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1、Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,一、量子力學的建立,二、量子力學基本原理,三、量子力學的理論方法,四、量子力學的應用,高 等 量 子 力 學,1,三、量子力學的理論方法,一、表象理論,二、微擾理論,五、散射理論,六、多粒子體系理論,七、二次量子化,八、相對論量子力學,三、量子躍遷理論,四、自旋與角動量理論,2,第六章,散射理論,一、散射過程、散射截面,二、中心力場中的彈性散射,三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射,四、格林函數(shù)法和波恩近似,3,散射過程：,Z,ds,

2、靶粒子所處位置稱為散射中心。,方向準直的均勻單能粒子由遠處沿,z,軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程稱為,散射過程,。散射后的粒子可用探測器測量。,一、散射過程、散射截面,4,散射角,：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運動方向偏離入射方向的角度。,彈性散射,：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。,入射粒子流密度,N,：,單位時間內(nèi)通過與入射粒子運動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強度的物理量，故又稱為入射粒子流強度。,5,設單位時間內(nèi)散射到（,，,）方向面積元,ds,上（立體角,d,內(nèi)）的粒子數(shù)

3、為,dn,，,顯然,綜合之，則有：,或,（1）,比例系數(shù),q(,，,),的性質：,q(,，,),與入射粒子和靶粒子（散射場）的性質，它們之間的相互作用，以及入射粒子的動能有關，是,，,的函數(shù),散射截面,ds,Z,6,q(,，,),具有面積的量綱,故稱,q(,，,),為微分散射截面，簡稱為截面,或角分布,如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積,q(,，,),，,則單位時間內(nèi)通過此截面的粒子數(shù)恰好散射到,(,，,),方向的單位立體角內(nèi)。,（2）,7,總散射截面：,注,由于,N,、,可通過實驗測定，故而求得 。,量子力學的任務是從理論上計算出 ，以便于同實驗比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以

4、及其它問題。,8,現(xiàn)在考慮量子力學對散射體系的描述。設靶粒子的質量遠大于散射粒子的質量，在碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。,取散射中心,A,為坐標原點，散射粒子體系的定態(tài),Schr,dinger,方程,（4）,令,方程（4）改寫為,9,（5）,由于實驗觀測是在遠離靶的地方進行的，從微觀角度看，可以認為 ，因此，在計算,時，僅需考慮 處的散射粒子的行為，即僅需考慮 處的散射體系的波函數(shù)。,設 時，方程（5）變?yōu)?（6）,10,在 處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波 和球面散射波 之和。即,（,7,）,對于三維情形，波可沿各方向散射。,11,散射波的概率流密度,入射波概率密度（即入射粒子流密度）,為方

5、便起見，取入射平面波 的系數(shù),，,這表明 ，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為1。,（,8,）,12,單位時間內(nèi)，在沿 方向,d,立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為,（1,1,）,比較（1）式與（1,0,），得到,（1,0,）,（,9,）,13,下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。,分波法是準確的求散射理論問題的方法，即準確的散射理論。,由此可知，若知道了 ，即可求得 ，,稱為,散射振幅,。所以，對于能量給定的入射粒子，速率 給定，于是，入射粒子流密度,給定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面。的具體形式通過求,Schr,dinger,方程（5）的解并要求在 時具有漸近形式

6、（,7,）而得出。,14,取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸,z，,顯然,與,無關，,對于具有確定能量的粒子，方程（,2-1,）的特解為,討論粒子在中心力場中的散射。,（,2-1,）,粒子在輳力場中的勢能為 ，狀態(tài)方程,由于現(xiàn)在,與,無關,(,m=0)，,所以，方程（1）的特解可寫成,二、中心力場中的彈性散射（分波法）,15,方程（,2-1,）的通解為所有特解的線性迭加,（,2-2,）,（,2-2,）代入（,2-1,），得徑向方程,為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一個分波，稱為第,個分波，通常稱,的分波分別為,s,p,d,f,分波,（,2-3,）,16,令,代入上方程,（,2-4,）,

7、考慮方程（,2-4,）在 情況下的極限解,令 方程（,2-4,）的極限形式,由此求得：,（,2-5,）,17,為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù),將（,2-5,）代入（,2-2,），得到方程（,2-1,）在,情形下通解的漸近形式,（,2-6,）,18,另一方面，按上節(jié)的討論，在遠離散射中心處，粒子的波函數(shù),（,2-7,）,（,2-8,）,式中,j,l,(,kr,),是球貝塞爾函數(shù),將平面波 按球面波展開,（,2-9,）,19,利用（,2-8,）、（,2-9,），可將（,2-7,）寫成,（,2-10,）,（,2-6,）和（,2-10,）兩式右邊應相等，即,分別比較等式兩邊 和 前邊的系數(shù)

