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2、并判斷各公式類型,(,?,,P,∨,?,Q),?,(P,?,?,Q),? ?,(,?,,P,∨,?,Q),∨,(P,?,?,Q),,∧,(,?,Q,?,P),,,(P,∧,Q),∨,(,?,P,∨,?,Q),∧,(Q,∨,P),,(P,∧,Q),∨,((,Q,∨,P,),∧,?,P),∨,(,(Q,∨,P),,∧,?,Q),?,(P,∧,Q),∨,(,?,P,∧,Q),∨,(,?,P,∧,P),∨,(,?,Q,∧,Q),∨,(,?,Q,∧,P),?,(,?,P,∧,Q),∨,(P,∧,?,Q),∨,(P,∧,Q),?,m,01,∨,m,10,∨,m,11,,?,M,00,是偶然式,主析取范式和

3、主合取范式試化下列公式為主析取范式和主合取范式，,主析取范式和主合取范式,試化下列公式為主析取范式和主合取范式，并判斷各公式類型,P,∨,(,?,P,?,(Q,∨,(,?,Q,?,R))),?,P,∨,(P,∨,(Q,∨,(Q,∨,R))),?,P,∨,Q,∨,R,?,M,000,?,m,001,∨,m,010,∨,m,011,∨,m,100,∨,m,101,∨,m,110,∨,m,111,是偶然式,主析取范式和主合取范式試化下列公式為主析取范式和主合取范式，,主析取范式和主合取范式,試化下列公式為主析取范式和主合取范式，并判斷各公式類型,(,P,?,(Q,∧,R)),∧ (,?,,P,?

4、,(,?,Q,?,R)),?,(,?,,P,∨,(Q,∧,R)),∧ (,P,∨,(Q,∨,R)),?,(,?,,P,∨,Q),∧,(,?,,P,∨,R),∧,(P,∨,Q,∨,R),?,(P,∨,Q,∨,R),∧,(,?,P,∨,Q,∨,R),∧,(,?,P,∨,Q,∨,?,R),∧,(,?,P,∨,?,Q,∨,R),?,M,000,∧,,M,100,∧,,M,101,∧,,M,110,?,m,001,∨,m,010,∨,m,011,∨,m,111,是偶然式,用同一律和互補律,(,A,?,A,∨ (,B,∧,?,B ),)，補充簡單析取式中未出現(xiàn)的命題變元，并用分配律展開,主析取范式和主合取

5、范式試化下列公式為主析取范式和主合取范式，,主析取范式和主合取范式,試化下列公式為主析取范式和主合取范式，并判斷各公式類型,((,P,∨,Q,),,?,R),?,P,? ?,(,?,(,P,∨,Q,),,∨,R),∨,P,?,( (,P,∨,Q,),,∧,?,R),∨,P,?,(P,∨,Q,∨,P),∧,(,?,R,∨,P),?,(P,∨,Q),∧,(P,∨,?,R),?,,(P,∨,Q,∨,R),∧,(P,∨,Q,∨,?,R),∧,(P,∨,?,Q,∨,?,R),?,M,000,∧,M,001,∧,M,011,?,m,010,∨,m,100,∨,m,101,∨,m,110,∨,m,111,

6、是偶然式,主析取范式和主合取范式試化下列公式為主析取范式和主合取范式，,主析取范式,真值表法：,例1.37：求 (,P,?,Q),∧,Q,的主析取范式,P Q,m,00,m,01,m,10,m,11,,?,P,∧,?,Q,?,P,∧,Q,P,∧,?,Q,P,∧,Q,0 0,1,0,0,0,,0 1,0,1,0,0,,1 0,0,0,1,0,,1 1,0,0,0,1,,P Q,m,00,m,01,m,10,m,11,(,P,?,Q),∧,Q,?,P,∧,?,Q,?,P,∧,Q,P,∧,?,Q,P,∧,Q,0 0,1,0,0,0,0,0 1,0,1,0,0,1,1 0,0,0,1

7、,0,0,1 1,0,0,0,1,1,∴ (,P,?,Q),∧,Q,?,(,?,P,∧,Q),∨ (,P,∧,Q),?,m,01,∨,m,11,主析取范式真值表法：P Qm00m01m10m11? P∧,主合取范式,真值表法：,例1.40：求 (,P,?,Q),∧,Q,的主合取范式,P Q,M,00,M,01,M,10,M,11,(,P,?,Q),∧,Q,P,∨,Q,,P,∨,?,Q,?,,P,∨,Q,?,,P,∨,?,Q,0 0,0,1,1,1,0,0 1,1,0,1,1,1,1 0,1,1,0,1,0,1 1,1,1,1,0,1,∴ (,P,?,Q),∧,Q,?,(,P,∨,

8、Q),∧ (,?,,P,∨,Q),?,M,00,∧,M,10,主合取范式真值表法：P QM00M01M10M11(P ?,分別用真值表法和公式法求,(,P,?,(,Q,∨,R,))∧(,?,P,∨(,Q,?,R,)),的主析取范式與主合取范式（,10,分）,主析取范式和主合取范式,分別用真值表法和公式法求(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R,命題邏輯,已知命題公式,A(P, Q, R),，并且知道只有當(dāng)賦值為,001,、,110,和,111,時公式真值為假。求命題公式,A(P, Q, R),的主析取范式為,__________________,。,命題邏輯已知命題公式 A(P, Q, R)，

9、并且知道只有當(dāng)賦,命題邏輯的推理理論,符號化下述論斷，并證明其有效性。,如果今天是周一，則進行離散數(shù)學(xué)或,C,語言其中一門考試,如果,C,語言老師有會，則不考,C,語言,今天是周一,C,語言老師有會,所以：進行離散數(shù)學(xué)考試,設(shè)：,P：,今天是周一，,Q：,考,C,語言，,R：,考離散數(shù)學(xué)，,S：C,語言老師有會，,P,?,Q,?,R,S,?,?,Q,P,S,R,命題邏輯的推理理論符號化下述論斷，并證明其有效性。設(shè)： P：,命題邏輯的推理理論,前提：,P,?,Q,?,R,，,S,?,?,Q,，,P,，,S,結(jié)論：,R,證明：,(1),,P,,P,,(2),,P,?,Q,?,R,P,,(3),,Q

