《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程能力深化提升【含解析】新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程能力深化提升【含解析】新人教A版選修1-1（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章 圓錐曲線與方程 能力深化提升 類型一　圓錐曲線的定義及應(yīng)用 【典例1】(2017日照高二檢測)如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動(dòng)圓M與定圓F1,F2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 【解析】圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1; 圓F2:(x-5)2+y2=42, 圓心F2(5,0),半徑r2=4. 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R, 則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, 所以|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|. 所以點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且a=3

2、2,c=5,于是b2=c2-a2=914. 所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x294-y2914=1x≤-32. 【方法總結(jié)】圓錐曲線定義的應(yīng)用技巧 (1)在求點(diǎn)的軌跡問題時(shí),若所求軌跡符合圓錐曲線的定義,則根據(jù)其直接寫出圓錐曲線的軌跡方程. (2)焦點(diǎn)三角形問題,在橢圓和雙曲線中,常涉及曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連接而成的“焦點(diǎn)三角形”,處理時(shí)常結(jié)合圓錐曲線的定義及解三角形的知識解決. (3)在拋物線中,常利用定義,以達(dá)到“到焦點(diǎn)的距離”和“到準(zhǔn)線的距離”的相互轉(zhuǎn)化. 【鞏固訓(xùn)練】已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A,B的橢圓,求橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程.

3、 【解析】|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故F點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線,又c=7,a=1,b2=48,故F點(diǎn)的軌跡方程是y2-x248=1(y≤-1). 類型二　圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用 【典例2】(1)設(shè)P為直線y=b3ax與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=________. (2)(2017沈陽高二檢測)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交

4、于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=45,則C的離心率e=________. 【解析】(1)由PF1⊥x軸知P-c,-bc3a,把P代入雙曲線得: c2a2--bc3a2b2=1,整理得89e2=1, 所以e2=98,e=324. 答案:324 (2)在△ABF中,由余弦定理得, cos∠ABF=|AB|2+|BF|2-|AF|22|AB||BF|, 所以|BF|2-16|BF|+64=0,所以|BF|=8. 設(shè)右焦點(diǎn)為F1,因?yàn)橹本€過原點(diǎn),所以|BF1|=|AF|=6, 所以2a=|BF|+|BF1|=14,所以a=7, 因?yàn)閨A

5、B|=10,|BF|=8,|AF|=6, 所以△ABF是以∠AFB為直角的直角三角形. 因?yàn)镺為Rt△ABF斜邊AB的中點(diǎn), 所以|OF|=12|AB|=5,所以c=5,所以e=57. 答案:57 【方法總結(jié)】求離心率的兩種常用方法 (1)求得a,c的值,直接代入公式e=ca求得. (2)列出關(guān)于a,b,c的齊次方程(或不等式),然后根據(jù)a,b,c的關(guān)系消去b,轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解. 【鞏固訓(xùn)練】已知F1為橢圓的左焦點(diǎn),A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),當(dāng)PF1⊥F1A,PO∥AB(O為橢圓中心)時(shí),求橢圓的離心率. 【解析】由已知可設(shè)橢圓的方程

6、為x2a2+y2b2=1(a>b>0),c2=a2-b2,F1(-c,0),因?yàn)镻F1⊥F1A, 所以P-c,b1-c2a2, 即P-c,b2a,因?yàn)锳B∥PO,所以kAB=kOP, 即-ba=-b2ac,所以b=c,所以a2=2c2, 所以e=ca=22. 類型三　直線與圓錐曲線 【典例3】已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2),求過點(diǎn)P(1,2)的直線l的斜率的取值范圍,使l與C分別有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)公共點(diǎn),沒有公共點(diǎn). 【解析】(1)當(dāng)l垂直于x軸時(shí),直線與雙曲線相切,有一個(gè)公共點(diǎn). (2)當(dāng)l不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l為y-2=k(x-1),代入雙曲線方程中,有(

