《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案【含解析】新人教A版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案【含解析】新人教A版必修4(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
正切函數(shù)的性質(zhì)
[提出問題]
問題1:正切函數(shù)y=tan x的定義域是什么?
提示:.
問題2:誘導(dǎo)公式tan(π+x)=tan x說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)?tan(kπ+x)(k∈Z)與tan x的關(guān)系怎樣?
提示:周期性.tan(kπ+x)=tan x(k∈Z).
問題3:誘導(dǎo)公式tan(-x)=-tan x說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)?
提示:奇偶性.
問題4:從正切線上觀察,正切函數(shù)值是有界的嗎?
提示:不是,正切函數(shù)沒有最大值和最小值.
問題5:從正切線上觀察,正切函數(shù)值在上是增大的嗎?
提示:是的.
[導(dǎo)入新知
2、]
正切函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
y=tan x
定義域
值域
R
周期
T=π
奇偶性
奇函數(shù)
單調(diào)性
在每個(gè)開區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)
[化解疑難]
細(xì)解正切函數(shù)的性質(zhì)
(1)正切函數(shù)y=tan x的定義域是xx∈R且x≠+kπ,k∈Z,值域是全體實(shí)數(shù).
(2)正切函數(shù)y=tan x的最小正周期是π.一般地,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的最小正周期是T=.若不知ω正負(fù),則該函數(shù)的最小正周期為T=.
(3)正切函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間,在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是遞增的,并且每個(gè)單調(diào)區(qū)間均為開區(qū)間,不能寫成閉區(qū)間.
正切函數(shù)的圖象
[提出問題
3、]
問題1:你還記得給定一個(gè)角在單位圓中的正切線怎樣畫嗎?
提示:過單位圓與x正半軸的交點(diǎn)A,作垂直于x軸的直線,交角的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T,則有向線段AT即為該角的正切線.
問題2:仿照利用正弦線作正弦曲線的作法,你能根據(jù)正切線作出正切曲線嗎?
提示:能.
[導(dǎo)入新知]
正切函數(shù)的圖象
(1)正切函數(shù)的圖象:
(2)正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線.
(3)正切函數(shù)的圖象特征:
正切曲線是由被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的.
[化解疑難]
正切函數(shù)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,與x軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn),因此有無窮多個(gè)對(duì)稱中心,對(duì)稱中心坐標(biāo)是,k∈
4、Z,正切函數(shù)的圖象無對(duì)稱軸.
正切函數(shù)的定義域、值域問題
[例1] 求下列函數(shù)的定義域和值域:
(1)y=tan;(2)y=.
[解] (1)由x+≠kπ+(k∈Z)得,
x≠kπ+,k∈Z,
所以函數(shù)y=tan的定義域?yàn)閤x≠kπ+,k∈Z,其值域?yàn)?-∞,+∞).
(2)由-tan x≥0得,tan x≤.
結(jié)合y=tan x的圖象可知,在上,
滿足tan x≤的角x應(yīng)滿足-
5、保證正切函數(shù)y=tan x有意義,即x≠+kπ,k∈Z.而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式,常利用三角函數(shù)的圖象求解.解形如tan x>a的不等式的步驟:
[活學(xué)活用]
求函數(shù)y=的定義域.
答案:
正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用
[例2] (1)求函數(shù)y=tan的單調(diào)區(qū)間;
(2)比較tan與tan的大?。?
[解] (1)由kπ-
6、n-tan,
即tan>tan.
[類題通法]
1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思想,令kπ-<ωx+φ
7、比較大小關(guān)系.
[活學(xué)活用]
1.比較tan 1,tan 2,tan 3的大?。?
答案:tan 2
8、函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略
(1)一般地,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為T=,常常利用此公式來求周期.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域,判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若不對(duì)稱,則該函數(shù)無奇偶性;若對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.
[活學(xué)活用]
關(guān)于x的函數(shù)f(x)=tan(x+φ)有以下幾種說法:
①對(duì)任意的φ,f(x)都是非奇非偶函數(shù);
②f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱;
③f(x)的圖象關(guān)于(π-φ,0)對(duì)稱;
④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù).
