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專題六 圓周運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力定律 [考綱解讀] 章 內(nèi)容 考試要求 說(shuō)明 必考 加試 曲線 運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng) d d 1.不要求分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度問(wèn)題 2.不要求掌握向心加速度公式的推導(dǎo)方法 3.不要求用“等效圓”處理一般曲線運(yùn)動(dòng) 4.變速圓周運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)的切向分力和切向加速度不作定量計(jì)算要求 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直線上的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 6.不要求對(duì)離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定量計(jì)算 7.不要求分析與計(jì)算兩個(gè)物體連接在一起(包括不接觸)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的問(wèn)題 向心加速度 d d 向心力 d d 生活中的圓周運(yùn)動(dòng) c 萬(wàn)有引力 與航天 行星的運(yùn)動(dòng) a 8.不要求掌握人類對(duì)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律認(rèn)識(shí)的細(xì)節(jié) 9.不要求用開普勒三定律求解實(shí)際問(wèn)題 10.不要求掌握太陽(yáng)與行星間引力表達(dá)式的推導(dǎo)方法 11.不要求計(jì)算空心球體與質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力 12.不要求分析重力隨緯度變化的原因 太陽(yáng)與行星間的引力 a 萬(wàn)有引力定律 c 萬(wàn)有引力理論的成就 c 宇宙航行 c 經(jīng)典力學(xué)的局限性 a 一、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量 1.線速度：描述物體圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量. v＝＝. 2.角速度：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量. ω＝＝. 3.周期和頻率：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量. T＝，T＝. 4.向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量. an＝＝rω2＝ωv＝r. 5.相互關(guān)系：(1)v＝ωr＝r＝2πrf. (2)an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r. 6.常見(jiàn)的三種傳動(dòng)方式及特點(diǎn) (1)皮帶傳動(dòng)：如圖1中甲、乙所示，皮帶和兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB. (2)摩擦傳動(dòng)：如圖丙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB. (3)同軸傳動(dòng)：如圖丁所示，兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等，即ωA＝ωB. 圖1 二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 1.作用效果：產(chǎn)生向心加速度，只改變線速度的方向，不改變線速度的大小. 2.大小：F＝m＝mrω2＝m＝mωv＝m4π2f2r. 3.方向：始終沿半徑方向指向圓心. 4.來(lái)源：向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供. 三、離心現(xiàn)象 1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，所做的沿切線飛出或逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象. 2.受力特點(diǎn)(如圖2所示) 圖2 (1)當(dāng)Fn＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng). (2)當(dāng)Fn＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出. (3)當(dāng)Fnmω2r時(shí)，物體將逐漸靠近圓心，做近心運(yùn)動(dòng). 四、萬(wàn)有引力定律 1.內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比. 2.表達(dá)式：F＝G G為引力常量：G＝6.6710－11 Nm2/kg2. 3.適用條件 (1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用.當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn). (2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離. 五、環(huán)繞速度 1.三個(gè)宇宙速度 (1)第一宇宙速度 v1＝7.9 km/s，衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，又稱環(huán)繞速度. (2)第二宇宙速度 v2＝11.2 km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小地面發(fā)射速度，又稱脫離速度. (3)第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小地面發(fā)射速度，也叫逃逸速度. 2.第一宇宙速度的推導(dǎo) 方法一：由G＝m得v1＝ ＝7.9103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝7.9103 m/s. 第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時(shí)它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min. 1.