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1、 分類號 密級 UDC 1注 學 位 論 文 廣 義 切 比 雪 夫 濾 波 器 設 計 （題名和副題名） 王一凡 （作者姓名） 指導教師姓名 羅正祥 賈寶富 教 授 電子科技大學 成 都 （職務、職稱、學位、單位名稱及地址） 申請專業(yè)學位級別 碩士 專業(yè)名稱 物理電子學 論文提交日期 2007.1 論文答辯日期 2007.3 學位

2、授予單位和日期 電子科技大學 答辯委員會主席 評閱人 2007 年 3 月 日 注 1：注明國際十進分類法 UDC的類號。 獨 創(chuàng) 性 聲 明 本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究工作 及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方 外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為 獲得電子科技大學或其它教育機構的學位或證書而使用過的材料。與 我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論

3、文中作了明確的 說明并表示謝意。 簽名： 日期： 年 月 日 關于論文使用授權的說明 本學位論文作者完全了解電子科技大學有關保留、使用學位論文 的規(guī)定，有權保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和磁盤， 允許論文被查閱和借閱。本人授權電子科技大學可以將學位論文的全 部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描 等復制手段保存、匯編學位論文。 （保密的學位論文在解密后應遵守此規(guī)定） 簽名： 導師簽名： 日期： 年 月 日 摘要 近年來，隨著無線通訊技術的飛速發(fā)展，無線通訊使用的電磁波頻譜變得非 常擁擠。因此，無線通訊系統(tǒng)對濾

4、波器的性能指標也提出了越來越高的要求。這 意味著濾波器除了要有小尺寸、高選擇性、低的插入損耗外，還要滿足通帶內平 坦的群延遲響應和通帶外足夠大的的衰減。通常，這種類型的濾波器都采用廣義 切比雪夫濾波器來實現(xiàn)通訊系統(tǒng)對它的要求。 廣義切比雪夫濾波器的傳輸零點，可以位于阻帶內的任意位置處，這能更加 靈活地對濾波器的帶外抑制度進行調節(jié)，其矩形系數(shù)可以做得很高。另外通過一 些特定的交叉耦合，廣義切比雪夫濾波器還能實現(xiàn)復數(shù)傳輸零點，以改善通帶內 的群時延特性，減小信號的畸變。 本文系統(tǒng)地總結了廣義切比雪夫濾波器的綜合過程，并針對不同的拓撲結構 給出了相應的耦合矩陣消元方法。接下來，文章又給出了六腔同軸結

5、構線性相位 濾波器的設計實例和測試曲線。最后，運用 MATLAB GUI 的界面編程語言設計 了濾波器綜合的計算程序，使得廣義切比雪夫濾波器的綜合過程更加快捷直觀。 實測結果表明，設計的濾波器綜合程序對廣義切比雪夫濾波器的設計生產有重要 的指導作用，具有很好的工程實用價值。 關鍵詞：廣義切比雪夫濾波器，交叉耦合，傳輸零點，耦合矩陣 ABSTRACT Recently, with the fast development of wireless communication, the electromagnetic frequency used by wireless communication

6、 becomes very narrow. So, the requirement of filters performance for wireless communication is becoming harder and harder, this means that the filter should have flat group delay response in passband and enough attenuation out of band, besides the common requirement of small size, high selection and

7、 low insert loss. Usually the General Chebyshev filter is used to meet these hard requirements. The transmission zeros of General Chebyshev filter could be placed in any position, so the attenuation out of band is controllable, then a high selection performance could get. In addition, through some s

8、pecial cross couple, the complex transmission zeroes could be formed to improve the group delay response and decrease the distortion. This thesis gives a whole procedure of synthesis the General Chebyshev filter and a variety of couple matrix reducing methods for different topological structures. F

9、urther more, a process of design a linear phase filter with six coaxial cavities is presented and the measured result is recorded. At last, based on MATLAB GUI language, a filter synthesis program is designed, which makes the General Chebyshev filter synthesis fast and simple. A good agreement betwe

10、en the measured result and the synthesized one verifies validity of the program. It would be helpful in engineering application. Keywords: General Chebyshev filter, cross couple, transmission zero, coupling matrix 目錄 摘要 .............................................................................

11、.......................................................I ABSTRACT......................................................................................................................II 目錄 ...............................................................................................................

12、..................III 第一章 緒論 ..................................................................................................................1 1.1 廣義切比雪夫濾波器的研究意義 .............................................................................1 1.2 國內外的研究現(xiàn)狀 ............................................

13、.........................................................2 1.3 論文的內容安排及創(chuàng)新點 .........................................................................................3 第二章 廣義切比雪夫濾波器綜合 ..............................................................................4 2.1 廣義切比雪夫多項式 ........................

14、.........................................................................4 2.2 濾波器 S 參數(shù)與廣義切比雪夫函數(shù)的聯(lián)系 .............................................................5 2.3 用迭代法得出 S 參數(shù)的多項式表達式 .....................................................................7 2.4 交叉耦合濾波器的等效電路分析 ........................