7、2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0. 當(dāng)k2=2時(shí),即k=2時(shí),有一個(gè)解. 當(dāng)k2≠2時(shí),Δ=4(k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6) =48-32k. 令Δ=0可得k=32. 令Δ>0,即48-32k>0,此時(shí)k<32. 令Δ<0,即48-32k<0,此時(shí)k>32. 所以當(dāng)k=2,或k=32,或k不存在時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn); 當(dāng)k<-2,或-232時(shí),直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn). 【方法總結(jié)】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的關(guān)注點(diǎn) (1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以

8、轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論,即聯(lián)立得方程組Ax+By+C=0,f(x,y)=0,通過消去y(也可以消去x)得到有關(guān)x的方程ax2+bx+c=0進(jìn)行討論.這時(shí)要注意考慮a=0和a≠0兩種情況,對雙曲線和拋物線而言,一個(gè)公共點(diǎn)的情況除a≠0,Δ=0外,直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行或重合時(shí),都只有一個(gè)公共點(diǎn)(此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況). (2)求圓錐曲線被直線所截弦長常用的方法是設(shè)而不求,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長公式求弦長. (3)弦長公式|P1P2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2或 |P1P2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2. 【鞏固訓(xùn)

9、練】已知直線y=-12x+2和橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),若|AB|=25,直線OM的斜率為12(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求橢圓的方程. 【解析】由y=-12x+2,x2a2+y2b2=1, 消去y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則由根與系數(shù)的關(guān)系, 得x1+x2=8a2a2+4b2,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2. 又設(shè)AB的中點(diǎn)M(xM,yM), 則xM=x1+x22=4a2a2+4b2,yM=-12xM+2=8b2a2+4b2. 因?yàn)橹本€OM的斜率

10、kOM=yMxM=12, 所以2b2a2=12,所以a2=4b2, 從而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2. 又因?yàn)閨AB|=25, 所以1+14(x1+x2)2-4x1x2=25, 即5216-4(8-2b2)=25,解得b2=4, 所以a2=4b2=16, 故所求橢圓的方程為x216+y24=1. 類型四　圓錐曲線中的最值與范圍問題 【典例4】(2017馬鞍山高二檢測)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3. (1)求橢圓C的方程. (2)設(shè)直線l與橢圓C交

11、于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為32,求△AOB面積的最大值. 【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c, 依題意有ca=63,a=3,所以c=2,b=a2-c2=1. 所以所求橢圓方程為x23+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). ①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|=3. ②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m. 由已知|m|1+k2=32,得m2=34(k2+1). 把y=kx+m代入橢圓方程,整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2-1)3k2+1. 所以|AB|2=(

12、1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1 =12(k2+1)(3k2+1-m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2 =3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0) ≤3+1223+6=4. 所以|AB|≤2,故△ABO的面積最大值為12|AB|h=12232=32. 【方法總結(jié)】解決圓錐曲線最值(范圍)問題的思路 (1)幾何法:若題目條件與結(jié)論有明顯的幾何特征、幾何意義,常結(jié)合圖形的性質(zhì)尋求解題思路.這種方法常常較為簡捷.

13、(2)代數(shù)法:題設(shè)條件和結(jié)論中存在函數(shù)關(guān)系,可以建立起目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題.常用的方法有二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法、判別式法、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.解題時(shí)要注意自變量的取值范圍對最值的影響. 【鞏固訓(xùn)練】(2017濟(jì)南高二檢測)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上有兩動(dòng)點(diǎn)A,B(直線AB不垂直于x軸),F為焦點(diǎn)且|AF|+|BF|=8,又線段AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)Q(6,0),求: (1)拋物線的方程. (2)△AQB的面積的最大值. 【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2, 所

14、以|AF|+|BF|=x1+x2+p=8,即p+2x0=8.?、? 由y12=2px1,y22=2px2,得y12-y22=2p(x1-x2), 所以y1-y2x1-x2=2py1+y2. 因?yàn)镸Q垂直平分AB,所以kMQ=-y0p,又kMQ=y0x0-6, 所以-y0p=y0x0-6,所以p=6-x0.　② 由①②得x0=2,p=4,故拋物線的方程為y2=8x. (2)由(1)知kAB=4y0,M(2,y0), 所以AB的方程為y-y0=4y0(x-2), 代入y2=8x,得y2-2y0y+2y02-16=0, 由Δ>0得-4