高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題1 集合與常用邏輯用語 第1練 小集合大功能 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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1、第1練 小集合,大功能 [題型分析·高考展望] 集合是高考每年必考內(nèi)容,題型基本都是選擇題、填空題,題目難度大多數(shù)為低檔,有時(shí)候在填空題中以創(chuàng)新題型出現(xiàn),難度稍高,在二輪復(fù)習(xí)中,本部分應(yīng)該重點(diǎn)掌握集合的表示、集合的性質(zhì)、集合的運(yùn)算及集合關(guān)系在常用邏輯用語、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用.同時(shí)注意研究有關(guān)集合的創(chuàng)新問題,研究問題的切入點(diǎn)及集合知識在相關(guān)問題中所起的作用. 體驗(yàn)高考 1.(2015·重慶)已知集合A={1,2,3},B={2,3},則( ) A.A=B B.A∩B=? C.AB D.BA 答案 D 解析 由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,
2、1?B,故A,B,C均錯(cuò),D是正確的,選D. 2.(2015·福建)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虛數(shù)單位),B={1,-1},則A∩B等于( ) A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.? 答案 C 解析 集合A={i,-1,1,-i},B={1,-1},A∩B={1,-1},故選C. 3.(2016·山東)設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},則?U(A∪B)等于( ) A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6} 答案 A 解析 ∵A∪B={1,3,4,
3、5},∴?U(A∪B)={2,6},故選A. 4.(2015·四川)設(shè)集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},則A∪B等于( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 答案 A 解析 借助數(shù)軸知A∪B={x|-1<x<3}. 5.(2016·北京)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},則A∩B等于( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 答案 C 解析 由A={x|-2<x<2},得A∩B={-1,0,
4、1}. 高考必會題型 題型一 單獨(dú)命題獨(dú)立考查 常用的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論: (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A; (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A; (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U; (4)A∩B=A?A?B?A∪B=B. 例1 (1)(2015·廣東)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},則M∩N等于( ) A.? B.{-1,-4} C.{0} D.{1,4} (2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=______
5、__. 答案 (1)A (2)4 解析 (1)因?yàn)镸={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4}, 所以M∩N=?,故選A. (2)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B=(-∞,a),由A?B,如圖所示,則a>4,即c=4. 點(diǎn)評 (1)弄清集合中所含元素的性質(zhì)是集合運(yùn)算的關(guān)鍵,這主要看代表元素,即“|”前面的表述.(2)當(dāng)集合之間的關(guān)系不易確定時(shí),可借助Venn圖或列舉實(shí)例. 變式訓(xùn)練1 (1)(2015·浙江)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},則(?RP)∩Q等于(
6、 ) A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2或x≤0}, ?RP={x|0<x<2}, ∴(?RP)∩Q={x|1<x<2},故選C. (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0≤ax+1≤3},若A∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 ∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2}, ∵A∪B=B,∴A?B. ①當(dāng)a=0時(shí),B=R,滿足題意. ②當(dāng)a>0時(shí),B={x|-≤x≤}, ∵A?B,∴≥2,解得0<a≤1. ③當(dāng)a<0
7、時(shí),B={x|≤x≤-},
∵A?B,∴-≥2,解得-≤a<0.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
題型二 集合與其他知識的綜合考查
集合常與不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識綜合考查.
集合運(yùn)算的常用方法:
(1)若已知集合是不等式的解集,用數(shù)軸求解;
(2)若已知集合是點(diǎn)集,用數(shù)形結(jié)合法求解;
(3)若已知集合是抽象集合,用Venn圖求解.
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點(diǎn)Q滿足=(a+b).曲線C={P|=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},區(qū)域Ω={P|0 8、
A.1 9、么,范圍如何.對于點(diǎn)集,一般利用數(shù)形結(jié)合,畫出圖形,更便于直觀形象地展示集合之間的關(guān)系,使復(fù)雜問題簡單化.
變式訓(xùn)練2 函數(shù)f(x)=x2+2x,集合A={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},B={(x,y)|f(x)≤f(y)},則由A∩B的元素構(gòu)成的圖形的面積是________.
答案 2π
解析 集合A={(x,y)|x2+2x+y2+2y≤2},可得(x+1)2+(y+1)2≤4,集合B={(x,y)|x2+2x≤y2+2y},可得(x-y)·(x+y+2)≤0.在平面直角坐標(biāo)系上畫出A,B表示的圖形可知A∩B的元素構(gòu)成的圖形的面積為2π.
題型三 與集合有關(guān)的創(chuàng)新題
與集 10、合有關(guān)的創(chuàng)新題目,主要以新定義的形式呈現(xiàn),考查對集合含義的深層次理解,在新定義下求集合中的元素、確定元素個(gè)數(shù)、確定兩集合的關(guān)系等.
例3 設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集,若對任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.下列命題:
①集合S={a+bi|a,b為整數(shù),i為虛數(shù)單位}為封閉集;
②若S為封閉集,則一定有0∈S;
③封閉集一定是無限集;
④若S為封閉集,則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集.
其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號)
答案?、佗?
