《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第九章 立體幾何初步 第53課 立體幾何綜合 文-人教版高三全冊數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第九章 立體幾何初步 第53課 立體幾何綜合 文-人教版高三全冊數(shù)學試題（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第53課 立體幾何綜合 (本課時對應(yīng)學生用書第　　頁) 自主學習　回歸教材 1.(必修2P38練習5改編)如圖，在△ABC中，M為邊BC的中點，沿AM將△ABC 折起，使點B在平面ACM外.則當　　　　時，直線AM⊥平面BCM. (第1題) 【答案】AB=AC 【解析】當AB=AC時，有AM⊥MB，AM⊥MC. 2.(必修2P50練習5改編)若在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別是棱SA，SB，SC的中點，則平面MNP與平面ABC的位置關(guān)系為　　　　. 【答案】平行 3.(必修2P70練習13改編)若三個球的半徑之比為1∶2∶3，則最大的球的體積是另外

2、兩個球的體積之和的　　　　倍. 【答案】3 【解析】根據(jù)球的體積公式V=πr3進行求解. 4.如圖(1)，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，一質(zhì)點 自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為　　　　cm. (第4題(1)) 【答案】13 【解析】如圖(2)，將三棱柱沿側(cè)棱AA1展開(兩周)，AA1=5 cm，AA″=12 cm，易知所求最短路線長為A1A″=13 cm. (第4題(2)) 1.高考中關(guān)于立體幾何的?？伎键c有：性質(zhì)的運用，證明位置關(guān)系(平行或垂直)，求量(體積、面積、長度).

3、 2.解決翻折問題時要注意量和關(guān)系的變與不變. 3.立體幾何會與函數(shù)等知識綜合考查求最值，得出關(guān)系式是解決問題的前提. 【要點導(dǎo)學】 要點導(dǎo)學　各個擊破 　簡單幾何體的折疊問題 例1　(2014·廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如圖(2)所示折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF. (1)求證：CF⊥平面MDF； (2)求三棱錐M-CDE的體積. 　圖(1) 　圖(2) (

4、例1) 【思維引導(dǎo)】要證CF⊥平面MDF，可通過證明CF⊥DF與CF⊥MD得到.求三棱錐M-CDE的體積的前提是分別求得△CDE的面積與MD的值；借助圖形中的垂直與平行關(guān)系可求得相應(yīng)的值. 【解答】(1)因為PD⊥平面ABCD，PD平面PCD， 所以平面PCD⊥平面ABCD， 而平面PCD∩平面ABCD=CD， MD平面ABCD，MD⊥CD， 所以MD⊥平面PCD. 因為CF平面PCD，所以CF⊥MD， 又CF⊥MF，MD，MF平面MDF，且MD∩MF=M， 所以CF⊥平面MDF. (2)由(1)知CF⊥平面MDF， DF平面MDF，所以CF⊥DF， 易知∠PCD=60

5、°，所以∠CDF=30°， 從而CF=CD=， 因為EF∥DC， 所以=，即=， 所以DE=，所以PE=， 所以S△CDE=CD×DE=， MD====， 所以=S△CDE×MD=××=. 【精要點評】本題以折疊圖形為考查形式，考查直線與平面垂直的判定以及利用等體積法計算三棱錐的體積，屬于中檔題.圖形折疊問題主要先弄清量的變與不變的問題，以及兩個圖形之間的關(guān)系等. 變式　如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC=. (1

6、)求證：DE∥平面BCF； (2)求證：CF⊥平面ABF； (3)當AD=時，求三棱錐F-DEG的體積. 圖(1) 圖(2) (變式) 【思維引導(dǎo)】要證DE∥平面BCF，即可證DE∥BC；要證CF⊥平面ABF，即可證AF⊥CF與BF⊥CF；求體積前先確定GE是高，△DFG是底. 【解答】(1)在等邊三角形ABC中，AD=AE， 所以=，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立， 所以DE∥BC. 因為DE平面BCF，BC平面BCF， 所以DE∥平面BCF. (2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點， 所以AF⊥CF