10、,?,R,T (1) (2) I,8,,(4),,?,(,Q,?,R ),T (3),,(5),,?,Q,?,R,T (4) E,12,(6),,?,Q,?,R,T (5) I,18,(7),,S,P,(8),,S,?,?,Q,P,(9),,?,Q,T (7) (8) I,8,(10),,R,,T (6) (9) I,8,命題邏輯的推理理論前提： P ? Q ? R ， S ? ?,命題邏輯的推理理論,符號化下面命題，并推證之,。,如果廠方拒絕增加工資，則罷工不會停止除非罷工超過一年，并且工廠廠長辭職,因此：若廠方拒絕增加工資，而罷工又剛剛開始， 罷工是不會停止的,設(shè)：,P：,廠方拒絕增

11、加工資，,Q：,罷工會停止，,R：,罷工超過一年，,S：,工廠廠長辭職，,(P,?,?,,Q),?,,?,( R,∧,S ),P,∧,,?,R,?,,?,Q,命題邏輯的推理理論符號化下面命題，并推證之。設(shè)： P：廠方拒,習(xí)題23,前提：,(P,?,?,,Q),?,,?,( R,∧,S ),結(jié)論：,P,∧,,?,R,?,,?,Q,證明：,(1),,Q,P（,假設(shè)前提）,,(2),,(P,?,?,,Q),?,,?,( R,∧,S ),,,P,,(3),,?,( R,∧,S ),?,(P,?,?,,Q),,,T (2) I,18,,(4),(,R,∧,S),∨,,(,?,,P,∨,?,,Q),T (

12、3) E,11,,(5),,?,,Q,∨,(,?,,P,∨,(,R,∧,S) ),T (4) E,2,E,3,(6),,Q,?,(,?,,P,∨,R),∧,(,?,,P,∨,S),T (5) E,11,E,3,(7),(,?,,P,∨,R),∧,(,?,,P,∨,S),T (1)(6) I,8,(8),,?,,P,∨,R,T (7) I,1,,(9),,?,(,P,∧,?,R ),T (8) E,5,,,(10),,Q,?,?,(,P,∧,?,R ),CP (1) (9),(11),,P,∧,,?,R,?,,?,Q,,T (10) E,11,習(xí)題23前提： (P ? ? Q) ? ? ( R∧

13、S ),習(xí)題23,前提：,(P,?,?,,Q),?,,?,( R,∧,S ),結(jié)論：,P,∧,,?,R,?,,?,Q,證明：,(1),,P,∧,,?,R,P（,假設(shè)前提）,,(2),(,P,∧,?,R),∨,(,P,∧,?,S),T (1) I,3,,(3),,P,∧,(,?,R,∨,?,S ),T (2) E,4,,(4),,P,∧,?,(,,R,∧,,S ),T (3) E,5,,(5),,?,(,,R,∧,,S ),T (4) I,1,(6),,(P,?,?,,Q),?,,?,( R,∧,S ),,,P,,(7),,?,( R,∧,S ),?,(P,?,?,,Q),,,T (6) I,1

14、8,,(8),,P,?,?,,Q,,,T (5)(7) I,18,,(9),,P,T (4) I,1,,(10),,?,Q,T (8) (9) I,8,(11),,P,∧,,?,R,?,,?,Q,,CP (1) (10),習(xí)題23前提： (P ? ? Q) ? ? ( R∧S ),只要今天天氣不好，就一定有考生不能提前進入考場，當(dāng)且僅當(dāng)所有考生提前進入考場，考試才能準時進行。所以，如果考試準時進行，那么天氣就好。,命題邏輯的推理理論,只要今天天氣不好，就一定有考生不能提前進入考場，當(dāng)且僅當(dāng)所有,謂詞邏輯的推理理論,構(gòu)造證明下列各式,(,?,x,)P(x),?,(,?,x)Q(x),?,(,?,

15、x)(P(x),?,Q(x)),(,?,x) (P(x),?,Q(x)),,(,?,x) (R(x),?,?,Q(x)),?,(,?,x) (R(x),?,?,P(x)),,(,?,x)(P(x),?,Q(x)),?,(,?,x)P(x),?,(,?,x)Q(x),謂詞邏輯的推理理論構(gòu)造證明下列各式,習(xí)題20,證明：,(1),,(,?,x)P(x),?,(,?,x)Q(x),,P,,(2),,?,(,?,x)P(x),∨,(,?,x)Q(x),T (1) E,11,,,(3),,(,?,x),?,P(x),∨,(,?,x)Q(x),T (2) Q,,(4),,(,?,x)(,?,P(x),∨,

16、Q(x)),T (3) Q,,(5),,(,?,x)(P(x),?,Q(x)),,T (4) E,11,1),(,?,x,)P(x),?,(,?,x)Q(x),?,(,?,x)(P(x),?,Q(x)),習(xí)題20證明：(1) (?x)P(x) ? (?x)Q(x),習(xí)題20,證明：,(1),,?,(,?,x) (R(x),?,?,P(x)),,P(,附加前提),,(2),,?,(,?,x) (,?,R(x),∨,?,P(x)),T (1) E,11,,,(3),(,?,x) (R(x),∧,P(x)),T (2) Q E,1,E,5,,(4),,R(y),∧,P(y),EI (3),,(5),

17、,R(y),T (4) I,1,,,(6),,(,?,x) (R(x),?,?,Q(x)),,P,,(7),,R(y),?,?,,Q(y),UI (6),,(8),,?,,Q(y),T (5) (7) I,8,,,(9),,(,?,x) (P(x),?,Q(x)),,P,,(10),,P(y),?,Q(y),UI (9),,(11),,P(y),T (4) I,2,,,(12),,Q(y),T (10)(11) I,8,,,(13),,Q(y),∧,?,Q(y),,,T (8)(12),2) (,?,x) (P(x),?,Q(x)),,(,?,x) (R(x),?,?,Q(x)),?,(,?