15、...................................................11 2.5 耦合矩陣綜合 ...........................................................................................................13 第三章 不同拓撲結構的耦合矩陣化簡 ....................................................................19 3.1 用相似變換對耦合矩陣消元 ...................

16、................................................................19 3.2 折疊型拓撲矩陣化簡 ...............................................................................................21 3.3 異型拓撲矩陣化簡 ...................................................................................................23 3.4 輪型

17、拓撲矩陣化簡 ...................................................................................................24 3.5 CT，CQ 拓撲結構單元電路的傳輸特性 ...............................................................26 3.6 CT，CQ 拓撲矩陣化簡 ....................................................................................

18、.......29 第四章 廣義切比雪夫線性相位濾波器設計實例 ....................................................33 4.1 廣義切比雪夫濾波器 21S的群時延表達式 .............................................................33 4.2 復數(shù)傳輸零點對群時延的影響 ...............................................................................34 4.3 六階線性相位濾波器的實現(xiàn) .......

19、............................................................................36 4.4 濾波器實物及測試結果 ...........................................................................................39 第五章 基于 MATLAB 的濾波器綜合程序設計 .....................................................41 5.1 MATLAB GUI 編程簡介 ...........

20、..............................................................................41 5.2 程序的需求分析 .......................................................................................................42 5.3 程序的模塊化 ..........................................................................................

21、.................43 5.4 程序主體架構 ...........................................................................................................44 5.5 程序的界面設計 .......................................................................................................45 第六章 結束語 .................................

22、...........................................................................48 致謝 .................................................................................................................................49 參考文獻 ..................................................................................

23、.......................................50 攻讀碩士學位期間發(fā)表的論文 .....................................................................................52 第一章 緒論 1.1 廣義切比雪夫濾波器的研究意義 濾波器作為一種二端口網(wǎng)絡，具有特定的頻率選擇特性，即讓某些頻率的信 號順利通過，而對另外一些頻率的信號加以阻隔和衰減。目前在雷達、廣播、無 線通信等領域，多頻率工作越來越普遍，對分隔頻率的要求也相應地提高了。因 此，濾波器在這些領域被廣泛運用，是微波，毫米波系

24、統(tǒng)中不可缺少的器件，其 性能的優(yōu)劣往往直接影響整個通信系統(tǒng)的質量。 近年來，隨著無線通訊技術的飛速發(fā)展，無線通訊使用的電磁波頻譜變得非 常擁擠。因此，無線通訊系統(tǒng)對濾波器的性能指標提出了越來越高的要求。特別 是在移動通訊基站雙工器和多工器中使用的濾波器，除了高選擇性、小尺寸、通 帶內低插入損耗的要求以外，對濾波器通帶內的群延遲和通帶外的衰減都提出了 十分苛刻的要求。面對這些要求，傳統(tǒng)的濾波器比如：最大平坦（Butterworth） 和切比雪夫（Chebyshev ）濾波器很難勝任，因為普通結構的濾波器只有通過增 加階數(shù)來滿足要求，而這樣卻會增加濾波器的插損，而且生產出來的濾波器的重 量和體積都

25、會非常大，不滿足現(xiàn)代通信的需求。橢圓函數(shù)（Ellipse）濾波器雖然 有良好的選擇性，但實現(xiàn)起來卻比較困難。相比之下，廣義切比雪夫（General Chebyshev）濾波器具有更多的優(yōu)越性。廣義切比雪夫濾波器能通過引入傳輸零 點而不用增加濾波器階數(shù)來提高通道的選擇性，并且只需要通過非相鄰諧振腔的 交叉耦合就可以實現(xiàn)。因此，目前很多通信用的濾波器都使用交叉耦合結構來實 現(xiàn)，而這種結構的濾波器原型就是廣義切比雪夫，要研究此類濾波器就必須先搞 清廣義切比雪夫函數(shù)的一些基本特性。廣義切比雪夫函數(shù)不僅可以產生傳輸零點， 而且這些傳輸零點是可以人為指定的，可以是對稱的，也可以是不對稱的，這可 以更加靈活

26、地根據(jù)需要對濾波器的帶外抑制度進行調節(jié)，其矩形系數(shù)可以做得很 高，這是橢圓函數(shù)濾波器所不能做到的。另外，通過交叉耦合，廣義切比雪夫濾 波器還可以產生復數(shù)傳輸零點，以改善通帶內的群時延特性，這與傳統(tǒng)的濾波器 相比又增加了一項優(yōu)勢。傳統(tǒng)的濾波器原型要么從幅度特性出發(fā)進行綜合，得到 符合要求的S 參數(shù)幅度值，要么從相位特性出發(fā)，得到合適的相位曲線，例如傳 統(tǒng)的線性相位濾波器設計，它們都不能同時對幅度和相位進行綜合，而廣義切比 雪夫卻能用虛數(shù)傳輸零點控制幅度，同時用復數(shù)傳輸零點控制相位。 綜上所述，廣義切比雪夫濾波器與傳統(tǒng)濾波器相比具有體積小，效率高，帶 外抑制度好，矩形系數(shù)高，設計靈活等諸多優(yōu)點，具