7、?、?，且BF=CF=. 因為在三棱錐A-BCF中，BC=， 所以BC2=BF2+CF2， 所以CF⊥BF　②. 因為BF∩AF=F，BF，AF平面ABF， 所以CF⊥平面ABF. (3)由(1)可知GE∥CF，結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG， 所以==××DG×FG×GE=×××××=. 　立體幾何模型實際應(yīng)用問題 例2　請你設(shè)計一個包裝盒，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去如圖(1)所示的陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個如圖(2)所示的正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等

8、腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=x cm. (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位：cm2)最大，試問：x應(yīng)取何值? (2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位：cm3)最大，試問：x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值. 圖(1) 圖(2) (例2) 【思維引導(dǎo)】本題求解的前提是找到盒子的底面邊長與高，繼而求得底面面積，再求其體積.而解題的關(guān)鍵是正確地求得“盒子”體積的函數(shù)式.因為題中涉及了三次函數(shù)的最值，所以要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值. 【解答】(1)根據(jù)題意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-

9、8x2=-8(x-15)2+1 800(00，V單調(diào)遞增； 當20

10、模型求解的能力等，屬于中檔題； (2)合理、正確地構(gòu)建函數(shù)式是解決此類問題的關(guān)鍵，在給出函數(shù)式時要考慮到其定義域； (3)涉及求高次函數(shù)的最值時要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值. 變式　如圖(1)，將邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的底面為正三角形的鐵皮箱，如圖(2)所示，當箱底邊長為多少時，箱子容積最大?最大容積是多少? 圖(1)　 　　圖(2) (變式) 【解答】設(shè)箱底邊長為x， 則箱高為h=×(0

11、a). 由V'(x)=ax-x2=0，解得x1=0(舍去)，x2=a，且當x∈時，V'(x)>0，函數(shù)V(x)單調(diào)遞增； 當x∈時，V'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以函數(shù)V(x)在x=a處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值： V=a×-×=a3. 答：當箱子底邊長為a時，箱子容積最大，最大值為a3. 　簡單的幾何體鑲嵌問題 例3　在球面上有四個點P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，則這個球的表面積是　　　　. 【思維引導(dǎo)】要求球的面積，關(guān)鍵在于求球的半徑. 【答案】3πa2 (例3) 【解析】作出球O如圖所示

12、，設(shè)過A，B，C三點的球的截面圓的半徑為r，圓心為O'，球心到該圓面的距離為d，在三棱錐P-ABC中，因為PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=a，所以AB=AC=BC=a，且點P在△ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O'， 由正弦定理得 =2r， 所以r=a. 又根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，有OO'⊥平面ABC. 而PO'⊥平面ABC， 所以P，O，O'三點共線，球的半徑R=. 又PO'===a， 所以O(shè)O'=R-a=d=， 所以=R2-，解得R=a， 所以S球=4πR2=3πa2. 【精要點評】解決球與棱柱、棱錐、棱臺的切、接問題，一般經(jīng)過球心及多面體中特殊的點或線作截面，通

13、過作截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進而利用平面幾何的知識尋找兩幾何體的元素間的關(guān)系.解決鑲嵌問題的關(guān)鍵是要弄清楚兩個或多個幾何體之間的數(shù)量及位置關(guān)系. 變式　若一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的體積為　　　　. 【答案】 【解析】可考慮正四面體的“外接”立方體，該立方體的棱長為1，其外接球的直徑為，所以球的體積為=. 1.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖(2)所示的正四棱錐容器，則當x=6cm時，該容器的容積為　　　　cm3. 圖(1

14、)　　　　　　圖(2) (第1題) 【答案】48　 【解析】由題知AB=6cm，所以底面ABCD的面積為36cm2.結(jié)合圖形可求得正四棱錐的高為4，所以該容器的容積為48cm3. 2.在棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為　　　　. 【答案】 3.(2015·陜西卷)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖(2)所示.求證：CD⊥平面A1OC. 圖(1)　 　　圖(2) (第3題)