(2013浙江6月學(xué)考)如圖3所示，小強(qiáng)正在蕩秋千.關(guān)于繩上a點(diǎn)和b點(diǎn)的線速度和角速度，下列關(guān)系正確的是(　　) 圖3 A.va＝vb B.va>vb C.ωa＝ωb D.ωa<ωb 答案　C 解析　繩子繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，a、b兩點(diǎn)角速度相等，ωa＝ωb，D錯(cuò)，C對(duì).因rava，A、B均錯(cuò). 2.如圖4所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過(guò)程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么(　　) 圖4 A.加速度為零 B.加速度恒定 C.加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心 D.加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心 答案　D 解析　木塊做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小不變，但方向時(shí)刻指向圓心，加速度時(shí)刻改變，故選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確. 3.(2016諸暨市期末)如圖5所示，拱形橋的半徑為40 m，質(zhì)量為1.0103 kg的汽車行駛到橋頂時(shí)的速度為10 m/s，假設(shè)重力加速度為10 m/s2，則此時(shí)汽車對(duì)橋的壓力為(　　) 圖5 A.1.0104 N B.7.5103 N C.5.0103 N D.2.5103 N 答案　B 解析　對(duì)汽車由牛頓第二定律得mg－FN＝m得FN＝7.5103 N， 又由牛頓第三定律知汽車對(duì)轎的壓力也為7.5103 N. 4.如圖6所示為某行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道，其中F1和F2是橢圓軌道的兩個(gè)焦點(diǎn)，已知該行星在A點(diǎn)的速率比在B點(diǎn)的大，則太陽(yáng)是位于下列哪一位置(　　) 圖6 A.F1 B.F2 C.O D.在F1與F2之間 答案　A 解析　vA>vB，由開普勒定律知，太陽(yáng)處于橢圓軌道的焦點(diǎn)F1處. 5.2013年6月11日17時(shí)38分，“神舟十號(hào)”飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，航天員王亞平進(jìn)行了首次太空授課.在飛船進(jìn)入圓形軌道環(huán)繞地球飛行時(shí)，它的線速度大小(　　) A.等于7.9 km/s B.介于7.9 km/s和11.2 km/s之間 C.小于7.9 km/s D.介于7.9 km/s和16.7 km/s之間 答案　C 解析　衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的速度v＝ .由于r>R，所以v< ＝7.9 km/s，C正確. 　　　　　圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)分析 1.向心力的來(lái)源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力. 2.向心力的確定 (1)先確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確定圓心的位置. (2)再分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力. 3.解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的主要步驟 (1)審清題意，確定研究對(duì)象；明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的平面是至關(guān)重要的一環(huán)； (2)分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，即物體的線速度是否變化、軌道平面、圓心位置、半徑大小等； (3)分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來(lái)源； (4)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及向心力公式列方程. 例1　擺式列車是集電腦、自動(dòng)控制等高新技術(shù)于一體的新型高速列車.當(dāng)列車轉(zhuǎn)彎時(shí)，在電腦控制下，車廂會(huì)自動(dòng)傾斜，抵消離心力的作用；行走在直線上時(shí)，車廂又恢復(fù)原狀，就像玩具“不倒翁”一樣.假設(shè)有一超高速列車在水平面內(nèi)行駛，以360 km/h的速度拐彎，拐彎半徑為1 km，則質(zhì)量為50 kg的乘客，在拐彎過(guò)程中所受到的火車給他的作用力為(g取10 m/s2)(　　) A.500 N B.1 000 N C.500 N D.0 答案　C 解析　乘客所需的向心力：Fn＝m＝500 N，而乘客的重力為500 N，故火車對(duì)乘客的作用力大小為500 N，C正確. 解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的三個(gè)分析 (1)幾何關(guān)系的分析：確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑等. (2)運(yùn)動(dòng)分析：確定圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度. (3)受力分析：利用力的合成與分解知識(shí)，表示出物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界所提供的向心力. 變式題組 1.如圖7所示，質(zhì)量相等的a、b兩物體放在圓盤上，到圓心的距離之比是2∶3，圓盤繞圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩物體相對(duì)圓盤靜止，a、b兩物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力之比是(　　) 圖7 A.1∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.9∶4 答案　C 解析　a、b隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，由Fn＝mω2r知向心力正比于半徑，C正確. 2.