27、有廣泛的應用前景，是國內 外微波無源器件的研究熱點。 1.2 國內外的研究現(xiàn)狀 廣義切比雪夫濾波器的等效電路模型是A. E. Atia于1972年在研究交叉耦合結 構濾波器 1時首先提出來的。在這個模型的基礎上，A. E. Atia還提出了耦合矩陣 的概念，并根據(jù)這些概念給出了用求留數(shù)的辦法從多項式到耦合矩陣的綜合方法。 Jia-Sheng Hong在他的書中也對這部分內容做了講述 16。A. E. Atia的等效電路模 型，以及耦合矩陣的綜合方法對以后廣義切比雪夫濾波器的研究起了非常重要的 作用。 此后，在A. E. Atia 的等效電路模型和耦合矩陣概念的基礎上，R. J. Cameron

28、 2-4，S. Tamiazzo 12，G. Macchiarella 7和H. C. Bell 11等又對廣義切比雪夫濾波器 的綜合方法作了進一步改進，提出了針對不同拓撲結構耦合矩陣的不同的消元方 法，這使得廣義切比雪夫濾波器更貼近實用，運用范圍更加寬泛。其中R. J. Cameron給出了折疊型（folded） ，異型（Cul-de-Sac）拓撲結構濾波器的消元方法。 S. Tamiazzo和 G. Macchiarella從不同的角度給出了CT ，CQ拓撲結構的消元方法， 而S. Tamiazzo 給出的移項消元則是在 H. C. Bell提出的輪型結構基礎上進行的消元。 這些消元方法為

29、濾波器的設計提供了種類繁多的拓撲結構，使濾波器的設計更加 靈活多樣。 另外，S. Amari，R. N. Gajaweera等從濾波器的耦合矩陣出發(fā)，利用梯度優(yōu)化 的辦法，也得到了相同特性的交叉耦合濾波器 5-7。國內，強銳等則利用遺傳算 法與Solvopt算法相結合的優(yōu)化方法得到了耦合矩陣 19。優(yōu)化法利用現(xiàn)成的數(shù)學優(yōu) 化算法，對耦合矩陣進行優(yōu)化，具有理論簡單，優(yōu)化方法豐富，優(yōu)化結果靈活多 樣等優(yōu)點。然而隨著綜合技術的不斷進步，優(yōu)化法精度低（與綜合法相比） ，速 度慢等缺點也慢慢開始顯現(xiàn)出來，這使得優(yōu)化算法的使用范圍也在漸漸被綜合方 法所取代。 在線性相位濾波器設計方面，Rhodes 9早在

30、 1970 年就提出了線性相位濾波器 的低通原型和綜合過程，并在文獻 10中給出了設計實例。然而，由于這種濾波器 是以相位作為逼近目標進行綜的，沒有添加有限傳輸零點，使得其帶外抑制度不 好。為了同時兼顧線性的相位特性和帶外良好的抑制度，R. J. Cameron 在文獻 23中 給出了一個用復數(shù)傳輸零點實現(xiàn)平坦時延特性的例子，但并沒有具體給出如何確 定復數(shù)傳輸零點的方法。本文通過一些數(shù)值計算結果，找到了復數(shù)傳輸零點與群 時延特性之間的一些關系，并在第四章作了詳細的分析。 1.3 論文的內容安排及創(chuàng)新點 本文對廣義切比雪夫濾波器的綜合及耦合矩陣的化簡給出了詳細的分析過程 和相應的數(shù)值例子，并給出

31、了六腔同軸結構線性相位濾波器的設計實例和測試曲 線，最后運用 MATLAB GUI 的界面編程設計了計算程序，使得廣義切比雪夫濾 波器的綜合過程更加快捷直觀。 全文共分六章。第一章講述了廣義切比雪夫濾波器的研究意義，國內外的研 究現(xiàn)狀和論文的創(chuàng)新點。第二章講述了廣義切比雪夫濾波器的綜合過程，并給出 了相應的計算實例。第三章針對不同拓撲結構的濾波器，對耦合矩陣的化簡做了 進一步的闡述。第四章給出了廣義切比雪夫線性相位濾波器的設計方法，并依此 方法完成了一個六腔同軸結構的線性相位濾波器設計，測試結果與理論計算結果 的一致性驗證了此設計方法的正確性。第五章敘述了基于 MATLAB 的廣義切比 雪夫濾

