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1、8.3正 態(tài) 分 布 曲 線 一 、 復 習 回 顧 ： );1,0(,1)0(,)1( ppXPpXP ),1( pBX ),( pnBX ;,0,1)( nkppCkXP knkkn ),( nMNHx mkCCCkXP nN kn MNkM ,1,0,)( 你 是 否 認 識 它 ？二 、 創(chuàng) 設 情 境 ： 圖 中 每 一 黑 點 表 示 釘 在 板 上 的 一 顆 釘 子 ， 它 們 彼 此 的 距 離均 相 等 ， 上 一 層 的 每 一 顆 的 水 平 位 置 恰 好 位 于 下 一 層 的 兩 顆 正 中間 。 從 入 口 處 放 進 一 個 直 徑 略 小 于 兩 顆 釘 子

2、 之 間 的 距 離 的 小 圓 玻璃 球 ， 當 小 圓 球 向 下 降 落 過 程 中 ， 碰 到 釘 子 后 皆 以 1/2的 概 率 向左 或 向 右 滾 下 ， 于 是 又 碰 到 下 一 層 釘 子 。 如 此 繼 續(xù) 下 去 ， 直 到 滾到 底 板 的 一 個 格 子 內 為 止 。 把 許 許 多 多 同 樣 大 小 的 小 球 不 斷 從 入口 處 放 下 ， 只 要 球 的 數(shù) 目 相 當 大 ， 它 們 在 底 板 將 堆 成 近 似 于 正 態(tài) 的 密 度 函 數(shù) 圖 形 （ 即 ： 中 間 高 ， 兩 頭 低 ， 呈 左 右 對 稱 的 古 鐘 型 ） ，其 中 n

3、為 釘 子 的 層 數(shù) 。 這 是 英 國 生 物 統(tǒng) 計 學 家 高 爾 頓 設 計 的 用 來 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 的模 型 ， 稱 為 高 爾 頓 釘 板 （ 或 高 爾 頓 板 ） 。 三 、 探 究 思 考 ：1、 我 們 也 來 玩 一 玩 . , ,., ,2率 分 布 直 方 圖 可 以 畫 出 頻為 縱 坐 標入 各 個 球 槽 內 的 頻 率 值小 球 落 以以 球 槽 的 編 號 為 橫 坐 標律探 究 一 下 小 球 的 分 布 規(guī) 度我 們 進 一 步 從 頻 率 的 角況個 球 槽 內 的 小 球 分 布 情 落 在 在 各驗 次 數(shù) 的 增 加為 了 更 好

4、地 考 察 隨 著 試、 05.010.015.020.025.030.035.0 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽 的 編 號組 距頻 率 / 思 考 ： 隨 著 試 驗 次 數(shù) 和 分 組 數(shù) 的 增 多 ， 頻 率 直方 圖 的 形 狀 會 呈 現(xiàn) 什 么 樣 的 變 化 ？ .,線會 越 來 越 像 一 條 鐘 形 曲 這 個 頻 率 直 方 圖 的 形 狀隨 著 重 復 次 數(shù) 的 增 加O xy 在 上 面 游 戲 中 得 到 的 總 體 密 度 曲 線 就 是 或 近 似地 是 以 下 函 數(shù) 的 圖 象 ：1 、 正 態(tài) 曲 線 的 定 義 ：函 數(shù) 式

5、中 的 實 數(shù) 、 (0)是 參 數(shù) ， 分 別 表 示 總 體 的 平均 數(shù) 與 標 準 差 ， 稱 P（ x） 的 圖 象 稱 為 正 態(tài) 曲 線四 、 定 義 ： xexP x ,21)( 2 22 思 考 ： 2、 上 面 的 表 達 式 有 什 么 特 點 ？ 3、 回 憶 一 下 前 面 學 習 必 修 1時 我 們 學習 函 數(shù) ， 可 以 從 哪 些 方 面 研 究 它 ？ 答 ： 定 義 域 、 值 域 、 單 調 性 、 奇偶 性 、 周 期 性 等 0 1 2-1-2 x-3 3X= 正 態(tài) 曲 線 xexP x ,21)( 2 22 歸 納 、 總 結 ： 0 1 2

6、-1-2 x-3 3X= 正 態(tài) 曲 線 xexP x ,21)( 2 22（ ） 曲 線 位 于 x軸 上 方 ,與 x軸 不 相 交 ；（ ） 曲 線 是 單 峰 的 ,它 關 于 對 稱 ；（ ） 曲 線 在 處 達 到 峰 值 ；（ ） 曲 線 與 軸 之 間 的 面 積 為 1；（ ） 曲 線 是 單 峰 的 它 關 于 對 稱 ；（ ） 曲 線 在 處 達 到 峰 值 ；（ ） 曲 線 與 軸 之 間 的 面 積 為 ；xx 21歸 納 、 總 結 ： 對 函 數(shù) 圖 像 的 影 響與、 探 究 4（ 1） 思 考 ： 式 子 中 有 兩 個 變 化 的 參 數(shù) ， 我 們 可