(2016諸暨市調(diào)研)如圖8所示，半徑為r的圓筒，繞豎直中心軸OO′旋轉(zhuǎn)，小物塊a靠在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒內(nèi)壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相同，要使a不下落，則圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω至少為(　　) 圖8 A. B. C. D. 答案　D 解析　對(duì)物塊受力分析知Ff＝mg，F(xiàn)n＝FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解這三個(gè)方程得角速度ω至少為，D選項(xiàng)正確. 3.(多選)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶.如圖9，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為v時(shí)，汽車恰好沒(méi)有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動(dòng)的趨勢(shì).則在該彎道處(　　) 圖9 A.路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低 B.車速只要低于v，車輛便會(huì)向內(nèi)側(cè)滑動(dòng) C.車速雖然高于v，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會(huì)向外側(cè)滑動(dòng) D.當(dāng)路面結(jié)冰時(shí)，與未結(jié)冰時(shí)相比，v的值變小 答案　AC 解析　當(dāng)汽車行駛的速度為v時(shí)，路面對(duì)汽車沒(méi)有摩擦力，路面對(duì)汽車的支持力與汽車重力的合力提供向心力，此時(shí)要求路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低，選項(xiàng)A正確.當(dāng)速度稍大于v時(shí)，汽車有向外側(cè)滑動(dòng)的趨勢(shì)，因而受到向內(nèi)側(cè)的摩擦力，當(dāng)摩擦力小于最大靜摩擦力時(shí)，車輛不會(huì)向外側(cè)滑動(dòng)，選項(xiàng)C正確.同樣，速度稍小于v時(shí)，車輛不會(huì)向內(nèi)側(cè)滑動(dòng)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.v的大小只與路面的傾斜程度和轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)，與地面的粗糙程度無(wú)關(guān)，D錯(cuò)誤. 　　　　　豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 1.在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類：一是無(wú)支撐(如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)山車等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”，二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等)，稱為“桿(管)約束模型”. 2.繩、桿模型涉及的臨界問(wèn)題 繩模型 桿模型 常見(jiàn)類型 均是沒(méi)有支撐的小球 均是有支撐的小球 過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得 v臨＝0 討論分析 (1)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力F (2)不能過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心(2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大 例2　一輛質(zhì)量m＝2 t的轎車，駛過(guò)半徑R＝90 m的一段凸形橋面，g取10 m/s2，求： (1)轎車以10 m/s的速度通過(guò)橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面的壓力是多大？ (2)在最高點(diǎn)對(duì)橋面的壓力等于轎車重力的一半時(shí)，車的速度大小是多少？ 答案　(1)1.78104 N　(2)15 m/s 解析　(1)轎車通過(guò)凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，受力分析如圖所示 合力Fn＝mg－FN，由向心力公式得mg－FN＝m 故轎車受到橋面的支持力大小FN＝mg－m＝(2 00010－2 000) N≈1.78104 N 根據(jù)牛頓第三定律，轎車在橋的頂點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面壓力的大小為1.78104 N. (2)對(duì)橋面的壓力等于轎車重力的一半時(shí)，向心力Fn′＝mg－FN′＝0.5mg，而Fn′＝m，所以此時(shí)轎車的速度大小v′＝＝ m/s＝15 m/s. 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題的解題技巧 1.定模型：首先判斷是繩模型還是桿模型，兩種模型過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件不同. 2.確定臨界點(diǎn)：抓住繩模型中最高點(diǎn)v≥及桿模型中v≥0這兩個(gè)臨界條件. 3.研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況. 4.受力分析：對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，F(xiàn)合＝F向. 5.過(guò)程分析：應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)列方程. 變式題組 4.如圖10所示，乘坐游樂(lè)園的翻滾過(guò)山車時(shí)，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖10 A.過(guò)山車在最高點(diǎn)時(shí)人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險(xiǎn)帶拉住，沒(méi)有保險(xiǎn)帶，人就會(huì)掉下來(lái) B.人在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力 C.