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高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計 第33練 用樣本估計總體 文-人教版高三數(shù)學試題

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1、第33練 用樣本估計總體 [題型分析·高考展望] 用樣本估計總體在高考中也是熱點部分,考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題,重點是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征,屬于比較簡單的題目. 體驗高考 1.(2015·湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示: 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3

2、 若將運動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B 解析 由題意知,將1~35號分成7組,每組5名運動員,成績落在區(qū)間[139,151]的運動員共有4組,故由系統(tǒng)抽樣法知,共抽取4名.選B. 2.(2015·課標全國Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是(  ) A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C.2006年

3、以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 答案 D 解析 從2006年起,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較,得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大,A選項正確; 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多,B選項正確; 雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些,但自2006年以來,整體呈遞減趨勢,即C選項正確; 自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān),D選項錯誤.故選D. 3.(2016·課標全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中

4、A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(  ) A.各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D.平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 答案 D 解析 由題意知,平均最高氣溫高于20 ℃的有六月,七月,八月,故選D. 4.(2016·山東)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.

5、5),[27.5,30].根據(jù)頻率分布直方圖知,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是(  ) A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 解析 由題圖知,組距為2.5,故每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7, ∴這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是200×0.7=140,故選D. 5.(2015·湖北)某電子商務公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示. (1)直方圖中的

6、a=________; (2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________. 答案 (1)3 (2)6 000 解析 (1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3. (2)消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)頻率為0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 000=6 000. 高考必會題型 題型一 頻率分布直方圖的應用 例1 (2015·廣東)某城市100

7、戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖. (1)求直方圖中x的值; (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù); (3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶? 解 (1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x

8、=0.007 5, 所以直方圖中x的值是0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是=230. 因為(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224. (3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.012 5×20×100=25(戶),月平均用電量為[240,260)的用戶有0.007 5×20×100=15(戶),月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005

9、×20×100=10(戶),月平均用電量為[280,300]的用戶有0.002 5×20×100=5(戶),抽取比例==,所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取25×=5(戶). 點評 利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數(shù)的值. (2)平均數(shù):平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和. (3)眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標. 變式訓練1 某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生,將其物理成績(均

10、為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題: (1)求分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖; (2)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表,據(jù)此估計本次考試中的平均分. 解 (1)設(shè)分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以頻率分布直方圖如圖所示. (2)平均分:45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.

11、 即估計本次考試中的平均分為71分. 題型二 莖葉圖的應用 例2 (1)為了檢查某高三畢業(yè)班學生的體重狀況,從該班隨機抽取了10位學生進行稱重,如圖為10位學生體重的莖葉圖,其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字,右邊是個位數(shù)字,則這10位學生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為(  ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 (2)在“某市中學生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉圖如圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(  ) A.5和1.6 B.85和1.6 C.85和0.4 D.5和0.4 答案 (1)C (2)B 解析 (

12、1)平均數(shù)為=54.8, 中位數(shù)為(53+56)=54.5, ∴這10位學生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為: 54.8-54.5=0.3.故選C. (2)=(4+4+4+6+7)+80=85, 所以s2=[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6,故選B. 點評 由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù),解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時,就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷,這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等. 變式訓練2 (1)某公司將職員每月的工作業(yè)績用1~30的自然數(shù)表示,甲、乙兩職員在2010年1~8月份的工

13、作業(yè)績的莖葉圖如圖,則下列說法正確的是(  ) A.兩職員的平均業(yè)績相同,甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定 B.兩職員的平均業(yè)績不同,甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定 C.兩職員的平均業(yè)績相同,乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定 D.兩職員的平均業(yè)績不同,乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定 (2)如圖為甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況的莖葉圖,則甲和乙得分的中位數(shù)的和是(  ) A.56 B.57 C.58 D.59 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由莖葉圖可得:甲=(12+15+18+20+20+22+25+28)=20, 乙=(14+15+17+19+21+2

14、3+25+26)=20, s=(82+52+22+0+0+22+52+82)=, s=(62+52+32+1+1+32+52+62)=, 由平均數(shù)和方差可知,兩職員的平均業(yè)績相同, 乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定. (2)由莖葉圖知,甲共13個數(shù)據(jù),中間的一個是32,乙共11個數(shù)據(jù),中間的一個是25,所以甲和乙得分的中位數(shù)的和為57,故選B. 題型三 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 例3 (1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(  ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.