15、 【解答】在圖(1)中，因為AB=BC，AD=2BC，E是AD的中點，∠BAD=90°，所以四邊形ABCE是正方形， 所以BE⊥AC， 即在圖(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC， OA1∩OC=O，OA1，OC平面A1OC， 所以BE⊥平面A1OC， 又AD∥BC，AD=2BC，且E為AD的中點， 所以EDBC，所以四邊形BCDE是平行四邊形， 所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. 4.請你設(shè)計一個如圖所示的帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐.問：當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大? (第4題)

16、 【解答】設(shè)OO1為x m，則10 ，V(x)為增函數(shù)； 當2

17、中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，且CE=4.如圖(2)所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點F是AB的中點. 圖(1)　　 　圖(2) (1)求證：DE⊥平面BCD； (2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積. 【思維引導(dǎo)】 【規(guī)范解答】(1)在圖(1)中，因為AC=6，BC=3，∠ABC=90°，所以∠ACB=60°. 因為CD為∠ACB的平分線，所以∠BCD=∠ACD=30°，所

18、以CD=2………………2分 因為CE=4，∠DCE=30°，所以DE=2. 因為CD2+DE2=EC2，所以∠CDE=90°，即DE⊥DC……………………………………4分 在圖(2)中，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE平面ACD， 所以DE⊥平面BCD……………………………………………………………………………7分 (2)在圖(2)中，因為EF∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG=BG， 所以EF∥BG.……………………9分 因為點E在線段AC上，CE=4，點F是AB的中點，所以AE=EG=CG=2. 作BH⊥CD交CD于點H，如

19、圖(3)所示.因為平面BCD⊥平面ACD， 所以BH⊥平面ACD.………………………………………………11分 圖(3) 由已知條件可得BH=…………………………………………………………………….12分 S△DEG=S△ACD=×AC×CD×sin 30°=…………………………………………………..13分 所以三棱錐B-DEG的體積V=S△DEG×BH=××= ……………………………14分 【精要點評】對于翻折問題，通常在折痕的同側(cè)的位置關(guān)系和線的長度、角的大小不變，但是在折痕兩側(cè)的線的長度、角的大小以及位置關(guān)系都有變化，這一點是處理翻折問題的關(guān)鍵. 趁熱打鐵

20、，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第105~106頁. 【檢測與評估】 第53課　立體幾何綜合 一、 填空題 1.(2015·平頂山統(tǒng)考)已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的　　　　條件. 2.在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有　　　　對. 3.下列命題中，是真命題的有　　　　.(填序號) ①平行于同一個平面的兩個不同平面互相平行； ②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面； ③如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)； ④如果兩個不重合的平面有一個公共

21、點， 那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，下列命題中正確的是　　　　.(填序號) ①若α⊥β，mα，nβ，則m⊥n； ②若α∥β，mα，nβ，則m∥n； ③若m⊥n，mα，nβ，則α⊥β； ④若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β. 5.(2015·全國卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及委米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積

22、和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有　　　　. (第5題) 6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是　　　　. (第6題) 7.在正四面體ABCD中，E是AB的中點，那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為　　　　　. 8.(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4π，過圓錐的兩條母線作截面，截面為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為　　　　. 二、 解答題 9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=

23、CD=AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD. (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PN∶PB的值. (第9題) 10.(2015·無錫期末)如圖，過四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內(nèi)的一點P和下底面的對角線BD將木塊鋸開，得到截面BDFE. (1)請在木塊的上表面作出過點P的鋸線EF，并說明理由； (2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形BB1D1D是矩形，求證：平面BDFE⊥平面A1C1CA. (第10題) 11.四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a. (1)求該