人在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)座位的壓力等于mg D.人在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)座位的壓力大于mg 答案　D 解析　人在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律和向心力公式可得：F＋mg＝m，由此可知，當(dāng)v＝時(shí)，人只受重力作用；當(dāng)v>時(shí)，重力和座位對(duì)人向下的壓力提供向心力；當(dāng)v<時(shí)，除受重力外，人還受保險(xiǎn)帶向上的拉力，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.當(dāng)v＝時(shí)，座位對(duì)人向下的壓力等于重力mg，由牛頓第三定律知，人對(duì)座位的壓力等于mg，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.人在最低點(diǎn)時(shí)，受到重力和支持力，由牛頓第二定律和向心力公式可得：F－mg＝m，即F＝mg＋m>mg，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確. 5.(多選)如圖11所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4 m，最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)當(dāng)滿足(取g＝10 m/s2)(　　) 圖11 A.v0≥0 B.v0≥4 m/s C.v0≥2 m/s D.v0≤2 m/s 答案　CD 解析　當(dāng)v0較大時(shí)，小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)，這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv，得v0≥2 m/s，C正確.當(dāng)v0較小時(shí)，小球不能通過(guò)最高點(diǎn)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時(shí)速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr＝mv，得v0≤2 m/s，D正確. 　　　　　萬(wàn)有引力定律的理解和應(yīng)用 1.解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路 (1)天體運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于天體之間的萬(wàn)有引力，即 G＝man＝m＝mω2r＝m. (2)在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度). 2.天體質(zhì)量和密度的估算 (1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R. 由于G＝mg，故天體質(zhì)量M＝， 天體密度ρ＝＝＝. (2)通過(guò)觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r. ①由萬(wàn)有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質(zhì)量M＝； ②若已知天體半徑R，則天體的平均密度 ρ＝＝＝. 3.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律 例3　“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為h的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T.已知引力常量為G，月球的半徑為R.利用以上數(shù)據(jù)估算月球質(zhì)量的表達(dá)式為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得G＝m，解得月球的質(zhì)量為M＝，選項(xiàng)D正確. 應(yīng)用萬(wàn)有引力定律時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 1.估算天體質(zhì)量和密度時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)利用萬(wàn)有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量. (2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝πR3中的R只能是中心天體的半徑. 2.運(yùn)動(dòng)參量an、v、ω、T均與衛(wèi)星質(zhì)量無(wú)關(guān)，只由軌道半徑r和中心天體質(zhì)量共同決定.所有參量的比較，最終歸結(jié)到半徑的比較. 變式題組 6.(2016浙江10月學(xué)考12)如圖12所示，“天宮二號(hào)”在距離地面393 km的近圓軌道運(yùn)行.已知萬(wàn)有引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，地球質(zhì)量M＝6.01024 kg，地球半徑R＝6.4103 km.由以上數(shù)據(jù)可估算(　　) 圖12 A.“天宮二號(hào)”的質(zhì)量 B.“天宮二號(hào)”的運(yùn)行速度 C.“天宮二號(hào)”受到的向心力 D.地球?qū)Α疤鞂m二號(hào)”的引力 答案　B 7.(2016浙江4月選考)2015年12月，我國(guó)暗物質(zhì)粒子探測(cè)衛(wèi)星“悟空”發(fā)射升空進(jìn)入高為5.0102 km的預(yù)定軌道.“悟空”衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知地球半徑R＝6.4103 km.下列說(shuō)法正確的是(　　) A.“悟空”衛(wèi)星的線速度比同步衛(wèi)星的線速度小 B.“悟空”衛(wèi)星的角速度比同步衛(wèi)星的角速度小 C.“悟空”衛(wèi)星的運(yùn)行周期比同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期小 D.“悟空”衛(wèi)星的向心加速度比同步衛(wèi)星的向心加速度小 答案　C 解析　地球同步衛(wèi)星距地心的距離大于“悟空”衛(wèi)星距地心的距離，由G＝可得，v＝ ，由此可知，“悟空”的線速度大，所以A錯(cuò).由G＝mω2r可知，“悟空”的角速度大，即周期小，由G＝man可知，“悟空”的向心加速度大，因此C對(duì). 圖13 8.