15、4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6 (2)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球,每人練習10組,每組罰球40個,命中個數(shù)的莖葉圖如圖,則下列結(jié)論中錯誤的是________.(填序號) ①甲的極差是29;②乙的眾數(shù)是21;③甲罰球命中率比乙高;④甲的中位數(shù)是24. 答案 (1)D (2)④ 解析 (1)設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1,x2,…,xn, 則=(x1+x2+…+xn), 方差為s2=[(x1-)2+…+(xn-)2], 每一組數(shù)據(jù)都加60后,′=(x1+x2+…+xn+60n) =+60=62.8, 方差s′2=[(x1+60-62.8)2+…+(xn+60-

16、62.8)2]=s2=3.6. (2)由莖葉圖知,甲的最大值為37,最小值為8,所以甲的極差為29,故①對;乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21,所以②對;甲的命中個數(shù)集中在20,而乙的命中個數(shù)集中在10和20,所以甲罰球命中率大,故③對;甲中間的兩個數(shù)為22,24,所以甲的中位數(shù)為=23,故④不對.故答案應填④. 點評 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標準差描述其波動大?。? 變式訓練3 甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖. (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方

17、差; (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓練成績作出評價. 解 (1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分. 甲==13, 乙==13, s=[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4, s=[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. (2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定. 從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無

18、明顯提高. 高考題型精練 1.某學校組織學生參加數(shù)學測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人數(shù)是15人,則該班的學生人數(shù)是(  ) A.45 B.50 C.55 D.60 答案 B 解析 低于60分的人數(shù)的頻率為0.015×20=0.3, 所以該班人數(shù)15÷0.3=50(人). 2.某賽季,甲,乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽,他們每場比賽得分的情況用莖葉圖表示,如圖,則甲,乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為(  ) A.20,18 B.13,19 C.19,13 D

19、.18,20 答案 C 解析 中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)由小到大排列后位于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù),所以中位數(shù)為19,13. 3.如圖是某社區(qū)工會對當?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖,其中月收入在[1.5,2)千元的頻數(shù)為300,則此次抽樣的樣本容量為(  ) A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000 答案 A 解析 由頻率分布直方圖,得月收入在[1.5,2)千元的頻率為P=0.6×0.5=0.3, 所以此次抽樣的樣本容量為=1 000,故選A. 4.甲、乙兩同學用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學測試的成績,如圖所示,他們在分析對

20、比成績變化時,發(fā)現(xiàn)乙同學成績的一個數(shù)字看不清楚了,若已知乙的平均成績低于甲的平均成績,則看不清楚的數(shù)字為(  ) A.0 B.3 C.6 D.9 答案 A 解析 設(shè)看不清的數(shù)字為x, 甲的平均成績?yōu)椋?01, 所以<101,x<1, 所以x=0,故選A. 5.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖,則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為(  ) A.11 B.11.5 C.12 D.12.5 答案 C 解析 由頻率分布直方圖,可估計樣本重量的中位數(shù)在第二組, 設(shè)中位數(shù)比10大x,由題意可得,0.06×5+x×0.1=0.5,得x=2, 所以中位數(shù)為12

21、,故選C. 6.已知兩組樣本數(shù)據(jù){x1,x2,…,xn}的平均數(shù)為h,{y1,y2,…,ym}的平均數(shù)為k,則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后,這組樣本的平均數(shù)為(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 因為樣本數(shù)據(jù){x1,x2,…,xn}的平均數(shù)為h, {y1,y2,…,ym}的平均數(shù)為k, 所以第一組數(shù)據(jù)和為nh,第二組數(shù)據(jù)和為mk, 因此把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后, 這組樣本的平均數(shù)為,故選B. 7.從向陽小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,為制定階梯電價提供數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意,位置t處未標明數(shù)據(jù),你認為t等

22、于(  ) A.0.004 1 B.0.004 2 C.0.004 3 D.0.004 4 答案 D 解析 由題意得,50×(0.006+t+0.003 6+0.002 4×2+0.001 2)=1,t=0.004 4. 8.10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別為15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有(  ) A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 答案 D 解析 易得a=14.7,b=15,c=17,故選D. 9.如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲,乙兩名選手打出的

23、分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0~9中的一個),去掉一個最高分和一個最低分后,甲,乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1,a2,則a1,a2的大小關(guān)系是________.(填a1>a2,a2>a1,a1=a2). 答案 a2>a1 解析 由題意可知, a1==84, a2==85, 所以a2>a1. 10.已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4的方差s2=(x+x+x+x-16),則數(shù)據(jù)x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均數(shù)為________. 答案 4 解析 由題意42=16,=2, 所以 =+2=4. 11.(2016·四川)我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理

24、的節(jié)水方案,對居民用水情況進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求直方圖中a的值; (2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由; (3)估計居民月均用水量的中位數(shù). 解 (1)由頻率分布直方圖可知:月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5=0.04. 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.2

25、5,0.06,0.04,0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a, 解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12=36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸. 因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5. 而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5. 所以2≤x<2.5

26、. 由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04. 12.(2016·北京)某市民用水擬實行階梯水價,每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費,超出w立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10 000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖: (1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為多少? (2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當w=3時,估計該市居民該月的人均水費. 解 (1)如題圖所示,用水量在[0.

27、5,2)的頻率的和為(0.2+0.3+0.4)×0.5=0.45<0.8,用水量在[0.5,3)的頻率的和為(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85. ∴用水量小于等于3立方米的頻率為0.85,又w為整數(shù), ∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為3. (2)當w=3時,該市居民該月的人均水費估計為 (0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5-3)+0.05×(4-3)+0.05×(4.5-3)]×10=7.2+1.8+1.5=10.5(元). 即該市居民該月的人均水費估計為10.5元.

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