《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．2.2　函數(shù)模型的應(yīng)用實例 [導(dǎo)入新知] 1．常見的函數(shù)模型 (1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)； (2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝(k為常數(shù)，k≠0)； (3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)； (4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)； (5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)； (6)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)； (7)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，

2、n≠1)． 2．建立函數(shù)模型解決問題的框圖表示 [化解疑難] 求解函數(shù)應(yīng)用題的程序 二次函數(shù)模型 　　[例1]　已知某種商品漲價x成(1成＝10%)時，每天的銷售量減少x(其中x>0)成． (1)應(yīng)該漲價多少，才能使每天的營業(yè)額(售出的總金額)最大？ (2)如果適當(dāng)漲價，能使每天的營業(yè)額增加，求x的取值范圍． [解]　設(shè)商品原價格為m，每天的原銷售量為n，則每天的原營業(yè)額為mn，漲價后每天的營業(yè)額為y＝mn. (1)y＝mn ＝mn. 當(dāng)x＝，即漲價125%時，每天的營業(yè)額最大． (2)要使?jié)q價后每天的營業(yè)額比原來增加， 則需m

3、n＞mn， 即2x2－5x＜0，變形得x(2x－5)<0. 又x>0，故0＜x＜. ∴x的取值范圍為. [類題通法] 利用二次函數(shù)模型解決問題的方法 在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位．根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題． [活學(xué)活用] [活學(xué)活用] 如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上． (1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函

4、數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． 解：(1)作PQ⊥AF于Q， 所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， 所以＝，即＝. 所以y＝－x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}． (2)設(shè)矩形BNPM的面積為S平方米， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10， 所以當(dāng)x∈[4,8]時，S(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝8時，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米. 分段函數(shù)模型 [例2]　提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀

5、況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)． [解]　(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60； 當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b(a

6、≠0)， 再由已知得 解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并結(jié)合(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為6020＝1 200； 當(dāng)20＜x≤200時，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝100時，等號成立． 所以，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333. 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時． [類題通法] 構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點 建

7、立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式． [活學(xué)活用] 某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時間t之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4 μg時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問：一天中怎樣安排服藥時間(共4次)效果最佳？ 解：(1)依題意得y＝ (2)設(shè)第二次服藥時在第一次服藥后t1小時，則－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服藥應(yīng)在11：00. 設(shè)第三次

8、服藥在第一次服藥后t2小時，則此時血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應(yīng)在16：00. 設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3(t3>10)小時，則此時第一次服進(jìn)的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應(yīng)在20：30. 指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型 [例3]　一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護生態(tài)環(huán)境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a. (1)求p%的值． (2

9、)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)該森林今后最多還能砍伐多少年？ [解]　(1)由題意得a(1－p%)10＝， 即(1－p%)10＝，解得p%＝1－. (2)設(shè)經(jīng)過m年森林面積為a， 則a(1－p%)m＝a，即＝， ＝，解得m＝5. 故到今年為止，已砍伐了5年． (3)設(shè)從今年開始，n年后森林面積為 a(1－p%)n. 令a(1－p%)n≥a， 即(1－p%)n≥， ≥，得≤，解得n≤15， 故今后最多還能砍伐15年． [類題通法] 指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥

10、＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式． [活學(xué)活用] 某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 解：依題意，得n≤，即n≤. 則n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故n≥≈7.4，考慮到n∈N，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求． 　　　　 [典例]　(12分)甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)律(總產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個方面的信息，

11、分別得到如下兩圖． 甲調(diào)查表明：每個甲魚池平均出產(chǎn)量從第一年1萬只甲魚上升到第六年2萬只； 乙調(diào)查表明：甲魚池個數(shù)由第一年30個減到第六年10個． 請你根據(jù)提供的信息說明： (1)第二年甲魚池的個數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)． (2)到第六年，這個縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第一年是擴大了還是縮小了？說明理由． (3)哪一年的規(guī)模最大？說明理由． [解題流程] [活學(xué)活用] 某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系： 銷售單價x/元 30 40 45 50 日銷售量y/件 60 30 15 0

12、(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點，并確定x與y的一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤． 解：實數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)． (1)設(shè)f(x)＝kx＋b， 則 解得 ∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，檢驗成立． (2)P＝(x－30)(－3x＋150) ＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50， ∴對稱軸x＝－＝40∈[30,50]． 答：當(dāng)銷售單價為40元時，才能獲得最大日

13、銷售利潤． [隨堂即時演練] 1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)之間關(guān)系的是(　　) A．y＝100x　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝502x D．y＝100x 解析：選C　當(dāng)x＝4時，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故選C. 2．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地，

14、則汽車離開A地的距離x關(guān)于時間t(時)的函數(shù)解析式是(　　) A．x＝60t B．x＝150－50t C．x＝ D．x＝ 解析：選D　顯然出發(fā)、停留、返回三個過程中行車速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)． 3．由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機的成本不斷降低，若每隔5年計算機的價格降低，則現(xiàn)在價格為8 100元的計算機15年后的價格應(yīng)降為________元． 解析：y＝a，所以當(dāng)x＝15時，y＝8 1003＝8 100＝2 400(元)． 答案：2 400 4.如圖所示，折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空： (1