7、以 看成 兩 個 變 量 ， 但 是 雙 變 量 會 對 我 們 的 研 究 造成 一 定 的 困 難 ， 同 學 們 有 什 么 好 的 辦 法 嗎 ？ 針 對 解 析 式 中 含 有 兩 個 參 數(shù) ， 較 難 獨 立分 析 參 數(shù) 對 曲 線 的 影 響 ， 這 里 通 過 固 定 一 個參 數(shù) ， 討 論 另 一 個 參 數(shù) 對 圖 象 的 影 響 ， 這 樣的 處 理 大 大 降 低 了 難 度 2、 觀 察 、 歸 納 、 總 結 ： 0.5 1 2O =-1 0 1O 1、 當 一 定 時 ， 曲 線 隨 的 變 化 而 沿 x軸 平 移 ；2、 當 一 定 時 ， 影 響 了

8、曲 線 的 形 狀 即 ：越 小 ， 則 曲 線 越 瘦 高 ， 表 示 總 體 分 布 越 集 中 ； 越 大 ， 則 曲 線 越 矮 胖 ， 表 示 總 體 分 布 越 分 散 結 論 ： xy0 a b中 的 概 率 呢 ？落 在 區(qū) 間 態(tài) 分 布 密 度 曲 線 求 出如 圖 ， 我 們 如 何 通 過 正、 思 考 ： ,(1 ba五 、 正 態(tài) 分 布 ： b a aFbFdxxpbxaP )()()()(答 ： 則 稱 X 的 分 布 為 正 態(tài) 分 布 . 正 態(tài) 分 布 由 參 數(shù) 、 唯 一 確 定 , 、 分 別 表 示 總 體 的 與 .正 態(tài) 分 布 記 作 N（

9、， 2） .其 圖 象 稱 為 正 態(tài) 曲 線 .如 果 對 于 任 何 實 數(shù) a23.答 案 ： A 例 2 在 某 項 測 量 中 ， 測 量 結 果 服 從 正 態(tài) 分 布 N(1,4)，求 正 態(tài) 總 體 X在 ( 1,1)內 取 值 的 概 率 思 路 點 撥 解 答 本 題 可 先 求 出 X在 ( 1,3)內 取 值 的 概率 ， 然 后 由 正 態(tài) 曲 線 關 于 x 1對 稱 知 ， X在 ( 1,1)內 取 值的 概 率 就 等 于 在 ( 1,3)內 取 值 的 概 率 的 一 半 一 點 通 解 答 此 類 問 題 的 關 鍵 在 于 充 分 利 用 正 態(tài)曲 線 的

10、 對 稱 性 ， 把 待 求 區(qū) 間 內 的 概 率 向 已 知 區(qū) 間 內 的 概率 進 行 轉 化 ， 在 此 過 程 中 注 意 數(shù) 形 結 合 思 想 的 運 用 3 若 隨 機 變 量 X N(， 2)， 則 P(X) _. 4 設 隨 機 變 量 X服 從 正 態(tài) 分 布 N(2,9)， 若 P(Xc 1)P(Xc 1)， 則 c _.答 案 ： 2 5 若 X N(5,1)， 求 P(5X7) 例 3 (10分 )據(jù) 調 查 統(tǒng) 計 ， 某 市 高 二 學 生 中 男 生 的 身 高X(單 位 ： cm)服 從 正 態(tài) 分 布 N(174,9) 若 該 市 共 有 高 二 男 生

11、 3 000人 ， 試 估 計 該 市 高 二 男 生 身 高 在 (174,180)范 圍 內 的 人 數(shù) 思 路 點 撥 因 為 174， 3， 所 以 可 利 用 正 態(tài) 分 布的 性 質 可 以 求 解 精 解 詳 析 因 為 身 高 X N(174,9)，所 以 174， 3， (2分 )所 以 2 174 2 3 168， 2 174 2 3 180，所 以 身 高 在 (168,180范 圍 內 的 概 率 為 0.954 4. (6分 )又 因 為 174.所 以 身 高 在 (168,174)和 (174,180)范 圍 內 的 概 率 相 等 ， 均 為0.477 2，故