24、四面體的體積的最大值； (2)當四面體的體積最大時，求其表面積. 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.(2015·福建卷)如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1. (第12題) (1)若D為線段AC的中點，求證：AC⊥平面PDO； (2)求三棱錐P-ABC體積的最大值； (3)若BC=，點E在線段PB上，求CE+OE的最小值. 【檢測與評估答案】 第53課　立體幾何綜合 1. 必要不充分 2. 4　【解析】3對側(cè)面，1對底面. 3. ①②③④ 4. ④

25、 5.22斛　【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2×3r=8，得r=，所以米堆的體積為××3××5=，故堆放的米約為÷1.62≈22(斛). 6. 7.　【解析】如圖，設(shè)AD的中點為F，連接EF，CF，則EF∥BD，所以異面直線CE與BD所成的角就是∠CEF.設(shè)正四面體ABCD的棱長為2a，則EF=a，CE=CF=a，由余弦定理可得cos ∠CEF= =. (第7題) 8.　【解析】如圖，設(shè)底面半徑為r，由題意可得母線長為r.又側(cè)面展開圖的面積為×r×2πr=4π，所以r=2.又截面三角形ABD為等邊三角形，故BD=AB=r，又OB=OD=r，故△BOD為等腰直角三

26、角形.設(shè)圓錐底面中心到截面的距離為d，又=，所以d×S△ABD=AO×S△OBD.又S△ABD=AB2=×8=2，S△OBD=2，AO=r=2，故d==. (第8題) 9. (1) 設(shè)AD=1，因為AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2. 因為∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°. 在△ABC中，由余弦定理得BC=， 所以AC2+BC2=AB2，所以BC⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以BC⊥PC. 因為PC平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC. (2) 如圖，因為AB∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDM

27、N， (第9題) 所以AB∥平面CDMN. 因為AB平面PAB，平面PAB∩平面CDMN=MN，所以AB∥MN. 在△PAB中，因為M為線段PA的中點，所以N為線段PB的中點，即PN∶PB的值為. 10. (1) 如圖，在上底面內(nèi)過點P作B1D1的平行線，分別交A1D1，A1B1于F，E兩點，則EF即為所作的鋸線. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱B1B∥D1D且B1B=D1D， 所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD=BD， 平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF， 所

28、以EF∥BD，從而EF∥B1D1. (第10題) (2) 由于四邊形BB1D1D是矩形， 所以BD⊥B1B. 又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A. 又因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 因為AC∩A1A=A，AC平面A1C1CA，A1A平面A1C1CA， 所以BD⊥平面A1C1CA.因為BD平面BDFE，所以平面BDFE⊥平面A1C1CA. 11. (1) 如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP，EP，CP，所以BP⊥AD，CP⊥AD，BP∩CP=P，BP

29、，CP平面BCP，所以AD⊥平面BPC， 所以=+ =·S△BPC·AP+S△BPC·PD =·S△BPC·AD =··a ·x =≤·=a3(當且僅當x=a時取等號). 所以該四面體的體積的最大值為a3. (第11題) (2) 由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a， 所以S表=2×a2+2××a× =a2+a× =a2+ =a2. 12. (1) 在△AOC中，因為OA=OC，D為AC的中點，所以AC⊥OD. 又PO垂直于圓O所在的平面，AC圓O所在的平面，所以PO⊥AC. 因

30、為PO∩DO=O，PO，DO平面PDO，所以AC⊥平面PDO. (2) 因為點C在圓O上，所以當CO⊥AB時，點C到AB的距離最大，且最大值為1. 又AB=2，所以△ABC面積的最大值為 ×2×1=1. 又因為三棱錐P-ABC的高PO=1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為×1×1=. (3) 在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==. 同理PC=，所以PB=PC=BC. 在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面PCB繞PB旋轉(zhuǎn)至平面PBC'，使之與平面ABP共面，當O，E，C'共線時，CE+OE取得最小值. 又因為OP=OB，C'P=C'B，所以O(shè)C'垂直平分PB，即E為PB的中點. 從而OC'=OE+EC'=+=，即CE+OE的最小值為. (第12題)