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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第一節(jié) 微分中值定理,一、羅爾定理,,二、拉格朗日中值定理,,,定理1,設函數(shù),f,(,x,)滿足,(1) 在閉區(qū)間[,a,b,]上連續(xù),,(2) 在開區(qū)間(,a,b,)內(nèi)可導,,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),,注意,：羅爾,中值,定理的條件有三個，如果缺少其中任何一個條件，定理將不成立.,一、,羅爾中值定理,,羅爾中值定理幾何意義：,若曲線弧在[,a,,,b,]上為連續(xù)弧段，在(,a,,,b,)內(nèi)曲線弧上每點都有不平行于,y,軸的切線，且曲線弧段在兩個端點處的縱坐標相同

2、，那么曲線弧段上至少有一點，過該點的切線必定平行于,x,軸.,,定理2,設函數(shù),f,(,x,)滿足,(1) 在閉區(qū)間[,a,b,]上連續(xù)；,(2) 在開區(qū)間(,a,b,)內(nèi)可導；,則至少存在一點,分析,與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是,f,(,a,)=,f,(,b,).如果能由,f,(,x,)構(gòu)造一個新函數(shù) 使 在[,a,b,]上滿足羅爾定理條件，且由 能導出 則問題可解決.,二、,拉格朗日中值定理,,拉格朗日中值定理的幾何意義：,如果在[,a,,,

3、b,]上的連續(xù)曲線，除端點外處處有不垂直于,x,軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點 使曲線在該點處的切線平行于過曲線弧兩端點的弦線.,弦線的方程為,作輔助函數(shù),即可. 的幾何意義為：曲線的縱坐標與曲線弧兩端點連線對應的縱坐標之差.,,推論1,若 在(,a,b,)內(nèi)恒等于零，則,f,(,x,)在(,a,b,)內(nèi)必為某常數(shù).,事實上，對于(,a,b,)內(nèi)的任意兩點 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出積分學中有用的推論：,位于,x,1，,x,2,之間，故有,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,).由,x

4、,1，,x,2,的任意性可知,f,(,x,)在(,a,b,)內(nèi)恒為某常數(shù).,,推論2,若在(,a,b,)內(nèi)恒有　 　，則有,其中,C,為某常數(shù).,由推論1可知,f,(,x,)－,g,(,x,)=,C,，即,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,.,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,,,事實上，由已知條件及導數(shù)運算性質(zhì)可得,,例１,試證,對于所給不等式，可以認定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)系.因此可以設,f,(,x,)=arctan,x,.,證,設,f,(,x,)=arctan,x,,不妨設,a

5、a,b,)內(nèi)可導.,可知必定存在一點 ,,使得 由于,因此arctan,x,在[,a,b,]上滿足拉格朗日中值定理條件.,,由于 ，因此,從而有,,例２,當,x,>0時,試證不等式,分析,取,f,(,t,)=ln(1+,t,) ，,a,=0，,b,=,x.,則,f,(,t,)=ln(1+,t,) 在區(qū)間[0,,x,]上滿足拉格朗日中值定理，因此必有一點 使得,.,,說明 本例中，若令,y=,ln,t，a,=1，

6、,b,=1+,x,，亦可利用拉格朗日中值定理證明所給不等式.這表明證明不等式時，,f,(,x,)與[,a,b,]的選取不是惟一的.,即,進而知,,第二節(jié) 洛必達法則,,如果函數(shù) ，其分子、分母都趨于零或都趨于無窮大.,那么，極限 可能存在，也可能不存在.通常稱這種極限為未定型.,并分別簡記為 .這節(jié)將介紹一種計算未定型極限的有效方法——,洛必達 法則,.,,,一、,定理,１ 如果,f,(,x,)

