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2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面學(xué)案【含解析】新人教A版必修2

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1、 2.1.1 平 面 平面 [提出問(wèn)題] 寧?kù)o的湖面、海面,生活中的課桌面、黑板面,一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺(jué)? 問(wèn)題1:生活中的平面有大小之分嗎? 提示:有. 問(wèn)題2:幾何中的“平面”是怎樣的? 提示:從物體中抽象出來(lái)的,絕對(duì)平,無(wú)大小之分. [導(dǎo)入新知] 1.平面的概念 幾何里所說(shuō)的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)限延展的. 2.平面的畫(huà)法 (1)水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,它的銳角通常畫(huà)成45,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖①. (2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被

2、遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái).如圖②. 3.平面的表示法 圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [化解疑難] 幾何中的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn) (1)平面是平的; (2)平面是沒(méi)有厚度的; (3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的. 平面的基本性質(zhì) [提出問(wèn)題] 問(wèn)題1:若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上,直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系? 提示:在桌面上. 問(wèn)題2:為什么自行車(chē)后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車(chē)? 提示:撐腳和自行車(chē)的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上. 問(wèn)題3:兩張紙面相交有幾條直線? 提示:一條. [導(dǎo)入新知] 平面的基本性

3、質(zhì) 公理 內(nèi)容 圖形 符號(hào) 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α 公理2 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l [化解疑難] 從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系 (1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合,故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示; (2)平面也可以看成點(diǎn)集,故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是

4、元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示; (3)直線和平面都是點(diǎn)集,它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系,故用“?”或“?”表示. 文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化 [例1] 根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系. (1)點(diǎn)P與直線AB; (2)點(diǎn)C與直線AB; (3)點(diǎn)M與平面AC; (4)點(diǎn)A1與平面AC; (5)直線AB與直線BC; (6)直線AB與平面AC; (7)平面A1B與平面AC. [解] (1)點(diǎn)P∈直線AB; (2)點(diǎn)C ?直線AB; (3)點(diǎn)M∈平面AC; (4)點(diǎn)A1?平面AC; (5)直線AB∩直線BC=點(diǎn)B

5、; (6)直線AB?平面AC; (7)平面A1B∩平面AC=直線AB. [類(lèi)題通法] 三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法 (1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示. (2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別. [活學(xué)活用]  根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句,說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α. 解:(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi),如圖①; (2)直線l在平面α內(nèi)

6、,直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,如圖②; (3)直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q,如圖③. 點(diǎn)、線共面問(wèn)題 [例2] 證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi). [解] 已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi). 法一:(納入平面法) ∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α. 又∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α. ∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi). 法二:(輔助平面法) ∵l1∩l2=A

7、,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個(gè)平面β. ∵A∈l2,l2?α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2?β,∴A∈β. 同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi). ∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi). [類(lèi)題通法] 證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是公理1和公理2,常用方法有以下幾種 (1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi),即用“納入法”; (2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合,即用“同一法”; (3)

8、假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,用“反證法”. [活學(xué)活用]  下列說(shuō)法正確的是(  ) ①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面;②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面;③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面;④兩條平行線確定一個(gè)平面. A.①②         B.②③ C.②④ D.③④ 答案:C 共線問(wèn)題 [例3] 已知△ABC在平面α外,其三邊所在的直線滿(mǎn)足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如圖所示.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線. [解] 證明:法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又∵AB?平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知,點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同

9、理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上. ∴P,Q,R三點(diǎn)共線. 法二:∵AP∩AR=A, ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三點(diǎn)共線. [類(lèi)題通法] 點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩相交平面交線的唯一性,通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證 明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在其上. [活學(xué)活用]  如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1

10、中,設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q, 求證:B,Q,D1三點(diǎn)共線. 證明:如圖所示,連接A1B,CD1.顯然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1. ∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1=Q, ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1, ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1,即B,Q,D1三點(diǎn)共線.      [典例] (12分)如圖,在四面體ABCD中,E,G分別為BC,AB的中點(diǎn),F(xiàn)在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA

11、=2∶3. 求證:EF,GH,BD交于一點(diǎn). [解題流程] [活學(xué)活用] 如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F(xiàn),G,H四點(diǎn),如果EF,GH交于一點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P在直線BD上. 證明:∵EF∩GH=P, ∴P∈EF且P∈GH. 又∵EF?平面ABD,GH?平面CBD, ∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD, 又P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,由公理3可得P∈BD. ∴點(diǎn)P在直線BD上. [隨堂即時(shí)演練] 1.若點(diǎn)Q在直線b上,b在平面β內(nèi),則Q,b,β之間的關(guān)系可記作(  ) A.Q∈b∈β   

12、     B.Q∈b?β C.Q?b?β D.Q?b∈β 答案:B 2.兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面(  ) A.相交 B.重合 C.相交或重合 D.以上都不對(duì) 答案:C 3.下列對(duì)平面的描述語(yǔ)句: ①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面; ②8個(gè)平面重疊起來(lái)比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚; ③四邊形確定一個(gè)平面; ④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合,它當(dāng)然是一個(gè)無(wú)限集. 其中正確的是________(填序號(hào)). 答案:④ 4.設(shè)平面α與平面β交于直線l,A∈α,B∈α,且直線AB∩l=C,則直線AB∩β=________. 答案:C 5.將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言.

13、(1)a?α,b∩α=A,A?a. (2)α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P. 解:(1) (2) [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上,l在平面α外”,正確的是(  ) A.A∈l,l?α       B.A∈l,l?α C.A?l,l?α D.A?l,l?α 答案:B 2.下列說(shuō)法正確的是(  ) A.三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 C.四邊形是平面圖形 D.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 答案:D 3.空間兩兩相交的三條直線,可以確定的平面數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.1或

14、3 答案:D 4.下列推斷中,錯(cuò)誤的是(  ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線?α,β重合 答案:C 5.在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F(xiàn),G,H四點(diǎn),如果EF與HG交于點(diǎn)M,那么(  ) A.M一定在直線AC上 B.M一定在直線BD上 C.M可能在直線AC上,也可能在直線BD上 D.M既不在直線AC上,也不在直線BD上 答案:A 二、填空題 6.線段AB在平面α內(nèi),則直線AB與平面α的位置關(guān)

15、系是________. 答案:直線AB?平面α 7.把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上. (1)A?α,a?α________. (2)α∩β=a,P?α且P?β________. (3)a?α,a∩α=A________. (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B 8.平面α∩平面β=l,點(diǎn)A,B∈α,點(diǎn)C∈平面β且C?l,AB∩l=R,設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的平面為平面γ,則β∩γ=________. 答案:CR 三、解答題 9.求證:如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線

16、相交,那么這四條直線共面. 解:已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求證:直線a,b,c和l共面. 證明:如圖所示,因?yàn)閍∥b,由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面,設(shè)為α. 因?yàn)閘∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因?yàn)锳∈l,B∈l,所以由公理1可知l?α. 因?yàn)閎∥c,所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面β,同理可知l?β. 因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l,且l∩b=B,而由公理2的推論2知,經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面,所以平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面. 10.已知正方體ABCD A1B1C1

17、D1中,E,F(xiàn)分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求證:(1)D,B,F(xiàn),E四點(diǎn)共面; (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P,Q,R三點(diǎn)共線. 證明:如圖. (1)連接B1D1, ∵EF是△D1B1C1的中位線, ∴EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD, ∴EF∥BD. ∴EF,BD確定一個(gè)平面, 即D,B,F(xiàn),E四點(diǎn)共面. (2)正方體AC1中,設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β. ∵Q∈A1C1, ∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β. 則Q是α與β的公共點(diǎn),同理P是α與β的公共點(diǎn), ∴α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,∴R∈A1C. ∴R∈α,且R∈β,則R∈PQ. 故P,Q,R三點(diǎn)共線. - 10 -

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