18、,x) (R(x),?,?,P(x)),,習(xí)題20證明： (1) ? (?x) (R(x) ?? P(,習(xí)題20,證明：,(1),,(,?,x)P(x),,P(,附加前提),,(2),,P(y),,,UI (1),,(3),,(,?,x)(P(x),?,Q(x)),,,P,,(4),,P(y),?,Q(y),UI (3),,(5),,Q(y),T (2)(4) I,8,,(6),,(,?,x) Q(x),,UG (5),(,7),,(,?,x)P(x),?,(,?,x)Q(x),,,CP(1)(6),3) (,?,x)(P(x),?,Q(x)),?,(,?,x)P(x),?,(,?,x)Q(

19、x),習(xí)題20證明： (1) (?x)P(x) P(附加前提),謂詞邏輯,設(shè)論域元素為,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,，則,,；,,,。,,,謂詞邏輯設(shè)論域元素為a1，a2，a3，a4，則,前束范式,在下列公式中，對約束變元進行改名，對自由變元進行代入,(,?,x)(P(x),?,(Q(x),∨,R(x))),∧(,?,x)(R(x),?,(,?,y)S(x, y)),,(,?,x) (P(x),?,Q(x)),?,,(,?,x) (R(x),∧,S(x)),改名：把第一個約束變元,x,改為,u，,把第二個約束變元,x,改為,v,把第三個約束變元,y,改為,w,改名：把第一個

20、約束變元,x,改為,u，,把第二個約束變元,x,改為,v,(,?,u,)(P(,u,),?,(Q(,u,),∨,R(,u,))),∧(,?,v,)(R(,v,),?,(,?,w,)S(,v,,,w,)),(,?,u,) (P(,u,),?,Q(,u,)),?,,(,?,v,) (R(,v,),∧,S(,v,)),前束范式在下列公式中，對約束變元進行改名，對自由變元進行代入,前束范式,在下列公式中，對約束變元進行改名，對自由變元進行代入,(,?,x)P(x, y),∧(,?,x)(Q(x, z),?,(,?,z),(,?,x)R(x, y, z)),改名：把第一個約束變元,x,改為,u，,把第四

21、個約束變元,x,改為,v,改名：把第二個約束變元,x,改為,s，,把第三個約束變元,z,改為,t,(,?,u,)P(,u,, y),∧(,?,x)(Q(x, z),?,(,?,z),(,?,v,)R(,v,, y, z)),(,?,u,)P(,u,, y),∧(,?,s,)(Q(,s,, z),?,(,?,t,),(,?,v,)R(,v,, y,,t,)),代入：將第一個自由變元,y,代入,r，,將第二個自由變元,z,代入,w,(,?,u,)P(,u,,,r,),∧(,?,s,)(Q(,s,,,w,),?,(,?,t,),(,?,v,)R(,v,,,r,,,t,)),前束范式在下列公式中，對約

22、束變元進行改名，對自由變元進行代入,前束范式,在下列公式中，對約束變元進行改名，對自由變元進行代入,(,?,x)(P(x, y),?,(,?,z)Q(x, z)),∧ (,?,y)R(x, y),改名：把第一個約束變元,x,改為,u，,把第二個約束變元,z,改為,v,把第三個約束變元,y,改為,w,代入：將第一個自由變元,y,代入,s，,將第二個自由變元,x,代入,t,(,?,u,)(P(,u,, y),?,(,?,v,)Q(,u,,,v,)),∧ (,?,w,)R(x,,w,),(,?,u)(P(u,,s,),?,(,?,v)Q(u, v)),∧ (,?,w)R(,t,, w),前束范式在下

23、列公式中，對約束變元進行改名，對自由變元進行代入,等價式,量詞轄域的擴大與縮?。ㄐ〗Y(jié),）,(,?,x)(A (x),∧,B),?,(,?,x)A (x),∧,B,(,?,x)(A (x),∨,B),?,(,?,x)A (x),∨,B,(,?,x)(A (x),∧,B),?,(,?,x)A (x),∧,B,(,?,x)(A (x),∨,B),?,(,?,x)A (x),∨,B,(,?,x)(A (x),?,,B),?,(,?,x)A (x),?,,B,(,?,x)(A (x),?,,B),?,(,?,x)A (x),?,,B,(,?,x)(B,?,A (x)),?,B,?,(,?,x)A (x)

24、,(,?,x)(B,?,A (x)),?,B,?,(,?,x)A (x),,等價式量詞轄域的擴大與縮?。ㄐ〗Y(jié)） (?x)(A (x),前束范式,例2.11：將公式,((,?,x)P(x),,∨,(,?,y)Q(y)),?,(,?,x)R(x),化為前束范式,解： 公式,?,(,(,?,x)P(x),,∨,(,?,y)Q(y),),,?,(,?,z,)R(,z,),,?,(,?,x),,(,P(x),,∨,(,?,y)Q(y),),,?,(,?,z)R(z),,?,(,?,x),(,?,y),(,P(x),,∨,,Q(y),),,?,(,?,z)R(z),?,(,?,x),(,?,y),,