32、波器的綜合程序的設計思路。第六章對論文內容作了簡單的總結。 本文的主要創(chuàng)新點有： 1 找到了復數(shù)傳輸零點與群時延之間的關系，給出了在設計線性相位濾波 器時，確定復數(shù)傳輸零點的方法。目前尚未見到對這一問題的報道。 2 基于 MATLAB，設計了廣義切比雪夫濾波器的綜合程序，該程序可以完 成折疊型，異型，CT，CQ 型等多種濾波器的綜合。目前尚未見到有關此類程序 設計的文章。 第二章 廣義切比雪夫濾波器綜合 2.1 廣義切比雪夫多項式 令 為廣義切比雪夫函數(shù)，有)(NC （2-NiiNxchC1)()( 1） 其中， 為三角余弦函數(shù)， 為中間變量()chxix

33、 （2-()2 xech 2） （2-1/piix 3） 是廣義切比雪夫函數(shù)的奇點，當 時， ， ， 可視為pipiix()NCpi 函數(shù) 的參變量。N 表示奇點的個數(shù)，奇點的位置由 決定，如果所有奇)(C pi 點都位于無窮遠，即（ ）時，廣義切比雪夫函數(shù)與傳統(tǒng)的切比雪夫函數(shù)pi 相同，退化為 （2-1()()NCch 4） 可以證明，當 ， ，當 ， ，而當 ， 。為了畫1NC1NC 圖方便，對（2-1）式取對數(shù)，令 。10()()TLog 以 為例，取三個有限奇點 ， ， ，其余 5 個奇點8N2p.5p3p 均在無窮遠處

34、，得到： （2-5）1231 11810///()()()()()pppTLogchchchch 下圖為 對 的響應曲線，可見奇點位置是可以事先指定的。8()T 圖 2-1 廣義切比雪夫多項式取對數(shù)后的響應曲線 2.2 濾波器 S 參數(shù)與廣義切比雪夫函數(shù)的聯(lián)系 由圖 2-1 的曲線可以看出，直接用廣義切比雪夫函數(shù) 作為濾波器的傳)(NC 輸函數(shù) 是不行的。為使濾波器在通帶內（ ）有等紋波的響應，在()NH1 取對數(shù)前應該讓 ，這樣才能使 。因此對 進行改()10()NLogH)(N 造，令： （2-2()1()NC 6） 其中， 為帶內紋波系數(shù)。 下面以八階為例，說

35、明變換后通帶內響應曲線的變化情況。圖 2-2 中與 對21S 應的量是 ，且10()NLogH （2-2110()NSLogHdB 7） 變換前，在通帶內有 ，變換后有， ，其中()NC21012()0LogS 就是通帶內的紋波起伏量，這樣我們就可以通過參變量 來控制通2102()Log 帶內的紋波起伏大小了。 圖 2-2 帶內各響應曲線的比較 如圖 2-2 所示，經(jīng)過改造后傳輸函數(shù) 就可以作為濾波器的原型函數(shù)了。此()NH 時， （2-2121()()()NNSC 8） 由于 是多項式函數(shù)，所以 S 參數(shù)也可以用多項式相除的形式來表示

36、：)(NC （2-)()(1NEF)()(21NEP 9）

37、 由無源網(wǎng)絡能量守恒定律， 得出：21S （2-22()()NNFPE 10） 將（2-10 ）式代入（2-9 ）式有， （2-212()()NSFP 11）

38、 比較（2-8 ）式和（2-11 ）式可得， （2-()()NFCP 12） 式（2-7 ）給出了 與 的關系，下面再討論一下回波損耗21S 與 的關系。由能量守恒定律和式（2-11）我們可以得到：102()RLogdB （2- 210()NPRLogdBF 13） 反解出 ，就可以得到： （2-/101()NRLPF 14） 2.3 用迭代法得出 S 參數(shù)的多項式表達式 前面我們已經(jīng)得到了 與廣義切比雪夫函數(shù) 的關系，如（2-8）式所21 )(NC 示。然而式 的表達過于復雜，下面我們將通過迭代的算法化簡（2-8）式，)(NC 將 S

39、參數(shù)簡化為兩多項式相除的形式，如（2-9）式所示，這樣有利于后面耦合矩 陣的綜合。 分析（2-9 ）式， 的傳輸零點就是函數(shù) 的奇點，由于 的奇點21S)(N)(NC 是已知的為 ，故 的分子 也是已知的，可寫為：pi ()NP （2-1 Kpii() 15） 由于存在無限遠的傳輸零點，故多項式 的最高次項 ，當 時，()KPKN 所有的傳輸零點 均為有限值。下面，我們將介紹如何通過已知的傳輸零點pi 以及函數(shù) 的性質來化簡 S 參數(shù)的表達式，也就是求出多項式 和pi )(NC ()NF 的根。()NE 首先，將 按定義展開， 將反三角余弦的定義： （2-

