《初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)與等腰三角形的綜合考察》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)與等腰三角形的綜合考察（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 / 9 二 次 函 數(shù) 背 景 下 的 等 腰 三 角 形二 次 函 數(shù) 是 歷 年 中 考 的 重 難 點(diǎn) ， 出 題 比 較 靈 活 多 變 ， 主 要 是 二 次 函 數(shù) 和 一 些 圖 形 題 結(jié) 合 的 考 查 ， 此 類 問題 多 基 于 圖 形 的 運(yùn) 動 上 進(jìn) 行 考 察 ， 所 以 對 于 學(xué) 生 的 想 象 力 以 及 分 析 和 運(yùn) 算 能 力 有 著 一 定 的 要 求 ， 所 以 平 時(shí)應(yīng) 該 多 進(jìn) 行 訓(xùn) 練 。第 一 問 一 般 情 況 下 是 以 求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 和 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 居 多 。 此 類 題 比 較 簡 單 ， 第 一

2、種 情 況 題 目 直 接 給出 二 次 函 數(shù) 所 過 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ， 帶 入 解 析 式 直 接 求 出 參 數(shù) a、 b、 c 的 值 即 可 ， 第 二 種 情 況 題 目 中 會 給 一 些 幾 何條 件 ， 間 接 求 出 二 次 函 數(shù) 所 過 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 即 可 。第 二 問 出 題 較 靈 活 ， 反 觀 近 幾 年 中 考 ， 主 要 會 出 以 下 幾 類 :求 銳 角 三 角 比 、 面 積 表 示 、 用 字 母 表 示 某 線段 的 長 。第 三 問 主 要 考 察 動 點(diǎn) 居 多 ， 主 要 是 二 次 函 數(shù) 和 相 似 三 角 形 、 等 腰 三 角

3、形 、 直 角 三 角 形 、 特 殊 四 邊 形 、 圓的 結(jié) 合 。其 實(shí) 二 次 函 數(shù) 綜 合 題 型 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 的 考 察 ， 實(shí) 則 就 是 點(diǎn) 坐 標(biāo) 的 求 解 。 也 就 是 函 數(shù) 解 析 式 和 坐 標(biāo) 軸 、 對 稱 軸 ， 以 及 函 數(shù) 解 析 式 交 點(diǎn) 的 求 解 。 這 塊 知 識 解 法 比 較 多 變 ， 主 要 分 為 代 數(shù) 分 析 法 和 幾 何 分 析 法 。 主 要應(yīng) 用 了 一 個(gè) 比 較 重 要 的 數(shù) 學(xué) 思 想 即 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 。 接 下 來 主 要 分 析 下 二 次 函 數(shù) 和 等 腰 三 角 形 這

4、 塊 知 識 的 求解 。等 腰 三 角 形 與 二 次 函 數(shù) 綜 合 求 解 方 法第 一 、 由 于 等 腰 三 角 形 的 特 殊 性 ， 是 每 年 中 考 必 考 的 考 點(diǎn) ， 做 題 時(shí) 需 要 考 慮 等 腰 三 角 形 的 性 質(zhì) ： 腰 相 等 ，底 角 相 等 ， 三 線 合 一 等 這 些 ， 然 后 分 類 討 論 ， 一 般 地 一 個(gè) 三 角 形 為 等 腰 三 角 形 可 以 分 為 三 種 情 況 ， 可 以 以不 同 的 頂 點(diǎn) 為 分 類 依 據(jù) 。第 二 、 以 腰 相 等 列 方 程 ， 利 用 二 次 函 數(shù) 可 得 的 數(shù) 據(jù) 求 出 所 設(shè) 字

5、 母 的 值 。 這 類 題 型 主 要 設(shè) 動 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 一 般動 點(diǎn) 坐 標(biāo) 在 已 知 直 線 上 或 二 次 函 數(shù) 圖 像 上 ， 根 據(jù) 函 數(shù) 解 析 式 設(shè) 動 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 最 好 縱 橫 坐 標(biāo) 只 設(shè) 一 個(gè) 字 母 ， 這樣 學(xué) 生 解 題 思 路 更 加 清 晰 ， 再 根 據(jù) 兩 點(diǎn) 之 間 的 距 離 或 利 用 銳 角 的 三 角 比 列 出 方 程 ， 求 出 字 母 的 值 進(jìn) 而 可 以求 出 動 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ， 并 需 要 強(qiáng) 調(diào) 的 是 求 出 來 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 的 取 舍 。 例 1： 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 把 點(diǎn) ( 1