25、(,(P(x),∨,Q(y)),?,,(,?,z)R(z),),,?,(,?,x),(,?,y),(,?,z),(,(,P(x),,∨,,Q(y),),,?,R(z),),解：,（公式,?,(,?,x),(,?,y),(,?,z),(,(,P(x),,∨,,Q(y),),,?,R(z),),）,公式,?,(,(,?,x)P(x),∨ (,?,y)Q(y),),,?,(,?,z,)R(,z,),,?,(,?,y),,(,(,?,x)P(x),,∨,,Q(y),),,?,(,?,z)R (z),,?,(,?,y),(,?,x),(,,P(x),,∨,,Q(y),),,?,(,?,z)R (z),,

26、?,(,?,y),(,?,x),(,?,z),(,(,P(x),,∨,,Q(y),),,?,R (z),),若公式中有約束變元重復(fù)出現(xiàn)，或者與公式中的自由變元重名，則將公式中的約束變元改名,前束范式不是唯一的,前束范式例2.11：將公式((?x)P(x) ∨ (?y),求下列公式的前束范式,?,,(,?,x),(,(?y)A(x,y) →(?x)(,?,y),(,B(x,y) ∧(,?,y),(,A(y,x) →B(x,y),),),),,,,,(?x)((?y)A(x,y),∧,(,?,u)(?v)(,?,,B(u,v),∨,(?w),?,(A(w,u)→B(u,w)))),(?x)(?y

27、)(,?,u)(?v)(?w)(A(x,y),∧,(,?,,B(u,v),∨,?,(A(w,u)→B(u,w)))),前束范式,求下列公式的前束范式(?x)((?y)A(x,y)∧(?u),(,?,x)(P(x)→((?y)Q(y)→(?y)R(x,y))),,,,前束范式,(? x)(P(x)→((?y)Q(y)→(?y)R(x,y,謂詞邏輯的推理理論,符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。,每一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù),自然數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除,并不是所有自然數(shù)都能被2整除,所以：有的自然數(shù)是奇數(shù),設(shè)：,N(x)：x,是自然數(shù)，,O(x)：x,是奇數(shù)，,E(x)：x,是偶數(shù)，,T(

28、x)：x,能被2整除,(,?,x)(N(x),?,O(x),?,E(x) ),(,?,x)(N(x),?,(E(x),?,,T(x))),?,(,?,x)(N(x),?,T(x) ),(,?,x)(N(x),∧,O(x)),謂詞邏輯的推理理論符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。設(shè)：,謂詞邏輯的推理理論,前提：,(,?,x)(N(x),?,O(x),?,E(x)),,,(,?,x)(N(x),?,(E(x),?,,T(x))),,,?,(,?,x)(N(x),?,T(x)),結(jié)論：,(,?,x)(N(x),∧,O(x)),證明：,(1),,?,(,?,x)(N(x),?,T(x) ),,P,,

29、(2),,?,(,?,x)(,?,N(x),∨,T(x)),T (1) E,11,,,(3),(,?,x)(N(x),∧,?,T(x)),T (2) Q, E,1,, E,5,,(4),,N(y),∧,?,T(y),EI (3),,(5),,N(y),T (4) I,1,(6),,(,?,x)(N(x),?,(E(x),?,,T(x))),,P,(7),,N(y),?,(E(y),?,,T(y)),UI (6),(8),,E(y),?,,T(y),T (5)(7) I,8,(9),,E(y),?,,T(y),T (8) I,18,謂詞邏輯的推理理論前提： (?x)(N(x) ?O(x)?E,習(xí)

30、題22(1),,(10),,?,T(y),T (4) I,1,,(11),,?,E(y),T (9)(10) I,9,,,(12),,(,?,x)(N(x),?,O(x),?,E(x)),,P,,(13),,N(y),?,O(y),?,E(y),UI (12),,(14),,O(y),?,E(y),T (5)(13) I,8,(15),,?,( O(y),?,,E(y) ),T (14),(16),,O(y),?,?,E(y),T (15) E,12,(17),,O(y),T (11)(16) I,8,(18),,N(y),∧,,O(y),T (5)(17),,(19),,(,?,x)(N(x

31、),∧,O(x)),,EG (18),(4),,N(y),∧,?,T(y),EI (3),(5),,N(y),T (4) E,1,(9),,E(y),?,,T(y),T (8) E,18,習(xí)題22(1) (10) ? T(y) T (4),謂詞邏輯的推理理論,符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。,如果一個人怕困難，那么他就不會獲得成功,每個人或者獲得成功，或者失敗過,有些人未曾失敗過,所以：有些人不怕困難,設(shè)：,P(x)：x,是人，,D(x)：x,怕困難，,S(x)：x,成功，,F(x)：x,失敗,(,?,x)(P(x),∧,,D(x),?,?,,S(x)),(,?,x)(P(x)

32、,?,(S(x),∨,,F(x))),(,?,x)(P(x),∧,?,,F(x),),(,?,x)(P(x),∧,?,D(x)),謂詞邏輯的推理理論符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。設(shè)：,謂詞邏輯的推理理論,前提：,(,?,x)(P(x),∧,D(x),?,?,,S(x)),,,(,?,x)(P(x),?,(S(x),∨,F(x))),,,(,?,x)(P(x),∧,?,,F(x),),結(jié)論：,(,?,x)(P(x),∧,?,D(x)),證明：,(1),,(,?,x)(P(x),∧,?,,F(x)),,P,,(2),,P(y),∧,?,,F(y),EI (1),,(3),,P(y),T (

33、2) I,1,,(4),,?,,F(y),T (2) I,1,,(5),,(,?,x)(P(x),?,(S(x),∨,F(x))),,P,(6),,P(y),?,(S(y),∨,F(y)),UI (5),(7),,S(y),∨,F(y),T (3)(6) I,8,(8),,S(y),T (4)(7) I,10,謂詞邏輯的推理理論前提： (?x)(P(x)∧D(x)??,習(xí)題22(2),,(9),,(,?,x)(P(x),∧,D(x),?,?,,S(x)),,P,,(10),,P(y),∧,D(y),?,?,,S(y),UI (1),,(11),,?,(P(y),∧,D(y)),T (8)(10