40、 112()lnchxx 16） 代入（2-1 ）式可得， （2-1()ln() NNiiCchab 17） 式中 ， （2-iiax21/()iib 18） 由（2-2 ）式給出的三角余弦函數(shù)定義 可展開為：)(NC 11()(lnln()2NNi ii iCExpabExpab （2-11()2() NiNi iiabab 19） 由于 ，故式（2-19）可以寫為：2()()iiiiabx （2-11()NNNi ii iCab 20） 將式（2-3 ） ，式（2-18 ）代入式（2-20）可

41、得： （2-1()()()2/NNpiiFGCP 21） 其中， （2- Ni pipiG1 2/12/1)()( 22） （2- Ni pipi1 2/12/1)()( 23） 為方便推導，令 （2-1ipic1/2ipid21/() 24） 則（2-22 ）式， （2-23 ）式總可以寫成以下形式： （2-1()()NiiNiGcdUV 25） （2-1()()NiNicd 26） 其中， （2-NNuuU210)( 27） （2-2101()( )NNVvv 28） 下面從 開始，說

42、明多項式 ， 的迭代過程。當 時， （2-1()NU()V 22）式可以寫為： （2-1/211 11())()()()ppGcdUV 29） 當 時，有：2N1/2212121()()()()()ppcdUV （2-22()UV 30） 分析（2-30 ）式就可以得出 ， 的迭代關系式：()N()V （2-1/21 ()()NNppUUV 31） （2-1/21()() )()NN NppVVU 32） 求出多項式 ， 后，由于 ，故也就()NU()()()()2NNNFG 求出了多項式 。F 最后，通過能量守恒定律，利用式（2

43、-10）我們可以求出 ，()NE （2-221()()()NNNEFP 33） 在求 的過程中還需要注意，由于分析的是無源網(wǎng)絡，故 的根都應該()NE ()NE 在復平面的上半部，其余的根應該在開方后舍去，否則進行傅立葉逆變換后，時 域將得到指數(shù)遞增的解，這與實際不符。 下面以一個非對稱的五階濾波器為例子，說明具體的迭代過程。設濾波器的 回波損耗 ，三個歸一化的有限傳輸零點為 ，20RLdB 1.68p ， ，按照上述迭代算法，如式（2-29）所示代入21.39p31.74p 有，68 （2-1()0.592U1()(0.85)V 34） 運用迭

44、代公式（2-31） ， （2-32）代入 得，2.39p （2-2()0.9746.15.U()(0.2391.458)V 35） 接著代入 有，3.p 233()0.7425.1.4.706 （2-23.69..8)V 36） 有限傳輸零點代完后，由于 ，故還有兩個無窮遠的傳輸零點，代入5N 有，4p2344()0.691.38.47.05.29U （2-74254)V 37） 最后代入 得，5p2345()0.7423.15.01.6.801.8U （2-2345.69.8.94..)V 38） 接下來，用上述方法求出多項式 、 的根就完成了多項式的化簡工作，5

45、()F5()E 各多項式的根在下表列出。 表 2-1 五階非對稱濾波器各多項式的根 傳輸零點， 的根5()P反射零點， 的5() 根 傳輸或反射奇點， 的5()E 根 1 -1.6886 -0.9475 -1.1446+0.1878j 2 1.3199 -0.5183 -0.6899+0.6601j 3 1.7433 0.1918 0.3018+0.7356j 4 0.7446 0.9104+0.3458j 5 0.9752 1.0682+0.0825j 得出多項式后，根據(jù)（2-9）式我們可以繪出 S 參數(shù)的響應曲線，如下圖所示。 圖 2-3 五階非對稱濾波器的 S 參數(shù) 2.4 交叉耦合濾波

46、器的等效電路分析 眾所周知，通過非相鄰諧振器之間的交叉耦合，濾波器能產生傳輸零點。廣 義切比雪夫濾波器也是通過這種交叉耦合的等效電路來實現(xiàn)的。前面對廣義切比 雪夫函數(shù)做了分析，下面將通過對交叉耦合的等效電路的分析，建立廣義切比雪 夫函數(shù)與實際等效電路的聯(lián)系，進而對耦合矩陣進行綜合。 A. E. Atia在1972年就首先提出了交叉耦合濾波器的電路模型，并根據(jù)模型建 立了電路矩陣方程，其具體的建立過程如下： 首先，如圖一所示，根據(jù)Kirchhoff沿環(huán)路電壓之和為零的定理，寫出各個回 路的電路方程。 圖 2-4 交叉耦合濾波器等效電路模型 （2-39） 11121221 111(/)( 0(/)

47、 0/kkkkkkNNkNNNRjLjCijMijieMijijijLjijijMijijjC A 12 0(/)NijiiR 其次，在窄帶近似條件下，將上面各式進行歸一化，令 ，為相對0fFBW 帶寬，于是有： ， （ ） （2-FBWMmikik 40） ， （ ） （2-kkk 0011i 41） ， （ 1，2） （2-iiRrFBW 42） （2-)(1 0FBW 43） 上式中， 為歸一化角頻率， ,為各諧振器的諧振頻率，可以不等kkCL/1 于中心角頻律 ，這等于增加了優(yōu)化的輸入變量，能更加充分地挖