其中不正確的說法的序號(hào)是________.
答案:①
[典例] (
9、山東高考)函數(shù)y=xcos x+sin x的圖象大致為( )
[解析] 由函數(shù)y=xcos x+sin x是奇函數(shù),排除B.當(dāng)x=π時(shí),y=πcos π+sin π=-π,排除A.當(dāng)x=時(shí),y=cos +sin >0,排除C.故選D.
[答案] D
[多維探究]
函數(shù)圖象與解析式的對(duì)應(yīng)在近幾年高考中出現(xiàn)得并不頻繁,多以選擇題的形式出現(xiàn),解題時(shí)常從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、圖象上的特殊點(diǎn)著手逐一排除錯(cuò)誤選項(xiàng),從而得出正確結(jié)論.
[活學(xué)活用]
1.(浙江高考)函數(shù)f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為( )
答案:D
2.已知a是實(shí)數(shù),則函數(shù)f(x)=1+
10、asin ax的圖象不可能是( )
答案:D
3.(浙江高考)函數(shù)y=sin x2的圖象是( )
答案:D
[隨堂即時(shí)演練]
1.下列函數(shù)中,既是以π為周期的奇函數(shù),又是上的增函數(shù)的是( )
A.y=tan x
B.y=tan 2x
C.y=tan
D.y=|sin x|
答案:A
2.函數(shù)y=tan(cos x)的值域是( )
A.
B.
C.[-tan 1,tan 1]
D.以上均不對(duì)
答案:C
3.函數(shù)y=5tan的最小正周期是________.
答案:2π
4.函數(shù)y=tan x-1,x∈的值域?yàn)開_______.
答案
11、:[-2,-1]
5.求函數(shù)y=tan的定義域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間.
答案:定義域?yàn)?;最小正周期?π;單調(diào)遞增區(qū)間為-+2kπ,+2kπ(k∈Z)
[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]
一、選擇題
1.與函數(shù)y=tan的圖象不相交的一條直線是( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
答案:D
2.在區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=tan x與函數(shù)y=sin x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
3.函數(shù)y=的定義域是( )
A.x+kπ,k∈Z
B.x,k∈Z
C.x,k∈Z
D.x
12、4.下列圖形分別是①y=|tan x|,②y=tan x,③y=tan(-x),④y=tan |x|在x∈內(nèi)的大致圖象,那么由a到d對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是( )
A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③
答案:D
5.下列關(guān)于函數(shù)y=tan的說法正確的是( )
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增
B.最小正周期是π
C.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱
D.圖象關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱
答案:B
二、填空題
6.函數(shù)f(x)=tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=1所得線段長為,則f的值是________.
答案:
7.已知函數(shù)y=tan ωx在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù),則
13、ω的取值范圍是________.
答案:[-1,0)
8.若直線x=(|k|≤1)與函數(shù)y=tan的圖象不相交,則k=________.
答案:或-
三、解答題
9.作出函數(shù)y=tan x+|tan x|的圖象,并求其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間及最小正周期.
解:y=tan x+|tan x|=
其圖象如圖所示,
由圖象可知,其定義域是(k∈Z);值域是[0,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z);最小正周期T=π.
10.若x∈[-,],求函數(shù)y=+2tan x+1的最值及相應(yīng)的x值.
解:y=+2tan x+1
=+2tan x+1
=tan2x+2tan x+2
=(tan x+1)2+1.
∵x∈[-,],∴tan x∈[-,1].
故當(dāng)tan x=-1,即x=-時(shí),y取最小值1;
當(dāng)tan x=1,即x=時(shí),y取最大值5.
11.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相應(yīng)的x值.
解:∵-≤x≤,∴-≤tan x≤1,
f(x)=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1,
當(dāng)tan x=-1即x=-時(shí),f(x)有最小值1,
當(dāng)tan x=1即x=時(shí),f(x)有最大值5.
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