《第七講計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第七講計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)課件（45頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、參數(shù)曲線曲面概述,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),主要內(nèi)容,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí),三、參數(shù)曲線,四、參數(shù)曲面,五、,CATIA,曲線曲面造型技術(shù),一、參數(shù)曲線曲面概述第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)主要內(nèi)容二,一、參數(shù)曲線曲面概述,如何表示象飛機(jī)、汽車(chē)、輪船等具有復(fù)雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問(wèn)題？,1963,年美國(guó)波音（,Boeing,）飛機(jī)公司的佛格森（,Ferguson,）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),概述,一、參數(shù)曲線曲面概述如何表示象飛機(jī)、汽車(chē)、輪船等具有復(fù)雜外形,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）,1964,年，美國(guó)麻省理工學(xué)院（

2、,MIT,）的孔斯（,Coons,）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。,1964,年，舍恩伯格（,Schoenberg,）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。,1971,年，法國(guó)雷諾（,Renault,）汽車(chē)公司的貝塞爾（,Bezier,）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),概述,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）1964年，美國(guó)麻省理工學(xué)院（MI,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）,1974,年，美國(guó)通用汽車(chē)公司的戈登（,Gorden,）和里森費(fèi)爾德（,Riesenfeld,）提出了,B,樣條曲線和曲面。,1975,年，美國(guó)錫拉丘茲（,Syracuse,）大學(xué)的佛斯普里爾（

3、,Versprill,）提出了有理,B,樣條方法。,80,年代后期皮格爾（,Piegl,）和蒂勒（,Tiller,）將有理,B,樣條發(fā)展成非均勻有理,B,樣條方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),概述,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）1974年，美國(guó)通用汽車(chē)公司的戈登,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí),曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示。,顯式表示,一般形式是：,y,=,f,(,x,),。,說(shuō)明：在此方程中，一個(gè),x,值與一個(gè),y,值對(duì)應(yīng)，所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線，例如，不能用顯式方程表示一個(gè)圓。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),二、參數(shù)曲線

4、曲面基本知識(shí)曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,隱式表示,一般形式是：,f,(,x,，,y,)=0,。,說(shuō)明：隱式表示的優(yōu)點(diǎn)是易于判斷函數(shù),f(x,y),是否大于、小于或等于零，也就易于判斷點(diǎn)是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。,顯式表示和隱式表示為非參數(shù)化表示形式。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）隱式表示顯式表示和隱式表示為非,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,非參數(shù)表示形式的缺點(diǎn),與坐標(biāo)軸相關(guān)；,會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情形（如垂線）；,不便于計(jì)算機(jī)編程。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）

5、非參數(shù)表示形式的缺點(diǎn) 與坐標(biāo)軸,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,參數(shù)表示,曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù),t,的函數(shù)。,P,(,t,)=,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù),u,和,w,的函數(shù)。,P,(,t,)=,x,(u,，,w,),y,(u,，,w,),z,(u,，,w,),第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）參數(shù)表示 曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,參數(shù)表示,端點(diǎn)為,P,0,、,P,1,的直線段參數(shù)方程可表示為：,P,(,t,)=,P,0+(,P,1-,P,0),t,t,0,1;,第

6、七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),P,0,P,1,t,=,t,0,t,=,t,1,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）參數(shù)表示 端點(diǎn)為P0、P1的直,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,參數(shù)表示優(yōu)越性,與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)；,有更大的自由度來(lái)控制曲線、曲面的形狀；,便于處理斜率為無(wú)窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算；,坐標(biāo)點(diǎn)各分量的表示是分離的；,規(guī)格化的參數(shù)變量,t,0,1,，使得界定曲線、曲面的范圍十分簡(jiǎn)單；,易于用矢量和矩陣運(yùn)算，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),！這里教材中有錯(cuò),二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）參數(shù)表示優(yōu)越性 與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)；,二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）,構(gòu)造曲線

7、曲面的方法,插值,給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn),Pi,，,i,=0,1,n,，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為插值曲線。,逼近,構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。,擬合,插值和逼近則統(tǒng)稱(chēng)為擬合。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),基本知識(shí),二、參數(shù)曲線曲面基本知識(shí)（續(xù)）構(gòu)造曲線曲面的方法 插值 逼近,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。,代數(shù)形式,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 以三次參數(shù)曲線為例，討,三、

8、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式 第七講,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,對(duì)于,則,:,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,對(duì)于,則,:,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲

9、線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,得,:,由,記為,:,所以,:,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）得:,三、參數(shù)曲線,四點(diǎn)式曲線,已知四點(diǎn),:,求,:,過(guò)四點(diǎn)曲線的幾何和代數(shù)形式,令,因?yàn)?所以,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,解,:,三、參數(shù)曲線四點(diǎn)式曲線已知四點(diǎn):求:過(guò)四點(diǎn)曲線的幾何,三、參數(shù)曲線,四點(diǎn)式曲線,幾何表達(dá)式,代數(shù)表達(dá)式,作業(yè)：,u,等距分布式，求幾何和代數(shù)表達(dá)式,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線四點(diǎn)式曲線幾何表達(dá)式 代數(shù)表達(dá)式

10、 作業(yè)：u等距分,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線,由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來(lái)越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。,1962,年，法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的,P.E.Bezier,構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法。,背景,定義,用一組折線集定義，第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)在曲線上，且第一條折線和最后一條折線是曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線，曲線形狀趨于折線集得形狀。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線 由于幾何外形設(shè)計(jì),三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,表達(dá)式,其中,稱(chēng)為伯恩斯坦,(Bernstain),基函數(shù)。,第七講 計(jì)

11、算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,！此公式教材中有錯(cuò),三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）表達(dá)式 其中稱(chēng)為伯,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,那么,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 那么第七講,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,于是：,于是：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 于是：于是：,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 第七講,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,

12、Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,1,時(shí)：,表示連接,P,0,和,P,1,得直線段,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,2,時(shí)：,寫(xiě)成矩陣的形式為：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,3,時(shí)：,寫(xiě)成矩陣的形式為：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）

13、低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,Bezier,曲線特點(diǎn),過(guò)特征多邊形得起點(diǎn)和終點(diǎn)；,第一條折線和最后一條折線是曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)得切線；,起點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)由前三點(diǎn)確定，某一點(diǎn)的底,r,階導(dǎo)數(shù)由該點(diǎn)相鄰的,r,點(diǎn)確定；,調(diào)和函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性；,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）Bezier曲線特點(diǎn),三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,Bezier,曲線的局限性,不能作局部修改，改變某一控制點(diǎn)對(duì)整個(gè)曲線都有影響；,特征多邊形邊數(shù)較多時(shí)，多邊形對(duì)曲線的控制減弱；,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線

14、貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）Bezier曲線的局,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線,B,樣條曲線的一般表達(dá)式,已知控制頂點(diǎn)和一組基函數(shù)，定義,B,樣條曲線為：,式中：,稱(chēng)為,n,次,B,樣條基函數(shù)。,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線B樣條曲線的一般表達(dá)式 已知控制,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,二次,B,樣條曲線,式中：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）二次B樣條曲線式中：第七講,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,二次,B,樣條曲線矩陣形式,二次,B,樣條可以寫(xiě)成如下形式：,可以得到：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,！這里教材

15、中有錯(cuò),三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）二次B樣條曲線矩陣形式 二次B,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,三次,B,樣條曲線,可以得到：,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）三次B樣條曲線可以得到：第七講,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,設(shè)已知型值點(diǎn)列,Q,i,(i=1,2,n-1),要求一條三次,B,樣條曲線經(jīng)過(guò)這些點(diǎn),求出這條曲線的控制頂點(diǎn),P,i,(i=0,1,n).,由曲線的端點(diǎn)性質(zhì)可得下列線性方程組,:,P,i-1,+4P,i,+P,i+1,=6Q,i,(i=1,2,n-1),再補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件可得唯一解。如,已知,Q,1,和,Q,i-1,處的切矢,三次,

16、B,樣條曲線的反算,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）設(shè)已知型值點(diǎn)列Qi(i=1,2,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,把它們寫(xiě)成矩陣形式為,三次,B,樣條曲線的反算,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）把它們寫(xiě)成矩陣形式為三次B樣條曲,三、參數(shù)曲線,非均勻有理,B,樣條（,NURBS,）曲線,NURBS,曲線的定義:,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲線,！這里教材中有錯(cuò),三、參數(shù)曲線非均勻有理B樣條（NURBS）曲線NURBS曲線,0,1,1,u,w,(,u,w,),四、參數(shù)曲面,參數(shù)曲面的概念,P(u,w)=,x,(,u,w,),y,(,u,w,),z,(,u,w,),0=,u,w,=1,第七講 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),參數(shù)曲面,011uw(u,w)四、參數(shù)曲面參數(shù)曲面的概念P(u,w)=,四、參數(shù)曲面,參數(shù)曲面的概念,u,和,w,向切矢：,四個(gè)角點(diǎn)的,u,向和,w,向切矢為：,P,u,(0,0),、,P,u,(1,0),、,P,u,(0,1),、,P,u,(1,1),、,P,w,(0,0),、,P,w,(1,0),、,P