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(湖南專用)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)(十三)配套作業(yè) 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十三) [第13講 空間向量與立體幾何] (時(shí)間:45分鐘)                        1.若兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),則||的取值范圍是(  ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] 2.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,且有=x+y+z(x,y,z∈R),則x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四點(diǎn)共面的(  ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 3.如圖13-1

2、,三棱錐A-BCD的棱長全相等,E為AD的中點(diǎn),則直線CE與BD所成角的余弦值為(  ) 圖13-1 A. B. C. D. 4.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足·=·=·=0,則△BCD是(  ) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰直角三角形 5.a(chǎn),b是兩個(gè)非零向量,α,β是兩個(gè)平面,下列命題正確的是(  ) A.a(chǎn)∥b的必要條件是a,b是共面向量 B.a(chǎn),b是共面向量,則a∥b C.a(chǎn)∥α,b∥β,則α∥β D.a(chǎn)∥α,b β,則a,b不是共面向量 6.若a⊥b,a⊥c,l=αb+β c(α,β∈R),m∥a,則

3、m與l一定(  ) A.共線 B.相交 C.垂直 D.不共面 7.已知平面ABC,點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn),點(diǎn)M滿足條件=++,則直線AM(  ) A.與平面ABC平行 B.是平面ABC的斜線 C.是平面ABC的垂線 D.在平面ABC內(nèi) 8.已知四邊形ABCD滿足,·>0,·>0,·>0,·>0,則該四邊形ABCD為(  ) A.平行四邊形 B.空間四邊形 C.平面四邊形 D.梯形 9.設(shè)a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k(其中i,j,k是兩兩垂直的單位向量).若a4=λa1+μa2+νa3,

4、則實(shí)數(shù)組(λ,μ,ν)=________. 10.已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)·取得最小值時(shí),=________. 11.如圖13-2,在空間直角坐標(biāo)系中有棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)M是線段DC1上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值是________. 圖13-2 12.如圖13-3,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DE=λa(0<λ≤1). (1)求證:對(duì)任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE; (2)若二

5、面角C-AE-D的大小為60°,求λ的值. 圖13-3 13.如圖13-4所示的七面體是由三棱臺(tái)ABC—A1B1C1和四棱錐D-AA1C1C對(duì)接而成,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,BB1⊥平面ABCD,BB1=2A1B1=2. (1)求證:平面AA1C1C⊥平面BB1D; (2)求二面角A-A1D-C1的余弦值. 圖13-4 14.如圖13-5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等腰三角形,∠B=90°,D為棱BB1上一點(diǎn),且平面DA1C⊥平面AA1C1C. (1)求證:D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn);

6、(2)若二面角A-A1D-C的平面角為60°,求直線A1C與平面ABB1A1所成的角的大小. 圖13-5 專題限時(shí)集訓(xùn)(十三) 【基礎(chǔ)演練】 1.B [解析] =(2cosθ-3cosα,2sinθ-3sinα,0),所以||=,正確選項(xiàng)為B. 2.B [解析] 當(dāng)x=2,y=-3,z=2時(shí), 即=2-3+2, 則-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根據(jù)共面向量定理,P,A,B,C四點(diǎn)共面;反之當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí),根據(jù)共面向量定理=m+n, 即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+

7、n, 即x=1-m-n,y=m,z=n,這組數(shù)顯然不止2,-3,2.故選B. 3.A [解析] 設(shè)棱長為a,則·=(+)(+)=,所以cosθ===,所以正確選項(xiàng)為A. 4.C [解析] ·=(-)·(-)=||2>0,故B為銳角,同理其余兩個(gè)角也是銳角. 【提升訓(xùn)練】 5.A [解析] 選項(xiàng)B中,a,b共面不一定平行;選項(xiàng)C中更不可能;選項(xiàng)D,a,b可能共面. 6.C [解析] m∥a,故m=λa,m·l=λa·(αb+β c)=λαa·b+ λ β a·c=0,故m⊥l. 7.D [解析] 根據(jù)共面向量定理的推論,點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),故直線AM在平面ABC內(nèi). 8.B 

8、[解析] 假設(shè)四邊形ABCD為平面四邊形,根據(jù)已知條件四個(gè)內(nèi)角都是鈍角,其和大于360°,矛盾. 9.(-2,1,-3) [解析] a4=λa1+μa2+νa3成立, ∵a1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),a3=(-2,1,-3), a4=(3,2,5), ∴(2λ+μ-2ν,-λ+3μ+ν,λ-2μ-3ν)=(3,2,5), ∴解得這樣的λ,μ,ν存在,且 10.,, [解析] 設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(λ,λ,2λ),其中λ為實(shí)參數(shù),則=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ) =6