6、, )A a （ a 為 常 數(shù) ） 向 右 平 移 4 個(gè) 單 位 得 到 點(diǎn) A， 經(jīng) 過 點(diǎn) A、 A的 拋 物線 2y ax bx c 與 y軸 的 交 點(diǎn) C的 縱 坐 標(biāo) 為 2。（ 1） 求 這 條 拋 物 線 的 解 析 式 ；（ 2） 設(shè) 該 拋 物 線 的 頂 點(diǎn) 為 點(diǎn) P， 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 為 )1 m，（ ， 且 3m ， 若 ABP是 等 腰 三 角 形 ， 求 點(diǎn) B的 坐標(biāo) 。 一 .尋 找 題 目 中 的 已 知 量 和 特 殊 條 件 ：1.點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ： ( 1, )A a ， (3, )A a ， (0,2)C ； 2 / 9 2.二 次 函 數(shù)

7、 的 圖 形 經(jīng) 過 ( 1, )A a ， (3, )A a ， (0,2)C 三 點(diǎn) ；二 .求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 ： 將 ( 1, )A a ， (3, )A a ， (0,2)C 三 點(diǎn) 代 入 函 數(shù) 解 析 式 ， 解 方 程 組 可 得 。三 .當(dāng) ABP是 等 腰 三 角 形 時(shí) ， 求 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) ：1.點(diǎn) B坐 標(biāo) 表 示 表 示 為 )1 m，（ ， 3m ；2.分 三 個(gè) 情 況 討 論 ： AP=P 、 BAP=AB 、 PB=AB ；3.用 兩 點(diǎn) 間 距 離 公 式 結(jié) 算 求 解 。（ 1） 設(shè) 拋 物 線 的 解 析 式 為 2y ax

8、bx c 點(diǎn) A（ 1， a） （ a 為 常 數(shù) ） 向 右 平 移 4 個(gè) 單 位 得 到 點(diǎn) A（ 3， a） 拋 物 線 與 y軸 的 交 點(diǎn) 的 縱 坐 標(biāo) 為 2 2c 圖 像 經(jīng) 過 點(diǎn) A（ 1， a） 、 A（ 3， a） acba acba9 解 得 21ba 222 xxy（ 2） 由 222 xxy = 31 2 x 得 P(1， 3) 52AP ABP是 等 腰 三 角 形 ,點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 為 )1 m，（ ,且 3m（ ） 當(dāng) AP=PB 時(shí) ，52PB ， 即 523 m 523m （ ） 當(dāng) AP=AB 時(shí) 2222 1113111 m解 得 5,3 mm

9、3m 不 合 題 意 舍 去 ， 5m（ ） 當(dāng) PB=AB 時(shí) 2222 111311 mm 解 得 21m 當(dāng) 523m 或 -5或 21 時(shí) ， ABP是 等 腰 三 角 形 。例 2.如 圖 ， 已 知 拋 物 線 2 2 1y x x m 與 x 軸 相 交 于 A、 B 兩 點(diǎn) ， 與 y 軸 相 交 于 點(diǎn) C， 其 中 點(diǎn) C 的 坐 標(biāo) 是 (0,3)， 頂 點(diǎn) 為 點(diǎn) D， 聯(lián) 結(jié) CD， 拋 物 線 的 對 稱 軸 與 x 軸 相 交 于 點(diǎn) E。（ 1） 求 m 的 值 ；（ 2） 求 CDE的 度 數(shù) ；（ 3） 在 拋 物 線 對 稱 軸 的 右 側(cè) 部 分 上 是

10、 否 存 在 一 點(diǎn) P， 使 得 PDC是 等 腰 三 角 形 ？ 如 果 存 在 ， 求 出 符 合 條 件的 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) ； 如 果 不 存 在 ， 請 說 明 理 由 。 3 / 9 一 .尋 找 題 目 中 的 已 知 量 和 特 殊 條 件 ：1.點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ： (0,3)C ， 點(diǎn) A B D E、 、 、 坐 標(biāo) 可 求 ；2.二 次 函 數(shù) 經(jīng) 過 A B C D、 、 、 四 點(diǎn) ；二 .求 m的 值 ： 將 (0,3)C 點(diǎn) 坐 標(biāo) 代 入 函 數(shù) 解 析 式 ， 解 方 程 可 得 。三 .求 CDE 的 度 數(shù) ： 過 點(diǎn) C 作 CF DE， 垂 足 為

