《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ??嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ??嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第22練 ??嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略
[題型分析·高考展望] 利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中??碱}型,掌握常見(jiàn)的一些變形技巧是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.一般這類題目難度較大,但只要將已知條件轉(zhuǎn)化為幾類“模型”,然后采用相應(yīng)的計(jì)算方法即可解決.
體驗(yàn)高考
1.(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=________.
答案 3n-1
解析 由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,∴公比q=3,故等比數(shù)列通項(xiàng)an=a1qn-1=3n-1.
2.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ
2、)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=____________.
答案?。?
解析 由題意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,因?yàn)镾n≠0,所以=1,即-=-1,故數(shù)列是以=-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,得=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.
3.(2015·江蘇)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______.
答案
解析 ∵a1=1,an+1-an=n+1,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,將以上n-1個(gè)式
3、子相加得an-a1=2+3+…+n=,即an=.
令bn=,
故bn==2,故S10=b1+b2+…+b10
=2=.
4.(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若S5=,求λ.
(1)證明 由題意,得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0,
所以=.
因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
于是an=n-1.
(2)
4、解 由(1)得Sn=1-n.由S5=,
得1-5=,即5=.解得λ=-1.
高考必會(huì)題型
題型一 利用累加法解決遞推問(wèn)題
例1 (1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an-an-1=,則an等于( )
A.2- B.1-
C. D.2-
答案 A
解析 ∵an-an-1=,
∴a2-a1=,
a3-a2=,a4-a3=,…,
an-an-1=(n>1),
以上各式左右兩邊分別相加得an-a1=+++…+
=1-+-+…+-=1-,
∴an=a1+1-=2-,
又a1=1適合上式,∴an=2-,故選A.
(2)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an+cn(n
5、∈N*,常數(shù)c≠0),且a1,a2,a3成等比數(shù)列.
①求c的值;
②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解 ①由題意知,a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
∵a1,a2,a3成等比數(shù)列,∴(2+c)2=2(2+3c),
解得c=0或c=2,
又c≠0,故c=2.
②當(dāng)n≥2時(shí),由an+1=an+cn,得a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,
以上各式相加,得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=c.
又a1=2,c=2,故an=n2-n+2(n≥2),
當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n+2(n∈N*).
6、
點(diǎn)評(píng) 由已知遞推關(guān)系式,若能轉(zhuǎn)化為an+1=an+f(n),或-=f(n)且f(n)的和可求,則可采用累加法.
變式訓(xùn)練1 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=ln(1+),則an等于( )
A.1+n+ln n
B.1+nln n
C.1+(n-1)ln n
D.1+ln n
答案 D
解析 ∵a1=1,an+1-an=ln(1+),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+1)+1
=ln(××…×2)+1
=1+ln n.
題型二 利用累乘法解決遞推問(wèn)題
例2 (1)已
7、知a1=1,=,則an=________.
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,=n(n∈N*),則a2 016=________.
答案 (1) (2)2 016
解析 (1)∵=,
∴×××…×
=×××××…××=.
即=,
又∵a1=1,∴an=,
而a1=1也適合上式,
∴{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)由=n(n∈N*),得=,
=,=,
=,…,
=,各式相乘得=n,
∴an=n(n=1適合),∴a2 016=2 016.
點(diǎn)評(píng) 若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成=f(n)的形式,且f(n)的前n項(xiàng)積能求,則可采用累乘法.注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式.
8、變式訓(xùn)練2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an (n≥2),且a1=1,a2=2,則{an}的通項(xiàng)公式an=______________.
答案
解析 ∵Sn-1=an-1 (n≥3),
∴Sn-Sn-1=an-an-1,
∴an=an-an-1,∴=.
∴當(dāng)n≥3時(shí),··…·=2···…·,
∴=n-1,∴an=(n-1)·a2=2(n-1)(n≥3).
∵a2=2滿足an=2(n-1),
∴an=
題型三 構(gòu)造法求通項(xiàng)公式
例3 (1)已知數(shù)列{an},a1=2,an=(n≥2),則an=________.
(2)已知a1=1,an+1=,則an=________.
9、
答案 (1) (2)
解析 (1)由an=兩邊取倒數(shù)得-=1,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為=,公差為1的等差數(shù)列,
∴=+(n-1)=n-=.
∴an=.
(2)由an+1=,得-=1(常數(shù)),
又=1,∴{}為以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
∴=n,從而an=,即所求通項(xiàng)公式為an=.
點(diǎn)評(píng) 構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形,構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列,然后利用公式求出通項(xiàng).此類問(wèn)題關(guān)鍵在于條件變形:在“an=can-1+b”的條件下,可構(gòu)造“an+x=c(an-1+x)”在“an=”的條件下,可構(gòu)造“=+”.
變式訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}中,a1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=,求數(shù)列
10、{an}的通項(xiàng)公式.