(2015浙江10月選考)在同一軌道平面上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A、B、C，某時(shí)刻恰好在同一過(guò)地心的直線上，如圖13所示，當(dāng)衛(wèi)星B經(jīng)過(guò)一個(gè)周期時(shí)(　　) A.A超前于B，C落后于B B.A超前于B，C超前于B C.A、C都落后于B D.各衛(wèi)星角速度相等，因而三顆衛(wèi)星仍在同一直線上 答案　A 解析　由G＝mr可得T＝2π，故軌道半徑越大，周期越大.當(dāng)B經(jīng)過(guò)一個(gè)周期時(shí)，A已經(jīng)完成了一個(gè)多周期，而C還沒(méi)有完成一個(gè)周期，所以選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤. 　　　　　宇宙航行 1.宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系 (1)v發(fā)＝7.9 km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng). (2)7.9 km/sωB C.vAvB 答案　D 解析　由于A、B兩處在人自轉(zhuǎn)的過(guò)程中周期一樣，所以根據(jù)ω＝ 可知，A、B兩處的角速度一樣，所以A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)v＝rω 可知A處轉(zhuǎn)動(dòng)半徑大，所以A處的線速度大，即選項(xiàng)D正確. 4.(2016紹興市模擬)如圖2所示，質(zhì)量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒的豎直內(nèi)壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)系中正確的有(　　) 圖2 A.線速度vATB C.它們受到的摩擦力FfA>FfB D.筒壁對(duì)它們的彈力FNA>FNB 答案　D 解析　由于兩物體角速度相等，而rA>rB，所以vA＝rAω>vB＝rBω，A項(xiàng)錯(cuò)；由于ω相等，則T相等，B項(xiàng)錯(cuò)；因豎直方向受力平衡，F(xiàn)f＝mg，所以FfA＝FfB，C項(xiàng)錯(cuò)；彈力等于向心力，故FNA＝mrAω2>FNB＝mrBω2，D項(xiàng)對(duì). 5.(多選)如圖3所示，水平放置的兩個(gè)用相同材料制成的輪P和Q靠摩擦傳動(dòng)，兩輪的半徑R∶r＝2∶1.當(dāng)主動(dòng)輪Q勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在Q輪邊緣上放置的小木塊恰能相對(duì)靜止在Q輪邊緣上，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1，木塊的向心加速度為a1；若改變轉(zhuǎn)速，把小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，此時(shí)Q輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2，木塊的向心加速度為a2，則(　　) 圖3 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　AC 解析　根據(jù)題述，a1＝ωr，ma1＝μmg，聯(lián)立解得μg＝ωr，小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，μg＝ω2R＝2ω2r，ωR＝ω2r，聯(lián)立解得＝，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；a2＝μg＝ω2R，＝，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤. 6.一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖4 A.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿所受到的彈力可以等于零 B.小球過(guò)最高點(diǎn)的最小速度是 C.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而增大 D.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而減小 答案　A 解析　輕桿可對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度可以為零，當(dāng)小球過(guò)最高點(diǎn)的速度v＝時(shí)，桿所受的彈力等于零，A正確，B錯(cuò)誤；若v<，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向上，mg－F＝m，隨v增大，F(xiàn)減小，若v>，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向下，mg＋F＝m，隨v增大，F(xiàn)增大，故C、D均錯(cuò)誤. 7.如圖5所示，光滑固定的水平圓盤中心有一個(gè)光滑的小孔，用一細(xì)繩穿過(guò)小孔連接質(zhì)量分別為m1、m2的小球A和B，讓B球懸掛，A球在光滑的圓盤面上繞圓盤中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，半徑為r，則關(guān)于r和ω關(guān)系的圖象正確的是(　　) 圖5 答案　B 解析　根據(jù)m2g＝m1rω2得：r＝，可知r與成正比，與ω2成反比.故A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)椋溅?，則與ω2成正比.故C、D錯(cuò)誤. 8.(多選)(2015浙江19)如圖6所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“U”形彎道，轉(zhuǎn)彎處為圓心在O點(diǎn)的半圓，內(nèi)外半徑分別為r和2r.一輛質(zhì)量為m的賽車通過(guò)AB線經(jīng)彎道到達(dá)A′B′線，有如圖所示的①、②、③三條路線，其中路線③是以O(shè)′為圓心的半圓，OO′＝r.賽車沿圓弧路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力為Fmax.選擇路線，賽車以不打滑的最大速率通過(guò)彎道(所選路線內(nèi)賽車速率不變，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大)，則(　　) 圖6 A.選擇路線①，賽車經(jīng)過(guò)的路程最短 B.選擇路線②，賽車的速率最小 C.選擇路線③，賽車所用時(shí)間最短 D.