15、)通話2分鐘，需付的電話費為________元； (2)通話5分鐘，需付的電話費為________元； (3)如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為________． 解析：(1)由題圖可知，當(dāng)t≤3時，電話費都是3.6元． (2)由題圖可知，當(dāng)t＝5時，y＝6，即需付電話費6元． (3)當(dāng)t≥3時，y關(guān)于x的圖象是一條直線，且經(jīng)過(3，3.6)和(5,6)兩點，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝kt＋b， 則 解得 故y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.2t(t≥3)． 答案：(1)3.6　(2)6　(3)y＝1.2t(t≥3) 5．在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債

16、務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息)．在甲提供的資料中：①這種消費品的進(jìn)價為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷量價格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支2 000元． (1)當(dāng)商品的價格為每百件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 解：設(shè)該店月利潤余額為L元， 則由題設(shè)得L＝Q(P－14)100－3 600－2

17、 000，① 由銷量圖易得Q＝ 代入①式得 L＝ (1)當(dāng)14≤P≤20時，Lmax＝450元，此時P＝19.5元； 當(dāng)20

18、a，則a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1. 2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4 000輛次，存車費為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：選C　由題意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200. 3．下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是(　

19、　) (1)這幾年生活水平逐年得到提高； (2)生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2013年； (3)生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2014年； (4)雖然2015年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　由題意知，“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故(1)正確；“生活費收入指數(shù)”在2013～2014年最陡；故(2)正確；“生活價格指數(shù)”在2014～2015年比較平緩，故(3)不正確；“生活價格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上升趨勢，故(4)正確． 4．某公司招聘員

20、工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y＝ 其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 解析：選C　若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意．故擬錄用25人． 5．某城市出租汽車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：起步價為6元，行程不超過2千米者均按此價收費；行程超過2千米，超過部分按3元/千米收費(不足1千米按1千米計價)；另外，遇到堵車或等候時，汽車雖沒有行駛，但仍按6分鐘折算1千米計算(不足1千米按1千米計價

21、)．陳先生坐了一趟這種出租車，車費24元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是(　　) A．[5,6) B．(5,6] C．[6,7) D．(6,7] 解析：選B　若按x(x∈Z)千米計價，則6＋(x－2)3＋23＝24，得x＝6.故實際行程應(yīng)屬于區(qū)間(5,6]． 二、填空題 6．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v＝2 000ln.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒． 解析：當(dāng)v＝12 000時，2 000ln＝12 0

22、00， ∴l(xiāng)n＝6，∴＝e6－1. 答案：e6－1 7．一水池有2個進(jìn)水口、1個出水口，2個進(jìn)水口的進(jìn)水速度如圖甲、乙所示，出水口的排水速度如圖丙所示，某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丁所示． 給出以下3個論斷： ①0點到3點只進(jìn)水不出水； ②3點到4點不進(jìn)水只出水； ③4點到6點不進(jìn)水不出水． 其中一定正確的論斷序號是________． 解析：從0點到3點，兩個進(jìn)水口的進(jìn)水量為9，故①正確；由排水速度知②正確；4點到6點可以是不進(jìn)水，不出水，也可以是開一個進(jìn)水口(速度快的)、一個排水口，故③不正確． 答案：①② 8．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)

23、環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害．為保護環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是________年． 解析：由題意知，第一年產(chǎn)量為a1＝123＝3； 以后各年產(chǎn)量分別為 an＝f(n)－f(n－1) ＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1) ＝3n2(n∈N*)， 令3n2≤150，得1≤n≤5?1≤n≤7， 故生產(chǎn)期限最長為7年． 答案：7 三、解答題 9．某租車公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出，當(dāng)每輛

24、車的月租金每增加60元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每月需要維護費160元，未租出的車每月需要維護費40元． (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 900元時，能租出多少輛車？ (2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時，租車公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)租金增加了900元，90060＝15， 所以未租出的車有15輛，一共租出了85輛． (2)設(shè)租金提高后有x輛未租出，則已租出(100－x)輛． 租賃公司的月收益為y元， y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x， 其中x∈[0,100]，x∈N， 整理，得y＝－60x2＋3 120x＋28

25、4 000 ＝－60(x－26)2＋324 560， 當(dāng)x＝26時，y＝324 560， 即最大月收益為324 560元． 此時，月租金為3 000＋6026＝4 560(元)． 10．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)1百件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為5百件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t(百件)時，銷售所得的收入為萬元． (1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x百件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品得到的利潤為當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)f(x)，求f(x)； (2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多大時當(dāng)年所獲得的利潤最大． 解：(1)當(dāng)x≤5時，f(x)＝5x－x

26、2－(0.25x＋0.5)＝－＋x－； 當(dāng)x>5時，f(x)＝55－52－(0.25x＋0.5)＝12－x； 所以f(x)＝ (2)當(dāng)05時，f(x)＝12－x<12－<. 故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為475件時，當(dāng)年獲得的利潤最大． 11．國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止．旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元． (1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)； (2)旅行團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？ 解：(1)設(shè)旅行團人數(shù)為x，飛機票價格為y元， 則y＝ 即y＝ (2)設(shè)旅行社獲利S元， 則S＝ 即S＝ 因為S＝900x－15 000在區(qū)間(0,30]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝30時，S取最大值12 000， 又因為S＝－10(x－60)2＋21 000在區(qū)間(30,75]上， 當(dāng)x＝60時，S取最大值21 000. 故當(dāng)x＝60時，旅行社可獲得最大利潤． 14