8、，得,20,（,2-12,）,（,2-11,）,可以得到,用 乘以（12）式，再對,從,積分，并利用,Legradrer,多項式的正交性,21,即 （,2-13,）,將此結果代入（,2-11,）式,（,2-14,）,22,可見，求散射振幅,f,(,),的問題歸結為求 ，求,的具體值關鍵是解徑向波函數(shù),的方程（3-3）,由（,2-8,），（,2-9,）知，是入射平面波的第 個分波的位相；由（,2-6,）知，,是散射波第,個分波的位相。所以，,是入射波經(jīng)散射后第,個分波的位相移動（相移）。,的物理意義：,23,微分散射截面,（,2-15,）,總散射截面,24,即 （,2-16,）,式中 （,2-1

9、7,）,是第,個分波的散射截面。,由上述看們看出：求散射振幅,的,問題歸結為求相移,，,而,的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（,2-3,）求,，,然后取其漸近解，并寫為,25,即可得到第 個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移,，,所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波法。,光學定理,表示由散射振幅在零點的虛部可以求出總散射截面,26,分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問,題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實際上，依次計算級數(shù)中的各項是相當復雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到一定精確度即可。,分波法的適用范圍,散射主要發(fā)

10、生在勢場的作用范圍內(nèi)，以散射中心為圓心，以,為半徑的球表示這個范圍，則 時，散射效果就可以忽略不計了。,27,由于入射波的第,個分波的徑向函數(shù) 的第一極大值位于 附近，當,較大時，愈大，,愈快，如果 的第一極大值位于 ，即 時，在 內(nèi)，的值很小。亦即第,個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第,個分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件,28,寫成 ，而 的分波不必考慮，愈小，則需計算的項數(shù)愈小，當 時，,，,這時僅需計算一個相移,即足夠了，,足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，的分波散射截面可以略去。,29,說明,已知 時，可用分波法求出低能散射

11、的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道 的具體形式，這時，我們可先由實驗測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。,30,思考題：,什么是分波法？,入射平面波,e,ikz,按球面波展開,展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移,。,而,的獲得需根據(jù) 的具體形式解徑向方程,31,求出,，,然后取其漸近解，并寫成,即可得到第 個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移,，,所以，計算散射截面時須尋找各個分波的相移，,這種方法稱為分波法。,32,分波法應用舉例,ex.,球方勢阱和球方勢壘的低能

12、散射。,粒子的勢能:,是勢阱或勢壘的深度或高度。設入射粒子能量很小，其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多（質子和中子的低能散射可以近似地歸結為這種情況），求粒子的散射截面。,Solve:,粒子的徑向方程,（1）,三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射,33,其中,（2）,對于球方勢阱,為粒子的能量，為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。,（2）,因粒子波長,所以僅需討論,s,波的散射,，,據(jù)此及（2）式，可將方程（1）寫成,34,其中,（4）,（3）,令,則（3），（4）可寫成,（5）,35,（6）,其解為,（7）,（8）,于是,（9）,（10）,因 在 處有限，必須有,所以,36,在 處，及 連續(xù)，因此，及

13、在 處連續(xù)。由（7），（8）式得,總散射截面,（11）,（12）,由此求得相移,即,37,在粒子能量很低 的情況下，。利用 時，,，,有,（13）,（14）,對于球方勢壘 。,這時，用 代替以上討論中的,，,在粒子能量很低 的情況下，（13）變?yōu)?（15）,38,EX.1,Solve,為一般起見，先考慮,分波的相移，,再取特殊情況 分波的相移。,粒子受到勢能為 的場的散射，,求,s,分波的微分散射截面。,根據(jù)邊界條件,（1）,解徑向函數(shù) 滿足的徑向方程,令,39,又令,（2）,所以（2）式可以寫成,于是（3）式又可寫成,（3）,令,40,上式是,階貝塞爾方程，其解為 ，,因此,但當 時，,所以

14、在 附近,由,（4）,41,（5）,比較（1）式和（5）式，則有,42,將 值代入微分散射截面的表達式,立即可得到,s,分波的微分散射截面,令,s,分波散射截面,43,EX.2,慢速粒子受到勢能為 的場的散射，,若 ，求散射截面。,由徑向波函數(shù) 所滿足的徑向方程,當,時,（1）,令,（2）,Solve:,由于是慢速粒子散射，對于低能散射只需考慮,分波。,44,將 代入以上方程,（3）,并令 （4）,（6）,（5）,45,當 應有限，則要求,在 處，和 連續(xù),兩式相除，得,46,總散射截面,(7),討論：當粒子的能量 時，,如果粒子能量很低 的情況下,47,如果 時，于是有,在這種情況下，總散射截面等于半徑為,的球面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下,48,EX.3,只考慮,s,分波，求慢速粒子受到勢場 的場散射時的散射截面,Solve:,根據(jù)邊界條件,解徑向方程：,令,則上方程簡寫為：,49,令,代入上方程，有,只考慮,s,分波，,，,由于 ，以上方程在 時的漸近形式為,此為 階貝塞爾方程，其解為,50,由于 ，所以有限解為,于是,比較（1）和（2）兩式，并注意取（1）式中的,等于0，則,51,