《2020-2021學年高三數(shù)學一輪復習知識點專題6-3 等比數(shù)列及其前n項和》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020-2021學年高三數(shù)學一輪復習知識點專題6-3 等比數(shù)列及其前n項和(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題6.3 等比數(shù)列及其前n項和
【考情分析】
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系,并能用有關知識解決相應的問題.
4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.
【重點知識梳理】
知識點一 等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
數(shù)學語言表達式:=q(n≥2,q為非零常數(shù)),或=q(n∈N*,q為非零常數(shù)).
知識點二 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若
2、等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn-1;
通項公式的推廣:an=amqn-m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式:當q=1時,Sn=na1;當q≠1時,Sn==.
知識點三 等比數(shù)列及前n項和的性質(zhì)
(1)如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab.
(2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則akal=aman.
(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm.
(4)當q≠-1,或q=-1且n
3、為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.
【必會結論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則aman=apaq=a.
(3)若數(shù)列{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan},,{a},{anbn},(λ≠0)仍然是等比數(shù)列.
(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.
(5)公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n
4、-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.
(6)等比數(shù)列{an}滿足或時,{an}是遞增數(shù)列;滿足或時,{an}是遞減數(shù)列.
【典型題分析】
高頻考點一 等比數(shù)列基本量的運算
【例1】(2020新課標Ⅱ)數(shù)列中,,,若,則( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】在等式中,令,可得,,
所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,則,
,
,則,解得.
【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,S3=,則S4= .
【解析】 (1)通解:設等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1=1及S3
5、=,易知q≠1.把a1=1代入S3==,得1+q+q2=,解得q=-,所以S4===.
優(yōu)解一:設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=,a1=1,所以1+q+q2=,解得q=-,所以a4=a1q3==-,所以S4=S3+a4=+=.
優(yōu)解二:設等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意易知q≠1.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=A(1-qn)(其中A為常數(shù)),則a1=S1=A(1-q)=1?、?,S3=A(1-q3)=?、冢散佗诳傻肁=,q=-.所以S4==.
【答案】
【方法技巧】
(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五
6、個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解;
(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn==。
【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( )
A.16 B.8
C.4 D.2
【答案】C
【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a5=3a3+4a1,得a1q4=3a1q2+4a1,得q4-3q2-4=0,令q2=t,則t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍
7、去),所以q2=4,即q=2或q=-2(舍去).又S4==15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4.故選C.
高頻考點二 等比數(shù)列的判定與證明
【例2】(2020北京卷)已知是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì):
①對于中任意兩項,在中都存在一項,使;
②對于中任意項,在中都存在兩項.使得.
(Ⅰ)若,判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①,說明理由;
(Ⅱ)若,判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列,且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:為等比數(shù)列.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳解解析;(Ⅲ)證明詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)不具有性質(zhì)①;
(Ⅱ)具有性質(zhì)①;
具有
8、性質(zhì)②;
(Ⅲ)假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù):
首先利用性質(zhì)②:取,此時,
由數(shù)列的單調(diào)性可知,
而,故,
此時必有,即,
即成等比數(shù)列,不妨設,
然后利用性質(zhì)①:取,則,
即數(shù)列中必然存在一項的值為,下面我們來證明,
否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,
在性質(zhì)②中,取,則,從而,
與前面類似的可知則存在,滿足,
若,則:,與假設矛盾;
若,則:,與假設矛盾;
若,則:,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾;
即不存在滿足題意的正整數(shù),可見不成立,從而,
同理可得:,從而數(shù)列為等比數(shù)列,
同理,當數(shù)列中的項數(shù)均為負數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負,不
9、會同時出現(xiàn)正數(shù)和負數(shù).
從而題中的結論得證,數(shù)列為等比數(shù)列.
【變式探究】(2019全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}和{bn}的通項公式.
【解析】(1)證明:由題設得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).
又因為a1+b1=1,所以{an+bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
由題設得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+
10、2.
又因為a1-b1=1,所以{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.
【方法技巧】等比數(shù)列的判定方法
定義法
若=q(q為非零常數(shù),n∈N*)或=q(q為非零常數(shù)且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數(shù)列
中項公式法
若數(shù)列{an}中,an≠0且a=anan+2(n∈N*),則{an}是等比數(shù)列
通項公式法
若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均為非零常數(shù),n∈N*),則{an}是等
11、比數(shù)列
前n項和公式法
若數(shù)列{an}的前n項和Sn=kqn-k(k為非零常數(shù),q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列
【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明;后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定;
(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。
【舉一反三】(2018全國卷)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2n+1an,設bn=ann.
(1)求b1?,??b2?,??b3;
(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由;
(3)求an的通項公式.
【答案】(1) b1=1,b2=2,b3=4.
(2) {bn}
12、是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由見解析.
(3) an=n2n-1.
【解析】
(1)由條件可得an+1=2(n+1)nan.
將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.
將n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.
從而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
由條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.
高頻考點三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應用
【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比
13、數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的兩根,則的值為( )
A.- B.-
C. D.-或
【答案】B
【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a3,a15是方程x2+6x+2=0的兩根,所以a3a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,則a9=-,所以==a9=-.
【方法技巧】
(1)在解決等比數(shù)列的有關問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=apaq”,可以減少運算量,提高解題速度.
(2)在應用相應性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進行適當變形.此外,
14、解題時注意設而不求思想的運用.
【變式探究】(2020河北承德模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
【答案】5
【解析】由題意知a1a5=a=4,因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以a3=2.所以a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=(a)2a3=a=25.所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.
高頻考點四 等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)的應用
【例4】(2020江蘇卷)設{a
15、n}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和,則d+q的值是_______.
【答案】4
【解析】設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項和公式為,
等比數(shù)列的前項和公式為,
依題意,即,
通過對比系數(shù)可知,故.
【舉一反三】 (2018全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m.
【解析】(1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,
解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.
由Sm=63,得(-2)m=-188,
此方程沒有正整數(shù)解.
若an=2n-1,則Sn==2n-1.
由Sm=63,得2m=64,解得m=6.
綜上,m=6.
【變式探究】(2020江蘇南京模擬)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=,則= .
【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為=,所以{an}的公比q≠1.由=,得q3=-,所以==.
【答案】