12、該 市 高 二 男 生 身 高 在 (174,180)范 圍 內 的 人 數(shù) 是3 000 0.477 21 432(人 ) (10分 ) 一 點 通 解 決 此 類 問 題 一 定 要 靈 活 把 握 3原 則 ， 將所 求 概 率 向 P( X )， P( 2X 2)， P(3X 3)進 行 轉 化 ， 然 后 利 用 特 定 值 求 出 相 應 的 概率 同 時 要 充 分 利 用 好 曲 線 的 對 稱 性 和 曲 線 與 x軸 之 間 的 面積 為 1這 一 特 殊 性 質 1、 已 知 XN (0,1)， 則 X在 區(qū) 間 內 取 值 的 概 率 A、 0.9544 B、 0.04

13、56 C、 0.9772 D、 0.0228( , 2) 2、 設 離 散 型 隨 機 變 量 XN(0,1),則 = , = .( 0)P X ( 2 2)P X D0.50.95443、 若 已 知 正 態(tài) 總 體 落 在 區(qū) 間 的 概 率 為 0.5， 則相 應 的 正 態(tài) 曲 線 在 x= 時 達 到 最 高 點 。(0.3, )0.34、 已 知 正 態(tài) 總 體 的 數(shù) 據(jù) 落 在 （ -3,-1） 里 的 概 率 和 落在 （ 3,5） 里 的 概 率 相 等 ， 那 么 這 個 正 態(tài) 總 體 的 數(shù) 學期 望 是 。1 因 為 P( 3 X 3) 0.997 4， 所 以 正

14、 態(tài) 總 體X幾 乎 總 取 值 于 區(qū) 間 ( 3， 3)之 內 ， 而 在 此 區(qū) 間以 外 取 值 的 概 率 只 有 0.0026， 這 是 一 個 小 概 率 事 件 ， 通常 認 為 這 種 情 況 在 一 次 試 驗 中 幾 乎 不 可 能 發(fā) 生 這 是 統(tǒng)計 中 常 用 的 假 設 檢 驗 基 本 思 想 1 正 態(tài) 曲 線 態(tài) 變 量 概 率 密 度 曲 線 的 函 數(shù) 表 達 式 為 f(x) e ， x R， 其 中 參 數(shù) 為 正 態(tài) 分 布 變 量 的 ， ( )； 為 正 態(tài) 分 布 變 量 的 , 正 態(tài) 變 量 的 概 率 密 度 函 數(shù) (即 f(x)的 叫

15、 做 正 態(tài) 曲 線 期 望 為 ， 標 準 差 為 的 正 態(tài) 分 布 通 常 記 作 ， 0， 1的 正 態(tài) 分 布 叫 數(shù) 學 期 望 ， 標 準 差 (0， )圖 象 N(， 2)標 準 正 態(tài) 分 布 2 正 態(tài) 曲 線 的 性 質 (1)曲 線 在 x軸 的 ， 并 且 關 于 直 線 對 稱 ； (2)曲 線 在 時 處 于 最 高 點 ， 并 由 此 處 向 左 右 兩 邊延 伸 時 ， 曲 線 逐 漸 ， 呈 現(xiàn) “ ”的 形 狀 ； (3)曲 線 的 形 狀 由 參 數(shù) 確 定 ， 越 ， 曲 線 “矮 胖 ”； 越 ， 曲 線 越 “高 瘦 ”上 方 x x 降 低 中

16、間 高 ， 兩 邊 低大小 3 正 態(tài) 分 布 的 3原 則 P( X ) 68.3%； P( 2 X 2) ； P( 3 X 2) . 正 態(tài) 變 量 的 取 值 幾 乎 都 在 距 x 三 倍 標 準 差 之 內 ， 這 就是 正 態(tài) 分 布 的 3原 則 95.4%99.7% 歸 納 小 結 正 態(tài) 曲 線 的 性 質（ 1） 曲 線 在 x軸 的 上 方 ， 與 x軸 不 相 交 .（ 2） 曲 線 關 于 直 線 x=對 稱 .（ 3） 曲 線 在 x=時 位 于 最 高 點 .（ 4） 當 x時 ， 曲 線 下 降 .并 且 當 曲 線 向 左 、 右 兩 邊 無 限 延 伸 時 ， 以 軸 為 漸 近 線 ，向 它 無 限 靠 近 .(5)當 一 定 時 ， 曲 線 的 形 狀 由 確 定 .越 大 ， 曲 線 越 “ 矮 胖 ” ， 表 示 總 體 的 分 布 越 分 散 ；越 小 ， 曲 線 越 “ 瘦 高 ” ， 表 示 總 體 的 分 布 越 集 中 .0 1 2-1-2 x-3 3X=