 下 圖 ,可 以 發(fā) 現(xiàn)1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52， 歸 納 推 理 的 一 般 步 驟 ： 檢 驗(yàn) 猜 想 。 提 出 帶 有 規(guī) 律 性 的 結(jié) 論 ， 即 猜 想 ； 對(duì) 有 限 的 資 料 進(jìn) 行 觀 察 、 分 析 、 歸 納 整 理 ； 類 比 推 理 “火星上是否有生命” 由 兩 類 對(duì) 象 具 有 某 些 類 似 特 征 ， 和 其 中 一 類對(duì) 象 的

6、某 些 已 知 特 征 ， 推 出 另 一 類 對(duì) 象 也 具 有 這些 特 征 的 推 理 稱 為 類 比 推 理 （ 簡(jiǎn) 稱 類 比 ） 類 比 推 理 的 定 義 : 簡(jiǎn) 言 之 ， 類 比 推 理 是 由 特 殊 到 特 殊 的 推 理 發(fā) 明 行 星 三 大 運(yùn) 動(dòng) 定 律 的 開 普 勒 曾 說 類 比推 理 是 自 然 奧 妙 的 參 與 者 和 自 己 最 好的 老 師 數(shù) 學(xué) 家 波 利 亞 曾 指 出 “ 類 比 是 一 個(gè) 偉 大 的引 路 人 ,求 解 立 體 幾 何 往 往 有 賴 于 平 面 幾 何 的 類比 問 題 .” 類 比 推 理 的 一 般 步 驟 ： 找

7、 出 兩 類 對(duì) 象 之 間 可 以 確 切 表 述 的 相 似 特 征 ； 用 一 類 對(duì) 象 的 已 知 特 征 去 推 測(cè) 另 一 類 對(duì) 象 的 特征 ， 從 而 得 出 一 個(gè) 猜 想 ； 檢 驗(yàn) 猜 想 。 類 比 推 理 舉 例 例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試 給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想 直角三角形 3個(gè)面兩兩垂直的四面體C903個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c PDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S 例 3 類 比 平 面 內(nèi) 直 角 三 角 形 的 勾 股 定 理 ,試給 出

8、空 間 中 四 面 體 性 質(zhì) 的 猜 想 合 情 推 理 歸 納 推 理 和 類 比 推 理 都 是 根 據(jù) 已 有 的 事 實(shí) ， 經(jīng)過 觀 察 、 分 析 、 比 較 、 聯(lián) 想 ， 再 進(jìn) 行 歸 納 、 類 比 ，然 后 提 出 猜 想 的 推 理 ， 我 們 把 它 們 統(tǒng) 稱 為 合 情 推 理 。通 俗 地 說 ， 合 情 推 理 是 指 “ 合 乎 情 理 ” 的 推 理 。 合 情 推 理 的 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 研 究 中 ， 得 到 一 個(gè) 新 結(jié) 論 之 前 ， 合 情 推 理 常常 能 幫 助 我 們 猜 測(cè) 和 發(fā) 現(xiàn) 結(jié) 論 。 證 明 一 個(gè) 數(shù) 學(xué) 結(jié) 論 之 前 ， 合 情 推 理 常 常 能 為 我 們提 供 證 明 的 思 路 和 方 向 前 面 學(xué) 習(xí) 了 歸 納 推 理 和 類 比 推 理 這 兩 種 合 情推 理 ,歸 納 推 理 是 由 特 殊 到 一 般 的 推 理 ;類 比 推 理是 由 特 殊 到 特 殊 的 推 理