解析?、僬_,當(dāng)a,b為整數(shù)時(shí),對任意x,y∈S,x+y,x-y,xy的實(shí)部與虛部均為整數(shù);② 11、正確,當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),0∈S;③錯(cuò)誤,當(dāng)S={0}時(shí),是封閉集,但不是無限集;④錯(cuò),設(shè)S={0}?T,T={0,1},顯然T不是封閉集,因此,真命題為①②.
點(diǎn)評 解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點(diǎn):(1)緊扣新定義,首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在;(2)用好集合的性質(zhì),解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).
變式訓(xùn)練3 在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”,記為[k],即[k]={5n+k|n∈Z,k=0,1,2,3,4}.給 12、出如下四個(gè)結(jié)論:
①2 016∈[1];
②-3∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整數(shù)a,b屬于同一類”的充要條件是“a-b∈[0]”.
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 對于①:2 016=5×403+1,
∴2 016∈[1],故①正確;
對于②:-3=5×(-1)+2,
∴-3∈[2],故②不正確;
對于③:∵整數(shù)集Z被5除,所得余數(shù)共分為五類.
∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正確;
對于④:若整數(shù)a,b屬于同一類,則
a=5n1+k,b=5n2+k,
∴ 13、a-b=5n1+k-(5n2+k)=5(n1-n2)=5n,
∴a-b∈[0],若a-b=[0],則a-b=5n,即a=b+5n,
故a與b被5除的余數(shù)為同一個(gè)數(shù),
∴a與b屬于同一類,
∴“整數(shù)a,b屬于同一類”的充要條件是“a-b∈[0]”,
故④正確,∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3.
高考題型精練
1.(2015·天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},則集合A∩(?UB)等于( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
答案 A
解析 由題意知,?U 14、B={2,5,8},則A∩(?UB)={2,5},選A.
2.(2015·陜西)設(shè)集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},則M∪N等于( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.(-∞,1]
答案 A
解析 由題意得M={0,1},N=(0,1],故M∪N=[0,1],故選A.
3.(2016·四川)集合A={x|-2≤x≤2},Z為整數(shù)集,則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 由題意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素個(gè)數(shù)為5,選C.
4.設(shè)全集U=R,A={x|x2-2x≤0 15、},B={y|y=cos x,x∈R},則圖中陰影部分表示的區(qū)間是( )
A.[0,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
答案 C
解析 因?yàn)锳={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以A∪B=[-1,2],所以?R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).
5.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},則A∪(?RB)等于( )
A.[-1,0] B.[1,2]
C.[0,1] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析 ∵A={x|-1≤x≤1}, 16、B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴?RB=(-∞,0]∪[2,+∞),∴A∪(?RB)=(-∞,1]∪[2,+∞).
6.若x∈A,則∈A,就稱A是伙伴關(guān)系集合,集合M={-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.3
C.7 D.31
答案 B
解析 具有伙伴關(guān)系的元素組是-1;,2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè):{-1},{,2},{-1,,2}.
7.在R上定義運(yùn)算?:x?y=,若關(guān)于x的不等式(x-a)?(x+1-a)>0的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.-2≤a≤2 17、 B.-1≤a≤1
C.-2≤a≤1 D.1≤a≤2
答案 C
解析 因?yàn)?x-a)?(x+1-a)>0,所以>0,
即a 18、4,211=2 048,所以整數(shù)m的最小值為11.
9.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
答案 B
解析 A={x|y=lg(x-x2)}
={x|x-x2>0}=(0,1),
B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),
因?yàn)锳?B,畫出數(shù)軸,如圖所示,得c≥1.應(yīng)選B.
10.已知a,b均為實(shí)數(shù),設(shè)集合A={x|a≤x≤a+},B={x|b-≤x≤b},且A,B都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把n-m 19、叫做集合{x|m≤x≤n}的“長度”,那么集合A∩B的“長度”的最小值是________.
答案
解析 ∵∴0≤a≤,∵
∴≤b≤1,利用數(shù)軸分類討論可得集合A∩B的“長度”的最小值為-=.
11.對任意兩個(gè)集合M、N,定義:M-N={x|x∈M,且x?N},M*N=(M-N)∪(N-M),設(shè)M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},則M*N=____________________.
答案 {y|y>3或-3≤y<0}
解析 ∵M(jìn)={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},N={y|y=3sin x,x∈R}={y|-3≤y≤3},∴M-N={y|y> 20、3},N-M={y|-3≤y<0},∴M*N=(M-N)∪(N-M)={y|y>3}∪{y|-3≤y<0}={y|y>3或-3≤y<0}.
12.已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求A∪B;
(2)若A?B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 (1)當(dāng)m=-1時(shí),B={x|-2<x<2},
則A∪B={x|-2<x<3}.
(2)由A?B知
解得m≤-2,
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2].
(3)由A∩B=?,得
①若2m≥1-m,即m≥時(shí),B=?,符合題意;
②若2m<1-m,即m<時(shí),
需或
得0≤m<或?,即0≤m<.
綜上知m≥0,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,+∞).
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