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(江蘇專用)高考數(shù)學一輪復習 加練半小時 專題9 平面解析幾何 第76練 雙曲線 理(含解析)-人教版高三數(shù)學試題

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1、第76練 雙曲線 [基礎保分練] 1.(2018·鹽城質檢)經過點A(2,-2)且與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為________________. 2.過雙曲線C:-=1(b>0)的左焦點F1作直線l與雙曲線C的左支交于M,N兩點.當l⊥x軸時,MN=3,則右焦點F2到雙曲線C的漸近線的距離是________. 3.設雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,右頂點為A,若A為線段F1F2的一個三等分點,則該雙曲線的離心率為________. 4.設F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3PF1=4PF2,則△PF1F2的面積

2、等于______. 5.(2018·無錫模擬)如圖所示,橢圓中心在坐標原點,F(xiàn)為左焦點,A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,當FB⊥AB時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”,類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e=________. 6.設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若在雙曲線左支上存在點P,滿足PF1=F1F2,且F1到直線PF2的距離為a,則該雙曲線的離心率e=________. 7.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2AB=3BC,則E的離心率是_______

3、_. 8.(2019·蘇州模擬)P是雙曲線-=1(a>0,b>0)上的點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左、右焦點,雙曲線的離心率是,且PF1⊥PF2,若△F1PF2的面積是9,則a+b的值為________. 9.已知O為坐標原點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線C上一點P滿足(+)·=0,且||·||=2a2,則雙曲線C的漸近線方程為________. 10.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點F1作斜率為1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A,B,若=,則雙曲線的漸近線方程為________. [能力提升練] 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>

4、0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為________________. 2.已知點F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線交雙曲線C的左支于A,B兩點,且AF2=3,BF2=5,AB=4,則△BF1F2的面積為________. 3.已知橢圓+=1(a1>b1>0)與雙曲線-=1(a2>0,b2>0)有公共的左、右焦點F1,F(xiàn)2.它們在第一象限交于點P,其離心率分別為e1,e2,以F1F2為直徑的圓恰好過點P,則+=________. 4.(2018·江蘇省高考沖刺預測卷)已知雙曲線C:

5、-=1(a>0,b>0),過雙曲線C的右焦點F作C的漸近線的垂線,垂足為M,延長FM與y軸交于點P,且FM=4PM,則雙曲線C的離心率為________. 5.已知F是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的一個公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若·=0,則C2的離心率為________. 6.已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,6),當△APF周長最小時,該三角形的面積為__________. 答案精析 基礎保分練 1.-=1 2. 3.3 4.24 5. 6.2 解析 設F1到直線PF2的垂足為M, 因為PF1=F1F2=2c

6、, 所以M為PF2的中點,由題意可知, PF2=2MF2=2 =2. 根據(jù)雙曲線定義得PF2-PF1=2a, 所以PF2=2a+2c, 即2=2a+2c, 化簡可得3c2-2ac-8a2=0, 整理得(3c+4a)(c-2a)=0, 因為e>1,解得e==2. 7.2 解析 將x=-c代入-=1, 得y=±,∴AB=, ∵2AB=3BC,∴2×=3×2c, 整理得2c2-2a2-3ac=0, 即2e2-3e-2=0, 解得e=2或e=-(舍去). 8.7 解析 由雙曲線的離心率e=, 知c=a, ① ∵PF1⊥PF2,

7、S△PF1F2=PF1·PF2=9, ∴PF1·PF2=18. 在Rt△PF1F2中,4c2=PF+PF=(PF1-PF2)2+2PF1·PF2=4a2+36, ② 由①②解得a=4,c=5,b=3,∴a+b=7. 9.y=±x 解析 根據(jù)(+)·=0, 可知OP=OF2=OF1, 即△PF1F2為直角三角形. 設PF1=m,PF2=n, 依題意有 根據(jù)勾股定理得 m2+n2=(m-n)2+2mn=8a2=4c2, 解得c=a=b,a=b, 故雙曲線為等軸雙曲線,漸近線方程為y=±x. 10.3x±y=0 解析 由得x=-, 由解得x=, 不妨設xA=-

8、,xB=, 由=, 可得-+c=+, 整理得b=3a. 所以雙曲線的漸近線方程為3x±y=0. 能力提升練 1.x2-=1 2. 3.2 解析 由橢圓定義得PF1+PF2=2a1, ① P在第一象限,由雙曲線定義, 得PF1-PF2=2a2. ② 由①②得PF1=a1+a2,|PF2|=a1-a2, 因為以F1F2為直徑的圓恰好過點P, 所以∠PF1F2=90°, 所以PF+PF=(2c)2, 所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2, 所以a+a=2c2, 所以+=2,即+=2. 4. 解析 雙曲線

9、C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,右焦點為F(c,0).過F與漸近線垂直的直線為y=-(x-c). 設M(xM,yM),P(0,yP), 由 可解得xM=,yM=, 在y=-(x-c)中,令x=0, 可得yP=, ∵FM=4PM,∴=4, ∴-c=4, 整理得5a2=c2,則e2=5, ∴e=,即雙曲線C的離心率為. 5. 解析 如圖,設左焦點為F,右焦點為F′, 再設AF=x,AF′=y(tǒng), ∵點A為橢圓C1:+y2=1上的點, 2a=6,b=1,c=2, ∴AF+AF′=2a=6,即x+y=6. ① 又四邊形AFB

10、F′為矩形, ∴AF2+AF′2=FF′2, 即x2+y2=(2c)2=32, ② 聯(lián)立①②得 解得x=3-,y=3+, 設雙曲線C2的實軸長為2a′,焦距為2c′, 則2a′=AF′-AF=y(tǒng)-x=2,2c′=4, ∴C2的離心率是e===, 故答案為. 6.12 解析 由已知得a=1,c=3, 則F(3,0),AF=15. 設F1是雙曲線的左焦點, 根據(jù)雙曲線的定義有PF-PF1=2, 所以PA+PF=PA+PF1+2≥AF1+2=17, 即點P是線段AF1與雙曲線左支的交點時, PA+PF=PA+PF1+2最小, 即△APF周長最小, 此時sin∠OAF=, cos∠PAF=1-2sin2∠OAF=, 即有sin∠PAF=. 由余弦定理得PF2=PA2+AF2-2PA·AF·cos∠PAF, 即(17-PA)2=PA2+152-2PA×15×,解得PA=10,于是S△APF=PA·AF·sin∠PAF=×10×15× =12.

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