11、 點(diǎn) F ； 通 過 計(jì) 算 可 得 CDF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 則 CDE=45 。四 .當(dāng) PDC是 等 腰 三 角 形 時(shí) ， 求 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) ：1.點(diǎn) P的 位 置 ： 拋 物 線 對 稱 軸 的 右 側(cè) 部 分 ；2.設(shè) P（ x， y） ， 經(jīng) 過 分 析 ， 分 兩 個(gè) 情 況 討 論 ： （ ） 如 果 PD = CD， 即 得 點(diǎn) C和 點(diǎn) P 關(guān) 于 直 線 x = 1對 稱 ；（ ） 如 果 PC = PD， 由 兩 點(diǎn) 間 的 距 離 公 式 ， 并 結(jié) 合 點(diǎn) P在 拋 物 線 上 ， 列 方 程 中 求 解 。3.計(jì) 算 求 解 。（ 1） 根

12、 據(jù) 題 意 ， 點(diǎn) C（ 0， 3） 在 拋 物 線 2 2 1y x x m 上 ， 1 m = 3 解 得 m = 2（ 2） 過 點(diǎn) C 作 CF DE， 垂 足 為 點(diǎn) F CF DE， DFC = 90 由 m = 2， 得 拋 物 線 的 函 數(shù) 解 析 式 為 322 xxy 又 4)1(32 22 xxxy ， 所 以 ， 拋 物 線 的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 D（ 1， 4） 又 C（ 0， 3） ， DF = CF = 1 又 由 DFC = 90 ， 得 CDF是 等 腰 直 角三 角 形 CDE = 45 （ 3） 存 在 。 設(shè) P（ x， y） 。根 據(jù) 題 意 ，

13、 當(dāng) PDC是 等 腰 三 角 形 時(shí) ， 由 點(diǎn) P在 拋 物 線 對 稱 軸 的 右 側(cè) 部分 上 ， 得 PC CD， 只 有 PD = CD 或 PC = PD兩 種 情 況 又 拋 物 線 的 對稱 軸 是 直 線 x = 1（ ） 如 果 PD = CD， 即 得 點(diǎn) C 和 點(diǎn) P關(guān) 于 直 線 x = 1 對 稱 ，所 以 ， 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) 為 （ 2， 3） （ ） 如 果 PC = PD， 由 兩 點(diǎn) 間 的 距 離 公 式 ， 得 4 / 9 2222 )4()1()3( yxyx 即 得 4yx 又 由 點(diǎn) P在 拋 物 線 322 xxy 上 ， 即 得 432

14、2 xxx 解 得 2 531 x ， 12 532 x （ 不 合 題 意 ， 舍 去 ） 所 以 2 53x 由 2 53x ， 得 2 552 534 y 所 以 ， 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) 為 （ 2 53 ， 2 55 ） 綜 上 所 述 ， 當(dāng) 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) 為 （ 2， 3） 或 （ 2 53 ， 2 55 ） 時(shí) ， PDC是 等 腰 三 角 形 。 例 3.如 圖 ， 已 知 二 次 函 數(shù) cbxxy 2 )0( c 的 圖 象 經(jīng) 過 點(diǎn) ),2( mA )0( m ， 與 y軸 交 于 點(diǎn) B， AB x軸 ， 且 OBAB 23 。（ 1） 求 m的 值 ；（ 2）

15、求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 ；（ 3） 如 果 二 次 函 數(shù) 的 圖 象 與 x軸 交 于 C、 D 兩 點(diǎn) （ 點(diǎn) C 在 左 側(cè) ） 問 線 段 BC 上 是 否 存 在 點(diǎn) P， 使 POC 為等 腰 三 角 形 ； 如 果 存 在 ， 求 出 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) ； 如 果 不 存 在 ， 請 說 明 理 由 。 5 / 9 一 .尋 找 題 目 中 的 已 知 量 和 特 殊 條 件 ：1.點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ： ),2( mA )0( m ， 點(diǎn) B坐 標(biāo) 可 求 ；2.二 次 函 數(shù) 經(jīng) 過 A B C D、 、 、 四 點(diǎn) 。二 .求 m的 值 ： 利 用 OBAB 23

16、求 解 出 B點(diǎn) 坐 標(biāo) 后 ， 再 直 接 寫 出 m的 值 。三 .求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 ： 將 A B、 兩 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 代 入 函 數(shù) 解 析 式 ， 解 方 程 組 。四 .當(dāng) POC為 等 腰 三 角 形 時(shí) ， 求 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) ：1.點(diǎn) P的 位 置 ： 線 段 BC上 ；2.分 三 個(gè) 情 況 討 論 ： 當(dāng) POPC 時(shí) ， 點(diǎn) )23,23( P 當(dāng) COPO 時(shí) ， 點(diǎn) )3,0( P 當(dāng) COPC 時(shí) ， 利 用 點(diǎn) P在 直 線 BC上 ， 列 方 程 中 求 解 。3.計(jì) 算 求 解 。（ 1） AB x軸 ， A（ -2， m） AB=2