48、掘濾波器的濾0 波潛力。最終得到歸一化的電路矩陣方程： ， （2-ejIZIMjRU 2(1)j 44） 其中，U 為單位陣，R 表示的矩陣中，除了 ， ，其余元素均為零。1r2rN M 是一個以 為元素的對稱矩陣，稱為歸一化的耦合矩陣。ijm 為電流向量， 為激勵向量，TNkiiI 121 Te0 為等效的阻抗矩陣。我們所要提取的電路參數(shù)就在 M 和 R 矩陣中，其中 M 對Z 應實際電路中的耦合系數(shù)，R 對應輸入輸出端的外在品質因數(shù)。 從（2-44 ）式中，我們可以看出電流向量 可以表示為：I （2-eZjI1 45） 于是整個交叉耦合電路的 S 參數(shù)就可以表

49、示為： （2-1212121 NNZRjiR 46） （2-111 jiS 47） 由（2-9 ）式與（2-46 ） ， （2-47）式，我們就通過 S 參數(shù)建立了廣義切比雪夫 函數(shù)和交叉耦合等效電路之間的聯(lián)系。下一步，我們從 2.3 節(jié)得到的多項式入手， 對等效電路的耦合矩陣進行綜合。 2.5 耦合矩陣綜合 圖 2-5 一般雙端口等效電路 由上節(jié)的分析，我們可以進一步得到等效電路的一些電氣參數(shù)。將圖 2-4 所 示等效電路模型簡化為圖 2-5 所示的一般雙端口電路，由導納矩陣的定義可得： （2-12 1210()NNRiysjMIe 48） 其中

50、， 為上節(jié)的歸一化耦合矩陣， 為電流向量。同理，sjMI （2-12 120()NNRiysje 49） 由于 是一個實對稱矩陣（ ） ，其所有的特征值都是實數(shù)，故滿足：ijji （2-tMT 50） 其中， ，是以 為元素的對角陣， 是對稱正交陣，123Ndiagi T 是矩陣 的轉置，且有 ， 為單位陣。由于，tTtU （i,j=1，2，3，，N ） （2-1ikjtijTTI 51） 故，將式（2-51）代入式（2-48） ， （2-49）可以得到， （2-121()NkTysj 52） （2- 22

51、1()Nkysj 53） 下面，我們通過導納矩陣的兩個參數(shù) 和 建立 2.3 節(jié)所得到的多項21()ys2() 式 ， ， 與對稱正交陣 之間的關系。()NP()F()NET 對于圖 25 所示的雙端口網(wǎng)絡，其電壓電流關系，可用式（2-54）表示： （2- 1122VzIR 54） 由此可以解得 1 端口的輸入阻抗： （2- 2112()()VzzZsIR 55） 由阻抗矩陣與導納矩陣之間的轉換關系， （2-122zy 56） 可將式（2-55）化簡為： （2-12(/)()zyRZs 57） 而輸入阻抗 與 的關

52、系為，1()Zs1S （2-111 2()()mnEsFR 58） 上式中 ， 為多項式的實部， ， 為虛部。從（2-58）的分子中提取1m21n2 （N 為奇數(shù)）或者 （N 為偶數(shù)）就可以得到類似（2-57）的結構，以提取1n 為例，1n （2-1121122()/()/ZszyRnmR 59） 比較上式等式左右兩邊有， （2-12nyRm 60） 另外，由于 與 具有相同的分母，且 與 具有相同的傳輸零點，故 可21y21yS21y 表示為： （2-211()Psm 61） 上面式子中 ， 均可以通過 2.3

53、節(jié)中的多項式計算得到，由于1mn1()nEsF （2- 2101Re()I()Re()IeImfjfsfsnj j 62） 其中 ， 分別為多項式 ， 的復系數(shù)。ieif()EsF 對比式（2-52） ， （2-53 ）與（2-60） ， （2-61 ）可得： （ 2-11() NkTPsjm 63） （2- 211NknjR 64） 由上面兩式可以看出， 就是多項式 的根， 就是分式 的留數(shù)，而k1m2NkT1nm 則是分式 的留數(shù)。 ， 求出后，再運用施密特正交化就可以構造1NkT1()Psm1kTN 出耦合矩陣 M。 如圖 2-4 所示，若

54、將輸入，輸出腔的電阻 ， 歸一化，則需要再加入兩個1R2 耦合，即 和 。 表示源到第一個腔的耦合， 表示最后一個腔到負載1sNl1s NlM 的耦合。 若歸一化后源和負載的阻抗均為 1，則有， ， 。轉 21sRFBW2Nl 化為歸一化形式有： （2-21smr2Nlr 65） 此時的耦合矩陣由原來的 變成了 ，下面以 2.3 節(jié)的五階()(2) 非對稱濾波器為例子，說明耦合矩陣 M 的求解過程。 首先，由表 可以寫出各多項式的表達式：21 （2-325().746.87153.4Psjssj 66） （2-5432()0..90.680