34、) I,9,,(12),,?,,P(y),∨,?,,D(y),T (11) E,5,,(13),,?,,D(y),T (3) (12) I,10,(14),,P(y),∧,?,,D(y),T (3) (13),(15),,(,?,x)(P(x),∧,?,D(x)),,EG (14),(3),,P(y),T (2) I,1,(8),,S(y),T (4)(7) I,10,習(xí)題22(2) (9) (?x)(P(x)∧D(x)??,謂詞邏輯的推理理論,符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。,每個科學(xué)工作者都是刻苦鉆研的,每個刻苦鉆研而又聰明的科學(xué)工作者都將獲得事業(yè)的成功,,華有為是一名科學(xué)工作者，

35、并且他是聰明的,所以：華有為將獲得事業(yè)上的成功,S(x)：x,是科學(xué)工作者，,H(x)：x,刻苦鉆研，,C(x)：x,是聰明的,P(x)：x,在獲得事業(yè)上的成功，,a：,華有為,(,?,x)(S(x),?,H(x)),(,?,x)(S(x),∧,H(x),∧,C(x),?,P(x)),S(a),∧,C(a),P(a),謂詞邏輯的推理理論符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。S(,謂詞邏輯的推理理論,前提：,(,?,x)(S(x),?,H(x)),,,(,?,x)(S(x),∧,H(x),∧,C(x),?,P(x)),,,S(a),∧,C(a),,結(jié)論：,P(a),證明：,(1),,(,?,x)

36、(S(x),?,H(x)),,P,,(2),,S(a),?,H(a),UI (1),,(3),,S(a),∧,C(a),,P,,(4),,S(a),T (3) I,1,,(5),,H(a),T (2)(4) I,8,(6),,(,?,x)(S(x),∧,H(x),∧,C(x),?,P(x)),,P,(7),,S(a),∧,H(a),∧,C(a),?,P(a),UI (6),(8),,P(a),,T (3)(5)(7) I,8,謂詞邏輯的推理理論前提： (?x)(S(x) ? H(x)),謂詞邏輯的推理理論,符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。,每個資深名士，或是政協(xié)委員，或是國務(wù)院參事,資深

37、名士,張大為不是政協(xié)委員，但他是中科院院士,所以：有的中科院院士是國務(wù)院參事,K(x)：x,是資深名士，,Z(x)：x,是政協(xié)委員，,G(x)：x,是國務(wù)院參事，,S(x)：x,是中科院院士，,a：,張大為,(,?,x)(K(x),?,(Z(x),∨,,G(x)),),K(a),∧,?,,Z(a),∧,S(a),(,?,x)(S(x),∧,G(x)),謂詞邏輯的推理理論符號化下列各命題，并給出構(gòu)造推理證明。K(,習(xí)題22(4),證明：,(1),,(,?,x)(K(x),?,(Z(x),∨,,G(x))),,P,,(2),,K(a),?,(Z(a),∨,,G(a)),UI (1),,(3),,K

38、(a),∧,?,,Z(a),∧,S(a),,,P,,(4),,K(a),T (3) I,1,,(5),,Z(a),∨,,G(a),T (2)(4) I,8,(6),,?,,Z(a),,T (3) I,1,,(7),,G(a),T (5)(6) I,10,(8),,S(a),T (3) I,1,(9),,G(a),∧,,S(a),T (7) (8),,(10),,(,?,x)(S(x),∧,G(x)),,EG (9),前提：,(,?,x)(K(x),?,(Z(x),∨,,G(x)),),,,K(a),∧,?,,Z(a),∧,S(a),,結(jié)論：,(,?,x)(S(x),∧,G(x)),習(xí)題22(4

39、)證明： (1) (?x)(K(x) ? (Z(,每個大學(xué)生不是文科學(xué)生就是理工科學(xué)生，有的大學(xué)生是優(yōu)等生，小張不是理工科學(xué)生，但他是優(yōu)等生，因而如果小張是大學(xué)生，他就是文科學(xué)生。,謂詞邏輯的推理理論,每個大學(xué)生不是文科學(xué)生就是理工科學(xué)生，有的大學(xué)生是優(yōu)等生，小,集合,設(shè),A、B、C、D,是集合，求證：,(,A,?,B)×,(,C,?,D),?,(,A,×,C),?,,(,B,×,D),,證明：對于 (,A,?,B) ×,(,C,?,D),中的任意元素<,x, y>,，有：,<,x, y>,?,(,A,?,B)×,(,C,?,D),,?,x,?,(,A,?,B),∧,,y,?,(,C,?,D)

40、,? (,x,?,A,∧,x,?,B),∧,(,y,?,C,∧,y,?,D),? (,x,?,A,∧,y,?,C),∧,(,x,?,B,∧,y,?,D),?,<,x, y>,?,(,A,×,C,),∧,,<,x, y>,?,(,B,×,D,),,?,<,x, y>,?,(,A,×,C),?,,(,B,×,D),,集合設(shè)A、B、C、D是集合，求證：  (A ? B)×(C,集合,20. 4) (A,-,B)×C =,(,A,×,C),-,,(,B,×,C),證明：,對于,(,A,-,B)×C,中的任意元素<,x, y>,，有,<,x, y>,?,(,A,-,B)×C,,?,x,?,(,A,-

41、,B),∧,y,?,C,? (,x,?,A,∧,x,?,,B),∧,y,?,C,? (,x,?,A,∧,y,?,C,∧,x,?,,B ),∨,(,x,?,A,∧,y,?,C,∧,y,?,C,),? (,x,?,A,∧,y,?,C),∧,(,x,?,,B,∨,y,?,,C,),? (,x,?,A,∧,y,?,C),∧,,?,(,x,?,B,∧,y,?,C,),?,<,x, y>,?,(,A,×,C),,∧,,<,x, y>,?,,(,B,×,C),,?,<,x, y>,?,(,A,×,C),-,,(,B,×,C),集合20. 4) (A - B)×C = (A×C) -,集合,求證：若,A×A