9、λ2-16λ+10=6λ-2-,即當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí),·取得最小值-,此時(shí)=,,. 11.a [解析] 設(shè)M(0,m,m)(0≤m≤a),=(-a,0,a),直線AD1的一個(gè)單位方向向量s0=,由=(0,-m,a-m),故點(diǎn)M到直線AD1的距離 d=||2-|·s0|2)==,根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m=-=時(shí)取最小值-a×+a2=a2,故d的最小值為a. 12.解:(1)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,λa). ∵=(-a,a,0),=(-a,-a,λa), ∴·=0對(duì)任意λ∈(0,1]都成

10、立, 即AC⊥BE恒成立. (2)顯然n1=(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量 , 設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量n2=(x,y,z), ∵=(-a,a,0),=(-a,0,λa), ∴?取z=1,則x=y(tǒng)=λ, n2=(λ,λ,1), ∵二面角C-AE-D的大小為60°, ∴cos〈n1,n2〉===,λ∈(0,1]?λ=, ∴λ=為所求. 13.解:因?yàn)锽B1⊥平面ABCD,且ABCD是邊長為2的正方形,所以以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則有 A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),D(2,2,0),A1(1,0,2),B1(0,0

11、,2),C1(0,1,2). (1)證明:∵·=(0,0,2)·(-2,2,0)=0, ·=(2,2,0)·(-2,2,0)=0,∴⊥,⊥. ∵BB1與DB是平面BB1D內(nèi)的兩條相交直線, ∴AC⊥平面BB1D.又AC?平面AA1C1C, ∴平面AA1C1C⊥平面BB1D. (2)=(-1,0,2),=(0,2,0),=(-1,1,0), =(1,2,-2), 設(shè)n=(x1,y1,z1)為平面A1AD的一個(gè)法向量, 則 于是y1=0,取z1=1,則x1=2,n=(2,0,1). 設(shè)m=(x2,y2,z2)為平面A1C1D的一個(gè)法向量, 則可得3y2=2z2, 取z2=

12、3,則x2=y(tǒng)2=2,m=(2,2,3). ∴cos〈m,n〉===,由圖知二面角A-A1D-C1為鈍角,所以其余弦值為-. 14.解:(1)證明:過點(diǎn)D作DE⊥A1C于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF,EF. ∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C內(nèi)的直線DE⊥A1C, ∴DE⊥面AA1C1C. 又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC為等腰三角形,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,從而有D,E,F(xiàn),B共面. 又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF,從而有EF∥AA1,又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn), 所以DB=EF=AA1=BB1,

13、所以D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn). (2)(法一)∵面AA1B1B⊥面ABC,面ABC∩面AA1B1B=AB,BC⊥AB, ∴BC⊥面AA1DB,延長A1D交AB的延長線于點(diǎn)M,過B作BH⊥A1M交A1M于點(diǎn)H,連接CH,則CH⊥A1D, ∴∠CHB為二面角A-A1D-C的平面角,且∠CHB=60°. 設(shè)A1A=2b,AB=BC=a,由(1)易知BD=b,BM=a, 則BH==, ∴tan∠CHB===,∴=, ∴==. 易證CB⊥面ABB1A1,所以∠BA1C就是直線A1C與平面ABB1A1所成的角. 在Rt△A1BC中,tan∠BA1C====, 所以∠BA1C=,即直線A

14、1C與平面ABB1A1所成的角為. (法二)建立如圖所示直角坐標(biāo)系, 設(shè)AA1=2b,AB=BC=a,則D(0,0,b),A1(a,0,2b),C(0,a,0),所以=(a,0,b),=(0,a,-b), 設(shè)面DA1C的法向量為n=(x,y,z),則 可取n=(b,-b,-a),又可取平面AA1DB的法向量m==(0,a,0), cos〈n,m〉===- 據(jù)題意有:=,解得=,所以==, 易證CB⊥面ABB1A1,所以∠BA1C就是直線A1C與平面ABB1A1所成的角. 在Rt△A1BC中,tan∠BA1C====, 所以∠BA1C=,即直線A1C與平面ABB1A所成的角為.

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