《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)12 統(tǒng)計與概率（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)12 統(tǒng)計與概率（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學(xué)試題（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題限時集訓(xùn)(十二)　統(tǒng)計與概率 1．(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．

2、 [解]　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故 a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 2．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與

3、當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，

4、當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 2

5、00－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，最大值為520元． 3．(2020·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天

6、到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)： 鍛煉人次 空氣質(zhì)量等級　　　 [0,200] (200,400] (400,600] 1(優(yōu)) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(輕度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率； (2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)； (3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，

7、并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？ 人次≤400 人次>400 空氣質(zhì)量好 空氣質(zhì)量不好 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . [解]　(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表： 空氣質(zhì)量等級 1 2 3 4 概率的估計值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為 (100×20＋300×35＋500×45)＝35

8、0. (3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表： 人次≤400 人次＞400 空氣質(zhì)量好 33 37 空氣質(zhì)量不好 22 8 根據(jù)列聯(lián)表得 K2＝≈5.820. 由于5.820＞3.841，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)． 4．(2018·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)

9、2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線

10、y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到

11、的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) 1．(2020·肥城市第一高級中學(xué)高三月考)2019年4月，甲、乙兩校的學(xué)生參加了某考試機構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，考生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(110,144)，從甲、乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖： (1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)； (2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中

12、的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)？ (3)從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人，記數(shù)學(xué)成績在134分以上的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望． 附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ

13、5 10.828 [解]　(1)由莖葉圖可知：甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為＝131.5，乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為＝128.5，所以這40份試卷的成績，甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)高. (2)由題意，作出2×2列聯(lián)表如下： 甲校 乙校 總計 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 10 7 17 數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 10 13 23 總計 20 20 40 計算得K2的觀測值 k＝≈0.9207<2.706， 所以沒有90%的把握認為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān). (3)因為X～N(110,144)，所以μ＝110，σ

14、＝＝12， 所以P(86134)＝＝0.022 8， 由題意可知ξ～B(3,0.022 8)，所以E(ξ)＝3×0.022 8＝0.068 4. 2．(2020·長沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m(單位：平方米，60≤m≤130)進行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1至13分別對應(yīng)2018年1月至20

15、19年1月)． 圖1 圖2 (1)試估計該市市民的平均購房面積； (2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (3)根據(jù)散點圖選擇＝＋和＝＋ln x兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4 ＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示： ＝0.936 9＋0.028 5 ＝0.955 4＋0．030 6ln x (yi－i)2 0.000 591 0.000 164

16、 (yi－)2 0.006 050 請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測2020年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)． 參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈3.16，≈4.36. 參考公式：R2＝1－. [解]　(1)＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96. (2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20＋0.15＋0.05＝0.4， ∴X～B(3,0.4)，

17、 ∴P(X＝k)＝C×0.4k×0.63－k(k＝0,1,2,3)， P(X＝0)＝0.63＝0.216， P(X＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432， P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288， P(X＝3)＝0.43＝0.064， ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 ∴E(X)＝3×0.4＝1.2. (3)設(shè)模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R，則R＝1－，R＝1－， ∴R＜R， ∴模型＝0.955 4＋0.030 6ln

18、x的擬合效果更好， 2021年6月份對應(yīng)的x＝42， ∴＝0.955 4＋0.030 6ln 42＝0.955 4＋0.030 6(ln 3＋ln 14)≈1.070萬元/平方米． 3．(2020·深圳模擬)2020年是中國改革開放的第42周年，為了充分認識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用X表示年齡在內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的

19、方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有k名市民的年齡在的概率為P. 當(dāng)P最大時，求k的值． [解]　(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中， 年齡在內(nèi)的人數(shù)為×8＝1人， 年齡在內(nèi)的人數(shù)為×8＝2人， 年齡在內(nèi)的人數(shù)為×8＝5人． 所以X的可能取值為0,1,2， 所以P＝＝， P＝＝， P＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)設(shè)在抽取的20名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為X，X服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為×10＝0.35， 所以X～B， 所以P(X＝k)＝C(0.35)k(1－0.3

20、5)20－k(k＝0,1,2，…，20)． 設(shè)t＝＝ ＝， 若t>1，則k<7.35，P7.35，P>P. 所以當(dāng)k＝7時，P最大，即當(dāng)P最大時，k＝7. 4．(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地——安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響． (1)經(jīng)過1輪投球，記

21、甲的得分為X，求X的分布列； (2)若經(jīng)過n輪投球，用pi表示經(jīng)過第i輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求p1，p2，p3； ②規(guī)定p0＝0，經(jīng)過計算機計算可估計得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，請根據(jù)①中p1，p2，p3的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達式，并由此求出數(shù)列的通項公式． [解]　(1)記一輪投球，甲命中為事件A，乙命中為事件B，A，B相互獨立，由題意P(A)＝，P(B)＝，甲的得分X的取值為－1,0,1， P(X＝－1)＝P(B)＝P()P(B)＝×＝， P(X＝0)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝， P(

22、X＝1)＝P(A)＝P(A)P()＝×＝， ∴X的分布列為： X －1 0 1 P (2)由(1)知p1＝， p2＝P(X＝0)·P(X＝1)＋P(X＝1)(P(X＝0)＋P(X＝1))＝×＋×＝， 同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分Y取值－2，－1,0,1,2： 記P(X＝－1)＝x，P(X＝0)＝y(tǒng)，P(X＝1)＝z，則 P(Y＝－2)＝x2，P(Y＝－1)＝xy＋yx，P(Y＝0)＝xz＋zx＋y2，P(Y＝1)＝y(tǒng)z＋zy，P(Y＝2)＝z2， 由此得甲的得分Y的分布列為： Y －2 －1 0 1 2 P ∴p3＝×＋×＋×＝， ∵pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，p0＝0， ∴∴ ∴ 代入pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)得：pi＝pi＋1＋pi－1， ∴pi＋1－pi＝(pi－pi－1)， ∴數(shù)列{pn－pn－1}是等比數(shù)列，公比為q＝，首項為p1－p0＝， ∴pn－pn－1＝. ∴pn＝(pn－pn－1)＋(pn－1－pn－2)＋…＋(p1－p0)＝＋＋…＋＝.