42、 = B×B，,則：,A=B,證明：,假設(shè),A,≠,B，,則必,存在,x，,有,x,?,A,∧,x,?,B,，或存在,y，,有,y,?,A,∧,y,?,B,若存在,x，,有,x,?,A,∧,x,?,B,，,則<,x,x>,?,A×A，,且,<,x,x>,?,B×B ，,則,A×A,≠,B×B,若存在,y， y,?,A,∧,y,?,B,，,則<,y,y>,?,B×B，,且,<,y,y>,?,A×A ，,則,A×A,≠,B×B,綜上所述，可知：若,A×A = B×B，,則必有,A=B,集合求證：若A×A = B×B，則：A=B證明：假設(shè) A ≠,集合,求證：若,A×B = A×C，,且,A,≠ ?

43、，,則：,B=C,證明：,假設(shè),B,≠,C，,則必,存在,y，,有,y,?,B,∧,y,?,C,，或存在,z，,有,z,?,B,∧,z,?,C，,又因為,A,≠ ?，則必存在,x,?,A,。,若存在,y，,有,y,?,B,∧,y,?,C,，,有,,,?,A×B，,且,<,x,y>,?,A×C ，,則,A×B,≠,A×C,若存在,z，,有,z,?,B,∧,z,?,C,，,有,則<,x,z>,?,A×B，,且,<,x,z>,?,A×C ，,則,A×B,≠,A×C,綜上所述，可知：若,A×B = A×C，,且,A,≠ ?，,則必有,B=C,集合求證：若A×B = A×C，且A ≠ ?，則：B=C證明

44、,設(shè),A,、,B,、,C,、,D,為四個非空集合，則,A×B,?,C×D,的充要條件是,A,?,C,，,B,?,D,,已知,A,、,B,、,C,是三個集合，證明,(,A,∪,B,),－,C,＝,(,A,－,C,)∪(,B,－,C,),集合,設(shè)A、B、C、D為四個非空集合，則A×B ? C×D的充要條,閉包運算,構(gòu)造,r(R),、,s(R),、,t(R),的方法就是給,R,補充必要的有序?qū)?。,設(shè),G,是集合,A,上二元關(guān)系,R,的關(guān)系圖，給,G,中所有結(jié)點都補充上有向環(huán)，就得到了,R,的自反閉包,r(R),的關(guān)系圖。,定理：,若,R,?,A×A，,則,r(R),=,R,?,I,A,證明： 因為

45、是,I,A,自反的，因此,R,?,I,A,是自反的,且,R,?,R,?,I,A,設(shè),R,1,是,A,上任意的自反關(guān)系，且,R,?,R,1,，,由于,R,1,是自反的，因此,I,A,,?,R,1,，,又因為,R,?,R,1,，因此,R,?,I,A,?,R,1,，,故,r(R),=,R,?,I,A,參照定義,閉包運算構(gòu)造r(R)、s(R)、t(R)的方法就是給R補充必,閉包運算,設(shè),G,是集合,A,上二元關(guān)系,R,的關(guān)系圖，將,G,中所有的弧都畫成“有來有往”（即如果有從,a,到,b,的弧，就有從,b,到,a,的?。┚偷玫搅?R,的對稱閉包,s(R),的關(guān)系圖。,定理：,若,R,?,A×A，,則,

46、s(R),=,R,?,R,-1,證明：,1)設(shè),R,1,=R,?,R,-1,，,顯然,R,?,R,1,,。,2)因為,R,1,-1,= (,R,?,R,-1,),-1,=,R,-1,,?,(R,-1,),-1,=,R,-1,,?,R = R,1,,所以,R,1,是對稱的,。,定理：,若,R,?,A×A，,則,R,是對稱的,?,,R=R,-1,閉包運算設(shè)G是集合A上二元關(guān)系R的關(guān)系圖，將G中所有的弧都畫,閉包運算,3) 設(shè),R,2,是,A,上任意的對稱關(guān)系，且,R,?,R,2,。,對于任意<,x,y>,?,R,1,，,或者<,x,y>,?,R，,或者<,x,y>,?,R,-1,,若<,x,y>,

47、?,R，,則<,x,y>,?,R,2,；,若<,x,y>,?,R,-1,，,則<,y,x>,?,R，,則<,y,x>,?,R,2,，,又因為,R,2,是對稱的，所以<,x,y>,?,R,2,；,所以,R,1,,?,R,2,,綜上所述，證得,s(R),=,R,?,R,-1,閉包運算3) 設(shè)R2是A上任意的對稱關(guān)系，且R ? R2。,閉包運算,設(shè),G,是集合,A,上二元關(guān)系,R,的關(guān)系圖，如果有從,a,到,b,的弧，并且有從,b,到,c,的弧，就補充上從,a,到,c,的弧，就得到了,R,的傳遞閉包,t(R),的關(guān)系圖。,定理：若,R,?,A×A，,則,t(R),=,?,R,i,=R,?,R,2,,

48、?,R,3,,?,……,證明略（教材,P73）,定理：若,R,?,A×A，|A|= n,則,t(R),=,?,R,i,=R,?,R,2,,?,R,3,,?,……,?,R,n,,i=1,n,證明略（教材,P74）,i=1,?,閉包運算設(shè)G是集合A上二元關(guān)系R的關(guān)系圖，如果有從a到b的弧,閉包運算,定理：,若,R,是,A,上的二元關(guān)系，則：,rs(R),=,sr(R),證明：,sr(R),,=,s(R,?,I,A,),,=,(R,?,I,A,),?,(R,?,I,A,),-1,= (R,?,I,A,),? (,R,-1,,?,I,A,-1,),,= (,R,?,R,-1,),?,I,A,,=,r,