55、.314.68Fsjssjssj 67） 5 43()(2.1.58)(.7.9)Esjsjs （2-23.0986.1..28(0.5.74)j jj（ ） （ 68） 由于 為奇數(shù)，故取 ，即提取 的情況。將（2-67） ， （2-68）代5N12myRn1 入式（2-62 ）就可以得到 ， 的表達式：1mn （2-4321()2.09.2.09861.90.58mssjssjs 69） （2-54321().816.5..3.7nsjssjssj 70） 由式（2-64 ）可以看出 就是多項式 的根，通過求分式 的留數(shù)，可以求k1()ns1mn 出 ，由分式 的留數(shù)以

56、及 可以求出 的值。具體的計算結果如下表所NkT1()PsmNkT1k 示： 表 2-2 留數(shù)的求解結果 參數(shù) k kNkT1kT 1 1.2425 0.3350 0.3350 2 -1.1523 0.2760 0.2760 3 -1.0422 0.4290 -0.4290 4 0.8217 0.5648 -0.5648 5 -0.3155 0.5609 0.5609 接下來，可以將耦合矩陣用上表中求得的參數(shù)來表示： 12134152 213334445 512300000NNNNTTTTT 圖 2-6 五階濾波器的耦合矩陣表示 將表 2-2 的數(shù)據(jù)代入圖 2-6 所示的結構中，就可以得到滿足

57、廣義切比雪夫函數(shù)的 耦合矩陣，將得到的耦合矩陣代入式（2-44） ， （2-46） ， （2-47）計算 S 參數(shù)，得 到的結果與圖 2-3 所示的結果是一致的。 0.350.276.490.5680.9.14 .350276.3276.91.2.405800.8178. .350.9.3.276.49.56m 圖 2-7 五階濾波器的耦合系數(shù)值 雖然我們綜合出了耦合矩陣，然而這樣的耦合結構顯然不易于實現(xiàn)。下一章， 我們將通過對耦合矩陣的化簡，消除我們不需要的耦合項，從而得到利于實現(xiàn)的 拓撲結構，進而完成濾波器的設計。 第三章 不同拓撲結構的耦合矩陣化簡 3.1 用相似變換對耦合矩陣消

58、元 在第二章中，我們通過對廣義切比雪夫多項式的分析，綜合出了耦合矩陣， 然而這樣的耦合矩陣還不實用，要對其做進一步的消元，才能得到利于實現(xiàn)的耦 合結構。對耦合矩陣的消元一般采用矩陣的相似變換，由于相似變換后矩陣的特 征值不變，故 S 參數(shù)的響應曲線也不變。而消元過程中若采用不同的消元順序， 和不同的消元方法，則會得到不同的耦合矩陣，也就是說同樣性能的濾波器可以 用不同的耦合結構來實現(xiàn)，故對耦合矩陣的消元具有一定的靈活性。 在矩陣的相似變換中，真正能起到消元作用是矩陣的旋轉，下面我們就通過 對矩陣旋轉的分析來說明耦合矩陣消元的一般規(guī)律。以一個 的耦合矩陣為例，7 設消元前的矩陣為 ，旋轉矩陣為

59、，則消元后的矩陣為：0MR （3-10tM 1） 其中 為矩陣 的轉置。旋轉矩陣 也是一個 的矩陣，若消元后，只影響到tR7 原矩陣第 3 行，第 3 列，以及第 5 行，第 5 列的元素，則 的結構如圖 3-1 所示，R 此時，我們說此旋轉矩陣的旋轉點為 。也就是說，旋轉點為 的旋轉矩陣3,,ij 只會影響原矩陣的 i，j 行 ，i，j 列。1351siRcj 圖 3-1 旋轉點為3,5的 7 階旋轉矩陣 其中， ， ， 為矩陣的旋轉角。設原矩35cos()cR35sin()R 陣各元素為 ，由于變換后原矩陣的 i 行，i 列，j 行，j 列均要變化，故將改變ijm

60、的矩陣元素以下圖的形式列出。 1351352 23153253453653754354356 6735735cmssmccmscscscmsssccmssm 圖 3-2 旋轉后改變的矩陣元素 由于公式過長，故將上圖中的部分元素用下式表達， （3-33535()()cscs 2） （3-353535()()msms 3） （3-533535()()cssc 4） （3-53535()()mssm 5） 歸納上面各矩陣的變換，對于旋轉點為 的旋轉矩陣，可以得到如下規(guī)律：,ij 當 時，,kij （3-