解 因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí),an-1=,
兩邊取倒數(shù),得=+.
即-=,
故數(shù)列是首項(xiàng)為=1,
公差為的等差數(shù)列.
所以=+(n-1)=.
所以an=.
又當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n∈N*).
高考題型精練
1.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=,且+=(n≥2),則an等于( )
A. B.()n-1
C.()n D.
答案 D
解析 由題意知{}是等差數(shù)列,
又=1,=,
∴公差為d=-=,
∴=+(n-1)×=,
∴an=,故選D.
2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,且=+3(n∈N*),則a10等
11、于( )
A.28 B.33 C. D.
答案 D
解析 由已知-=3(n∈N*),
所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,
即=1+(n-1)×3=3n-2,解得an=,a10=,
故選D.
3.已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n=+ D.a(chǎn)n=
答案 B
解析 由an+1=an+可得,
an+1-an=
==-,
所以a2-a1=-,a3-a2=-,
a4-a3=-,…,an-an-1=-,
累加可得an-a1=-,
又a1=,所以an=,故選B.
4
12、.已知f(x)=log2+1,an=f()+f()+…+f(),n為正整數(shù),則a2 016等于( )
A.2 015 B.2 009 C.1 005 D.1 006
答案 A
解析 因?yàn)閒(x)=log2+1,
所以f(x)+f(1-x)=log2+1+log2+1=2.
所以f()+f()=2,f()+f()=2,…,
f()+f()=2,由倒序相加,得2an=2(n-1),an=n-1,所以a2 016=2 016-1=2 015,故選A.
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),則an為( )
A.+2n-1-1
B.+2n-1
13、
C.+2n+1-1
D.+2n+1-1
答案 B
解析 ∵an+1=an+n+2n,
∴an+1-an=n+2n.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1++
=+2n-1.
6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),則a7等于( )
A.53 B.54
C.55 D.109
答案 C
解析 ∵an-an-1=2n(n≥2),
∴a2-a1=4,
a3-a2=6,
14、
a4-a3=8,
…
a7-a6=14,
以上各式兩邊分別相加得
a7-a1=4+6+…+14,
a7=1+=55.
7.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,an=2·3n-1+an-1(n≥2),則an=________.
答案 3n-2
解析 因?yàn)閍n=2·3n-1+an-1(n≥2),
所以an-an-1=2·3n-1(n≥2),
由疊加原理知an-a1=2(3+32+33+…+3n-1)(n≥2),
所以an=a1+2=1+3n-3
=3n-2(n≥2),
因?yàn)閍1=1也符合上式,
故an=3n-2.
8.若數(shù)列{an}滿足an=3an-1+2(n≥2,n∈N*
15、),a1=1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________________.
答案 2×3n-1-1
解析 設(shè)an+λ=3(an-1+λ),化簡(jiǎn)得an=3an-1+2λ,
∵an=3an-1+2,∴λ=1,
∴an+1=3(an-1+1).
∵a1=1,∴a1+1=2,
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
∴an+1=2×3n-1,∴an=2×3n-1-1.
9.若數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=4an+2n,則通項(xiàng)an=________________.
答案 22n-1-2n-1
解析 ∵an+1=4an+2n,∴=+,
設(shè)bn=,則bn+1
16、=2bn+,
∴bn+1+=2(bn+),
即=2,
又b1+=1,∴{bn+}是等比數(shù)列,
其中首項(xiàng)為1,公比為2,
∴bn+=2n-1,即bn=2n-1-,
即=2n-1-,
∴an=2n(2n-1-)=22n-1-2n-1.
10.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=________.
答案
解析 ∵an+1=,
∴an+1===
==1-
=1-=1-(1-an-2)=an-2,
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×2+2=a2=2.
而a2=,∴a1=.
11.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-a
17、n+2.
(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.
(1)證明 由an+2=2an+1-an+2,
得bn+1-bn=an+2-2an+1+an
=2an+1-an+2-2an+1+an
=2,
又b1=a2-a1=1,
∴{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)得bn=2n-1,于是an+1-an=2n-1,
an=[(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)]+a1
=[1+3+…+(2n-3)]+1
=(n-1)2+1,
而a1=1也符合,
∴{an}的通項(xiàng)公式an=(n-1)2+1.
18、
12.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*).
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{nan+n}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由已知,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*),
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2Sn-1+n,
兩式相減得,an+1=2an+1,
于是an+1+1=2(an+1)(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1+1,
即a1+a2=2a1+1+1,
所以a2=3,此時(shí)a2+1=2(a1+1),
且a1+1=2≠0,
所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列.
所以an+1=2·2n-1,
即an=2n-1(n∈N*).
(2)令cn=nan+n,則cn=n·2n,
于是Tn=1·21+2·22+…+n·2n,
2Tn=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
兩式相減得,
-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1
=(1-n)·2n+1-2,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2.