49、,(,R,?,R,-1,),,= rs (R),定理：,若,R,?,A×A，,則,r(R),=,R,?,I,A,定理：,若,R,?,A×A，,則,s(R),=,R,?,R,-1,閉包運算定理：若R是A上的二元關(guān)系，則：rs(R) = sr,閉包運算,定理：,若,R,是,A,上的二元關(guān)系，則：,rt(R),=,tr(R),證明： 由于,R°I,A,= I,A,°R=R，,且,I,A,° I,A,= I,A,,；,,(R,?,I,A,),2,= (,,R,?,I,A,),,° (,,R,?,I,A,),,=,,R° (R,?,I,A,),?,I,A,° (R,?,I,A,) = I,A,,?,R,

50、?,R,2,,因此，,tr(R) = t (,R,?,I,A,) =,?,,(,R,?,I,A,),i,,i=1,?,,i=1,n,用歸納法可證：,(,R,?,I,A,),n,= I,A,?,(,?,R,i,),i=1,?,=,?,(,I,A,?,(,?,R,j,) ),=,I,A,?,(,?,R,j,) = I,A,?,t(R),= rt(R),j=1,i,,j=1,?,R ° (S,?,T),=,R ° S,?,R ° T,R,2,R,p73,閉包運算定理：若R是A上的二元關(guān)系，則：rt(R) = tr,關(guān)系的閉包運算,設(shè)集合,A={a,b,c,d},上的關(guān)系,R={,,,},，用矩陣運

51、算求出,R,的傳遞閉包,關(guān)系矩陣：,關(guān)系的閉包運算設(shè)集合A={a,b,c,d}上的關(guān)系R={

52、3},{4,5}}的等價關(guān)系，并畫出關(guān)系圖：,解：,R =,({1,2},×,{1,2}),?,({3},×,{3}),?,({4,5},×,{4,5}),= {, , , , <3,3,>,,, ,,,},,,,1,2,,,3,,,4,5,,等價關(guān)系與劃分設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，求A上的一個,等價關(guān)系與劃分的對應(yīng)關(guān)系,已知,Π={{a}{b,c}},是,A={a,b,c},的一個劃分，由,Π,決定的,A,上的一個等價關(guān)系是,,。,等價關(guān)系與劃分的對應(yīng)關(guān)系已知Π={{a}{b,c}}是A={,等價關(guān)系的證明,設(shè),R,和,S,是非空集合,A,上的等價關(guān)系，試確定下面各式是否為等價關(guān)系。

53、若是則證明之，若不是則舉例說明：,R,2,證明：1) 對于,?,,x,?,A，,有,xRx。,因此有,xR,2,x，,故,R,2,是自反的,2),對于,?,,x, y,?,A，,若有,xR,2,y，,則必存在,z,?,A，,有,xRz, zRy，,因為,R,是對稱的，所以必定有：,yRz, zRx，,即有,yR,2,x,。,也就是說：若有,xR,2,y，,則必有,yR,2,x，,故,R,2,是對稱的,3),對于,?,x,y,z,?,A，,若有,xR,2,y, yR,2,z，,則,?,,a,b,?,A，,有：,xRa,和,aRy,以及,yRb,和,bRz，,因為,R,是傳遞的，所以必定有：,xR

54、y, yRz。,,則若有,xR,2,y, yR,2,z，,必有,xR,2,z，,故,R,2,是傳遞的,。,∴,R,2,是等價關(guān)系,是,。,等價關(guān)系的證明設(shè)R和S是非空集合A上的等價關(guān)系，試確定下面各,等價關(guān)系的證明,設(shè),R,是,A,上的二元關(guān)系，對于,?,a, b, c,?,A，,若,aRb, bRc，,則,cRa，,稱,R,是,循環(huán)的,。求證：,R,是自反的和循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng),R,是等價關(guān)系,證明：1),若,R,是等價關(guān)系,，則,R,是自反的,、對稱的和傳遞的。,對于,?,a, b, c,?,A，,若,aRb, bRc，,因為,R,是傳遞的，所以有,aRc,又因為,R,是對稱的，所以有,c

55、Ra。,所以,R,是循環(huán)的,2),若,R,是,自反的,和循環(huán)的,，,則對于,?,a, b, c,?,A，,若,aRb, bRc，,則,cRa,因為,R,是自反的，所以有,aRa，,所以有,aRc，,所以,R,是傳遞的,若有,aRb，,因為有,bRb，,則有,bRa，,所以,R,是對稱的,，故,R,是等價關(guān)系,cRa,aRa,則,aRc,等價關(guān)系的證明設(shè)R是A上的二元關(guān)系，對于?a, b, c ?,偏序關(guān)系的證明,設(shè),R,是集合,A,上的偏序關(guān)系，且,B,?,A，,求證：,R,?,(B×B),是,B,上的偏序關(guān)系,證明：1),對于,?,x,?,B,，,一定有：<,x,x>,?,B×B,因為,B,

56、?,A，,所以,x,?,A，,所以一定有：<,x,x>,?,R,,所以，,一定有<,x,x>,?,R,?,(B×B),，,所以：,R,?,(B×B),是,自反的,偏序關(guān)系的證明設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，且B ? A，求證,偏序關(guān)系的證明,設(shè),R,是集合,A,上的偏序關(guān)系，且,B,?,A，,求證：,R,?,(B×B),是,B,上的偏序關(guān)系,2) 對于,?,x, y,?,B，,一定有<,x,y>,?,B×B,且<,y,x>,?,B×B,因為,R,是反對稱的，所以若有<,x,y>,?,R,且<,y,x>,?,R，,則有,x=y,所以：,若有<,x,y>,?,R,?,(B×B),且<,y,x>,?,

