《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題五 解析幾何 專題強(qiáng)化練十五 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題五 解析幾何 專題強(qiáng)化練十五 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題強(qiáng)化練十五 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題 一、選擇題 1．若雙曲線－＝1(0＜λ＜1)的離心率e∈(1，2)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(　　) A.　　 B．(1，2)　　 C．(1，4)　　 D. 解析：易知c＝1，a＝，且e∈(1，2)，所以1＜＜2，得＜λ＜1. 答案：D 2．橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A，B是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(3，＋∞) B．[1，3) C．(0，) D．(0，1] 解析：依題意，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上， 要在曲線C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan

2、 60°，即≥，解得0＜m≤1. 答案：D 3.如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是(　　) A．(2，6) B．(6，8) C．(8，12) D．(10，14) 解析：拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2，焦點(diǎn)F(2，0)． 由拋物線定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2，0)，半徑為4，所以三角形FAB的周長(zhǎng)為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB. 由拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋

3、y2＝16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.所以xB∈(2，6)，因此，8＜6＋xB＜12. 答案：C 4．(2018·山東德州一模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線上，且雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(，3)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x， 由雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(，3)，可得＝，① 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)(－c，0)在拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線x＝－4上， 可得c＝4，即有a2＋b2＝16，② 由①②解得a＝2，b＝2， 則雙曲線的方程為－＝1.

4、 答案：C 二、填空題 5．(2018·山西太原一模)過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為________． 解析：由過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得＜2， 所以e＝＝ ＜＝， 因?yàn)閑＞1，所以1＜e＜， 所以此雙曲線離心率的取值范圍為(1，)． 答案：(1，) 6．(2018·濟(jì)南模擬)已知拋物線y2＝4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作x軸，y軸垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為________．

5、 解析：不妨設(shè)A(x1，y1)(y1＞0)， B(x2，y2)，(y2＜0)． 則|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1. 又y1y2＝－p2＝－4. 所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)． 設(shè)g(x)＝－，g′(x)＝， 令g′(x)＜0，得x＜－2，令g′(x)＞0得－2＜x＜0.所以g(x)在(－∞，－2)遞減，在(－2，0)遞增． 所以當(dāng)x＝－2，即y2＝－2時(shí)，|AC|＋|BD|取最小值為3. 答案：3 三、解答題 7．已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，且與直線y＝－1相切． (1)求動(dòng)圓心M的軌跡方程； (2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，－2)，且與點(diǎn)M的軌跡交于A，B

6、兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)． (1)解：由題意得點(diǎn)M與點(diǎn)(0，1)的距離等于點(diǎn)M與直線y＝－1的距離． 由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0，1)為焦點(diǎn)，直線y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，則＝1，所以p＝2. 所以圓心M的軌跡方程為x2＝4y. (2)證明：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－x2，y2)， 由得x2－4kx＋8＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝8. kAC＝＝＝， 直線AC的方程為y－y1＝(x－x1)． 即y＝y(tǒng)1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋， 因?yàn)閤1x2＝8，所以y＝

7、x＋2， 則直線AC恒過(guò)點(diǎn)(0，2)． 8．(2018·西安質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，直線x＋y－1＝0被以橢圓C的短軸為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為. (1)求橢圓C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)M(4，0)的直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范圍． 解：(1)原點(diǎn)到直線x＋y－1＝0的距離為， 由題得＋＝b2(b＞0)， 解得b＝1. 又e2＝＝1－＝，得a＝2. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，λ＝|MA|·|MB|＝12. 當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：x＝my＋4，點(diǎn)A(x1，y1)，B

8、(x2，y2)， 聯(lián)立方程組 化簡(jiǎn)得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0. 由Δ＝64m2－48(m2＋4)＞0，得m2＞12， 所以y1y2＝. λ＝|MA|·|MB| ＝|y1|·|y2| ＝(m2＋1)|y1y2|＝ ＝12. 由m2＞12，得0＜＜，所以＜λ＜12. 綜上可得，＜λ≤12，即λ∈. 9．(2018·惠州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)C(2，0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求證：y1y2為定值； (2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線

9、的方程和弦長(zhǎng)，如果不存在，說(shuō)明理由． (1)證明：法一　當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，不妨取y1＝2，y2＝－2， 所以y1y2＝－8(定值)． 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)， 由得ky2－4y－8k＝0， 所以y1y2＝－8. 綜上可得，y1y2＝－8為定值． 法二　設(shè)直線AB的方程為my＝x－2. 由得y2－4my－8＝0，所以y1y2＝－8. 因此有y1y2＝－8為定值． (2)解：存在．理由如下： 設(shè)存在直線l：x＝a滿足條件，則 AC的中點(diǎn)E， |AC|＝， 因此以AC為直徑的圓的半徑r＝|AC|＝＝， 點(diǎn)E到直線x＝a的距

10、離d＝， 所以所截弦長(zhǎng)為 2 ＝2 ＝ ＝， 當(dāng)1－a＝0，即a＝1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)的直線的方程為x＝1. 10．(2018·河南鄭州二模)已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1，0)，且和直線l：x＝－1相切． (1)求該動(dòng)圓圓心E的軌跡G的方程； (2)已知點(diǎn)A(3，0)，若斜率為1的直線l′與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A)，且與曲線G交于B、C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由題意可知點(diǎn)E到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)E到直線l的距離， 所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以F(1，0)為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線， 故軌跡G的方程是y2＝4x. (2)設(shè)直線l′的方程為y＝x

11、＋m，其中－3＜m＜0. 聯(lián)立方程組 消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零． 設(shè)C(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2， 所以|CB|＝4， 點(diǎn)A到直線l′的距離d＝， 所以S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)， 令＝t，t∈(1，2)，則m＝1－t2， 所以S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3， 令f(t)＝8t－2t3，所以f′(t)＝8－6t2， 易知y＝f(t)在上遞增，在上遞減． 所以y＝f(t)在t＝，即m＝－時(shí)取得最大值． 所以△ABC面積的最大值為.