17、又 OBAB 23 ， OB=3， 點(diǎn) B的 坐 標(biāo) 為 （ 0， -3） m= -3（ 2） 二 次 函 數(shù) 與 y軸 的 交 于 點(diǎn) B， c= -3又 圖 象 過 點(diǎn) A（ -2， -3） ， 3243 b ， 2b 二 次 函 數(shù) 解 析 式 為 322 xxy（ 3） 當(dāng) 0y 時(shí) ， 有 0322 xx ， 解 得 1,3 21 xx 由 題 意 得 )0,3(C若 POC為 等 腰 三 角 形 ， 則 有 當(dāng) POPC 時(shí) ， 點(diǎn) )23,23( P 當(dāng) COPO 時(shí) ， 點(diǎn) )3,0( P 當(dāng) COPC 時(shí) ， 設(shè) 直 線 BC的 函 數(shù) 解 析 式 為 nkxy 6 / 9

18、則 有 nnk03 30 ， 解 得 31nk 直 線 BC的 函 數(shù) 解 析 式 為 3 xy設(shè) 點(diǎn) )3,( xxP ， 由 COPC ， 得 3)3()3( 22 xx解 得 2233,2233 21 xx （ 不 合 題 意 ， 舍 去 ） )223,2233( P 存 在 點(diǎn) )23,23( P 或 )3,0( P 或 )223,2233( P ， 使 POC為 等 腰 三 角 形 。 練 習(xí) 1、 在 直 角 坐 標(biāo) 平 面 內(nèi) ， O為 原 點(diǎn) ， 點(diǎn) A的 坐 標(biāo) 為 (10)， ， 點(diǎn) C的 坐 標(biāo) 為 (04)， ， 直 線 CM x 軸（ 如 圖 所 示 ） 點(diǎn) B與 點(diǎn)

19、 A關(guān) 于 原 點(diǎn) 對 稱 ， 直 線 y x b （ b為 常 數(shù) ） 經(jīng) 過 點(diǎn) B， 且 與 直 線 CM 相 交 于 點(diǎn)D， 聯(lián) 結(jié) OD（ 1） 求 b的 值 和 點(diǎn) D的 坐 標(biāo) ；（ 2） 設(shè) 點(diǎn) P在 x軸 的 正 半 軸 上 ， 若 POD 是 等 腰 三 角 形 ， 求 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) ；（ 3） 在 （ 2） 的 條 件 下 ， 如 果 以 PD為 半 徑 的 圓 P與 圓 O外 切 ， 求 圓 O的 半 徑 C My34 D y x b 7 / 9 練 習(xí) 2、 如 圖 ， 拋 物 線 2 2y ax ax b 經(jīng) 過 點(diǎn) C（ 0， 32 ） ，且 與 x軸 交 于

20、 點(diǎn) A、 點(diǎn) B， 若 tan ACO=23 （ 1） 求 此 拋 物 線 的 解 析 式 ；（ 2） 若 拋 物 線 的 頂 點(diǎn) 為 M， 點(diǎn) P是 線 段 OB上 一 動 點(diǎn)（ 不 與 點(diǎn) B重 合 ） ， MPQ=45 ， 射 線 PQ與 線 段 BM交 于 點(diǎn) Q， 當(dāng) MPQ為 等 腰 三 角 形 時(shí) ， 求 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) x （MA C BOy P Q 8 / 9 練 習(xí) 3、 如 圖 ， 點(diǎn) A在 x軸 上 ， OA=4， 將 線 段 OA繞點(diǎn) O順 時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn) 120至 OB的 位 置 （ 1） 求 點(diǎn) B的 坐 標(biāo) ；（ 2） 求 經(jīng) 過 點(diǎn) A、 O、 B的 拋 物 線 的 解 析 式 ；（ 3） 在 此 拋 物 線 的 對 稱 軸 上 ， 是 否 存 在 點(diǎn) P，使 得 以 點(diǎn) P、 O、 B為 頂 點(diǎn) 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ？若 存 在 ， 求 點(diǎn) P的 坐 標(biāo) ； 若 不 存 在 ， 說 明 理 由 （ 9 / 9