57、R,?,(B×B),，,則有： <,x,y>,?,R,且<,y,x>,?,R，,則有：,x=y,所以：,R,?,(B×B),是,反對稱的,偏序關(guān)系的證明設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，且B ? A，求證,偏序關(guān)系的證明,設(shè),R,是集合,A,上的偏序關(guān)系，且,B,?,A，,求證：,R,?,(B×B),是,B,上的偏序關(guān)系,3) 對于,?,x, y, z,?,B，,一定有<,x,y>,,<,y,z>, ,?,B×B,因為,R,是傳遞的, 所以若有<,x,y>,?,R,且<,y,z>,?,R,,則有<,x,z>,?,R,所以：,若有<,x,y>,?,R,?,(B×B),且<,y,z>,?,R,?,(B×

58、B),，,則有：,<,x,z>,?,R,?,(B×B),,所以：,R,?,(B×B),是,傳遞的,。故,R,?,(B×B),是,B,上偏序關(guān)系,偏序關(guān)系的證明設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，且B ? A，求證,,設(shè),R,1,是,A,上的等價關(guān)系，,R,2,是,B,上的等價關(guān)系，,A,≠,?,且,B,≠,?,。,關(guān)系,R,滿足,<<,x,1,,,y,1,>,<,x,2,,,y,2,>>∈,R,?,<,x,1,,,x,2,>∈,R,1,且,<,y,1,,,y,2,>∈,R,2,，證明,R,是,A,×,B,上的等價關(guān)系,設(shè)R1是A上的等價關(guān)系，R2是B上的等價關(guān)系，A≠?且B≠?,哈斯圖與偏序集中特殊位

59、置的元素,圖中給出了偏序集<,A,,≤,>,的哈斯圖，其中,A=,,{a,b,c,d,e},,判斷下面各式的真假,a,≤,b,d,≤,a,c,≤,e,b,≤,e,F,a,≤,a,b,≤,c,d,≤,e,T,F,F,T,F,F,,,,,c,b,a,d,,e,哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素圖中給出了偏序集的,哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素,圖中給出了偏序集<,A,,≤,>,的哈斯圖，其中,A=,,{a,b,c,d,e},,求,A,中最大元和最小元求,A,中的極大元和極小元,最大元：,a,,,,,c,b,a,d,,e,最小元：無,極大元：,a,極小元：,d,和,e,哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素

60、圖中給出了偏序集的,圖中給出了偏序集<,A,,≤,>,的哈斯圖，其中,A=,,{a,b,c,d,e},,求下面各子集的上界和下界并指出它們的上確界和下確界,{a, b, c},{b, c, d},{c, d, e},上界： 下界： 上確界： 下確界：,哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素,a,,,,,c,b,a,d,,e,d,a,d,上界： 下界： 上確界： 下確界：,a,d,a,d,上界： 下界： 上確界： 下確界：,a,c,無,c,無,圖中給出了偏序集的哈斯圖，其中A= {a,b,c,哈斯圖,設(shè),A={2,5,6,10,15,30},，,R,是,A,上的整除關(guān)系，,B=

61、{2,5,6,10},，則,B,的極小元是,,，極大元是,,，最小元是,,，最大元是,,，上界是,,，下界是,,，上確界是,,，下確界是,,。,哈斯圖設(shè)A={2,5,6,10,15,30}，R是A上的整除,函數(shù),求證：從,N×N,到,N,的函數(shù),f(x, y)=x+y，,和,g(x, y)=x·y,是滿射函數(shù)，但不是單射函數(shù),證明：,1),對于,?,x,?,N,，f(x,0)=x+0=x，,g(x, 1)=x·1=x,因此，總存在<,x,0>,?,N×N,，,使得,f(x, 0) = x，,所以,f,是滿射的,且總存在<,x,1>,?,N，,使得,g(x, 1) = x，,所以,g,是滿射的,

62、2),因為有：,<,1,3>,,,<,1,4>,?,N×N,，,且,f(1, 3) = f(2, 2) = 4，,且,g(1, 4) = f(2, 2) = 4,,所以,f,和,g,都不是單射的,函數(shù)求證：從N×N到N的函數(shù)f(x, y)=x+y，和g(x,函數(shù),設(shè),f: A,?,B,是滿射函數(shù)，且函數(shù),g: B,?,P(A)，,定義為：,g(b) = {x|x,?,A,∧,f(x)=b},求證：,g,是單射的。其逆是否成立？,證明： 對于,?,b,1,, b,2,,?,B，,且,b,1,≠,b,2,由于,f,是滿射的，則必存在,a,1,,a,2,?,A，,使得,f(,a,1,)=b,1,，

63、f(,a,2,)=b,2,g(b,1,)={x|x,?,A,∧,f(x)=b,1,}, g(b,2,)={x|x,?,A,∧,f(x)=b,2,},則,對于,?,x,?,g(b,1,),，,有,f(x)=b,1,，,且有,f(x),≠,b,2,，,即,x,?,g(b,2,),即,對于,?,b,1,, b,2,,?,B，,且,b,1,≠,b,2,，,都有,g(b,1,),,≠,g(b,2,),所以，,g,是單射的,函數(shù)設(shè) f: A ? B 是滿射函數(shù)，且函數(shù) g: B ?,函數(shù),設(shè),f: A,?,B,是滿射函數(shù)，且函數(shù),g: B,?,P(A),，定義為：,g(b) = {x|x,?,A ∧ f(x)=b},求證：,g,是單射的。,設(shè),g,?,f,是復(fù)合函數(shù)，如果,g,?,f,是雙射，那么,f,是入射而,g,是滿,射,函數(shù)設(shè) f: A ? B 是滿射函數(shù)，且函數(shù) g: B ?,此課件下載可自行編輯修改，此課件供參考！,部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請與我聯(lián)系刪除！感謝你的觀看！,此課件下載可自行編輯修改，此課件供參考！,此課件下載可自行編輯修改，此課件供參考！,部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請與我聯(lián)系刪除！感謝你的觀看！,此課件下載可自行編輯修改，此課件供參考！,