①、②、③三條路線的圓弧上，賽車的向心加速度大小相等 答案　ACD 解析　由幾何關(guān)系可得，路線①、②、③賽車通過(guò)的路程分別為：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路線①的路程最短，選項(xiàng)A正確；圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速率對(duì)應(yīng)著最大靜摩擦力提供向心力的情形，即μmg＝m，可得最大速率v＝，則知②和③的速率相等，且大于①的速率，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)t＝，可得①、②、③所用的時(shí)間分別為t1＝，t2＝， t3＝，其中t3最小，可知線路③所用時(shí)間最短，選項(xiàng)C正確；在圓弧軌道上，由牛頓第二定律可得：μmg＝man，an＝μg，可知三條路線上的向心加速度大小均為μg，選項(xiàng)D正確. 9.(2015浙江10月選考)2015年9月20日“長(zhǎng)征六號(hào)”火箭搭載20顆小衛(wèi)星成功發(fā)射.如圖7所示，在多星分離時(shí)，小衛(wèi)星分別在高度不同的三層軌道被依次釋放.假設(shè)釋放后的小衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖7 A.20顆小衛(wèi)星的軌道半徑均相同 B.20顆小衛(wèi)星的線速度大小均相同 C.同一圓軌道上的小衛(wèi)星的周期均相同 D.不同圓軌道上的小衛(wèi)星的角速度均相同 答案　C 解析　三層軌道高度不同，故r不同，A錯(cuò)；由G＝m＝mω2r＝m2r可知，軌道半徑不同，線速度大小、角速度不同，B、D錯(cuò)；同一軌道，軌道半徑相同，周期相同，C正確. 10.a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運(yùn)行的四顆人造衛(wèi)星.其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個(gè)圓軌道上，b、c的軌道在同一平面上.某時(shí)刻四顆衛(wèi)星的運(yùn)行方向及位置如圖8所示，下列說(shuō)法中正確的是(　　) 圖8 A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的線速度大小相等，且小于d的線速度 D.a、c存在P點(diǎn)相撞的危險(xiǎn) 答案　A 解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，選項(xiàng)A正確，B、C錯(cuò)誤；因a、c的軌道半徑相同，周期相同，只要圖示時(shí)刻不撞，以后就不可能相撞了. 11.(2016諸暨市期末)月球是地球以外人類親身到過(guò)唯一的自然天體.假設(shè)月球表面重力加速度為g，月球半徑為R，引力常量為G，則月球質(zhì)量表達(dá)式為(　　) A.M＝gR2 B.M＝ C.M＝ D.M＝ 答案　B 12.如圖9，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則(　　) 圖9 A.＝ B.＝ C.＝()2 D.＝()2 答案　A 解析　由題意知，兩顆人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)G＝m，得v＝ ，所以＝，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤. 13.(2016湖州市調(diào)研)在高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計(jì)時(shí)速是108 km/h.汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍. (1)如果汽車在這種高速公路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？ (2)如果高速公路上設(shè)計(jì)了圓弧拱形立交橋，要使汽車能夠以設(shè)計(jì)時(shí)速安全通過(guò)圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱形立交橋的半徑至少是多少？(取g＝10 m/s2) 答案　(1)150 m　(2)90 m 解析　(1)汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由車與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，有Fmax＝0.6mg＝m，由速度v＝108 km/h＝30 m/s得，彎道半徑rmin＝150 m. (2)汽車過(guò)圓弧拱橋，可看做在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式有：mg－FN＝m.為了保證安全通過(guò)，車與路面間的彈力FN必須大于等于零，有mg≥m，則R≥90 m. 14.(2016諸暨市期末)“水上樂(lè)園”中有一巨大的水平轉(zhuǎn)盤，人在其上隨盤子一起轉(zhuǎn)動(dòng)，給游客帶來(lái)無(wú)窮樂(lè)趣.如圖10所示，轉(zhuǎn)盤的半徑為R，離水平面的高度為H，可視為質(zhì)點(diǎn)的游客的質(zhì)量為m，現(xiàn)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，游客在轉(zhuǎn)盤邊緣保持相對(duì)靜止，不計(jì)空氣阻力. 圖10 (1)求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的周期； (2)求游客受到摩擦力的大小和方向； (3)若轉(zhuǎn)盤突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求游客落水點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的水平距離. 答案　(1)　(2)mω2R，沿半徑方向指向圓心O (3)R 解析　(1)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的周期：T＝ (2)游客受到摩擦力的大?。篎f＝mω2R 游客受到摩擦力的方向沿半徑方向指向圓心O. (3)游客轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的線速度，即平拋運(yùn)動(dòng)的初速度：v＝ωR 游客落水的時(shí)間：t＝ 游客做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移：x＝ωR 游客落水點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離：s＝＝R.