61、ikijkmcs 6） （3-jkijks 7） （3-kiikjmcs 8） （3-kjikjmsc 9） 當 時，由于原矩陣有對稱性 故，,kijijji （3-2iijijcsc 10） （3-22jijijmssm 11） （3-2()ijjiij ijcscs 12） 若要消除原矩陣元素 ，則令 并代入式（3-6）（3-12）就可以求出矩陣ijm0ij 的旋轉角 ，而后運用式（3-1）就可以完成對原矩陣指定元素的消元。 觀察矩陣元素的變換公式（3-6）（3-9）

62、可以得出，若變換前，等式右邊 的矩陣元素均為零，則不管旋轉角 為多少，變換后的元素值不變也等于零。這 一性質在后面的矩陣消元中有很大作用。 3.2 折疊型拓撲矩陣化簡 上一節(jié)中，討論了矩陣相似變換的一般規(guī)律。下面為了得到需要的耦合結構， 需要按照一定的順序來進行消元。折疊型拓撲結構是一種效率很高的耦合結構， 理論證明， 階折疊型濾波器，若沒有源和負載的耦合 ，最多可以實現(xiàn)Nslm 個傳輸零點，若加入源和負載的耦合，則最多只能實現(xiàn) 個傳輸零點。以2 N 7 階無源載耦合為例，其拓撲結構有兩種形式，如圖 3-3，3-4 所示： 圖 3-3 7 階下折疊型拓撲結構 圖 3-4 7 階上

63、折疊型拓撲結構 另外，圖 3-5，3-6 還給出了耦合矩陣的結構和消元順序。 圖 3-5 下折疊型耦合矩陣的消元順序 圖 3-6 上折疊型耦合矩陣的消元順序 由于耦合矩陣是對稱的，故只給出了上半部的元素，其余的可以根據(jù)對稱性得到。 圖中 s 為矩陣的自耦合量，m 為直接耦合，x 為交叉耦合。 表示矩陣的消 元順序。若從第一行開始消元，得到的是下折疊型的拓撲結構，如圖 3-5 所示。 若從最后一列開始消元，得到的是上折疊型的拓撲結構，如圖 3-6 所示。 下面以下折疊型為例說明其消元思路。對于的消元，可以用式（ 3- 6）（3-9 ）中的任意一個式子消元，旋轉點i,j也可以任意選

64、取。但為了使消元 程序化，使第一行以及第二行的, 的消元也能和 類似，我們選擇（3-9）式 進行消元，取 k1，i,j 5,6。對于的消元，為了不影響 ，矩陣的旋轉點 ，因此可取 k1， i,j4,5。依此類推完成第一行的消元。,ij 對于的消元，若象 一樣，用（ 3-7）式取 k7，i ,j2,3進行消元，由 于元素 ，故前面用 已經(jīng)消為零的元素 又會出現(xiàn)新的值，使前面的消120m13m 元作廢。因此，為了不影響前面的消元成果應選（3-6）式，取 k7，i,j 3,4， 此時由于 ， 均為零，故變換后 ， 仍然為零。134134 其余元素的消元思路均與上述類似，表 3-1 列出了圖 3-5

65、與圖 3-6 的整個矩 陣消元過程中所用到的公式以及參數(shù)的取值。 表 3-1 7 階下折疊型與上折疊型耦合矩陣的消元過程 下折疊型 上折疊型矩陣 消元 順序 所消 元素 所用 公式 k 旋轉點 i,j 所消 元素 所用 公式 k 旋轉點 i,j 16m3-9 1 5,6 27m3-6 7 2,3 53-9 1 4,5 33-6 7 3,4 43-9 1 3,4 43-6 7 4,5 133-9 1 2,3 573-6 7 5,6 73-6 7 3,4 13-9 1 4,5 47m3-6 7 4,5 14m3-9 1 3,4 53-6 7 5,6 33-9 1 2,3 23-9

66、2 4,5 63-6 6 3,4 43-9 2 3,4 43-6 6 4,5 63-6 6 4,5 23-9 2 3,4 最后以 2.3 節(jié)的 5 階濾波器為例（回波損耗 ，三個歸一化的有限傳0RLdB 輸零點為 ， ， ） ，按上述化簡思路分別得到1.8p21.39p31.74p 下折疊型和上折疊型的耦合矩陣值，結果如圖 3-7，3-8 所示。 0.3002681.172..49.836250..901. .0002689.1236.7.15.748.90.02561.3 圖 3-7 下折疊型耦合矩陣 圖 3-8 上折疊型耦合矩陣 3.3 異型拓撲矩陣化簡 異型拓撲結構（Cul-de-Sac）擁有最少的交叉耦合項，其交叉耦合項只有兩 項，且有一直接耦合項為零。對于 階異型濾波器，最多可以實現(xiàn) 個傳輸N3N 零點。異型拓撲結構的奇數(shù)階和偶數(shù)階的矩陣化簡有所差別，故奇數(shù)階以 7 階為 例，偶數(shù)階以 6 階為例，說明其化簡過程。其拓撲結構如圖 3-9，3-10 所示。 圖 3-9 7 階異型拓撲結構 圖 3-10 6 階異型拓撲