7、和,g,(,x,)滿足下列條件：,那么,,定理２,如果,f,(,x,)和,g,(,x,)滿足下列條件：,那么,,例1,為 型，由洛必達法則有,解,,例2,為 型，由洛必達法則有,解,,例3,為 型，由洛必達法則有,解,,例4,為 型，由洛必達法則有,解,,,二,、,定理３,如果函數(shù),f,(,x,)，,g,(,x,)滿足下列條件：,那么,,定理4,如果函數(shù),f,(,x,)，,g,(,x,)滿足下列條件：,那么,,例5,為 型，由洛必達法則有,解,,例6,為 型，由洛必達法則有,解,,,三、,可化為 　 型或 　型極限,,1.如果

8、 ， 則稱,對于 型，先將函數(shù)變型化為 型或 .再由洛必達法則求之.如,,或,,2.如果,,例7,解,,例8,解,,應該單獨求極限，不要參與洛必達法則運算，可以簡化運算.,例9,為 型，可以由洛必達法則求之.如果注意到,解,說明 如果 型或 型極限中含有非零因子，,,如果引入等價無窮小代換，則,例10,解,所給極限為 型，可以由洛必達法則求之.,注意極限過程為,,但是注意到所求極限的函數(shù)中含有因子 ，且

9、 ，因此極限不為零的因子 不必參加洛必達法則運算.,例11,又當 時， ，故,所給極限為 型，可以考慮使用洛必達法則.,解,,,第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值,一、函數(shù)的單調(diào)性,,二、函數(shù)的極值,,三、函數(shù)的最大值和最小值,,,,,如果函數(shù),f,(,x,)在某區(qū)間上單調(diào)增加，則它的圖形是隨,x,的增大而上升的曲線.如果所給曲線上每點處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點處的切線斜率非負，即 .,如果函數(shù),f,(,x,)在某區(qū)間上單調(diào)減少，則它的圖形是隨,x,的增大

10、而下降的曲線.如果所給曲線上每點處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點處的切線斜率非正，即 .,一、,函數(shù)的單調(diào)性,,定理１,設函數(shù),f,(,x,)在[,a,b,]上連續(xù)，在(,a,b,)內(nèi)可導.則有,(1) 如果在(,a,b,)內(nèi) ，那么，函數(shù),f,(,x,)在[,a,b,]上單調(diào)增加.,(2) 如果在(,a,b,)內(nèi) ，那么，函數(shù),f,(,x,)在[,a,b,]上單調(diào)減少.,,例1,解,,,在(－2,1)內(nèi)所給的函數(shù)嚴格單調(diào)減少.,由此可知，在 及 內(nèi)，所給函

11、數(shù)嚴格單調(diào)增加，,例2,解,,例3,解,為了研究函數(shù)的單調(diào)性，我們只關(guān)心　在上述四個子區(qū)間內(nèi)的符號，,這三個點,x,=－1，0，1將,y,的定義域　　　　分為　　　　　　　　 四個子區(qū)間.,,表中第一欄由小至大標出函數(shù)的定義域被三個特殊點劃分的四個區(qū)間.,第二欄標出　在各子區(qū)間內(nèi)的符號.第三欄為函數(shù)的增減性.如本例可列表：,x,,－１,,0,,1,,,－,0,+,不存在,－,0,+,y,,,,,,,,可知所給函數(shù)嚴格單調(diào)增加區(qū)間為　　　　 　.,嚴格單調(diào)減少區(qū)間為 .,,如果,F,(,x,)滿足下面的條件：,F,(,x,)

12、=,f,(,x,)－,g,(,x,),往往可以利用單調(diào)性證明不等式.其基本方法是：,,例4,解,,在實際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠、最近、最好、最優(yōu)等問題，這類問題在數(shù)學上常可以歸結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為最值問題.本節(jié)將介紹函數(shù)的極值問題與最值問題.,,二、,函數(shù)的極值,,定義１,設函數(shù),f,(,x,)在,x,0,的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于,x,0,的,x,都有,,(1) 成立，則稱 為,f,(,x,)的,極大值,，稱 為,f,(,x,)的,極大值點,；,(2

13、) 成立，則稱 為,f,(,x,)的,極小值,，稱 為,f,(,x,)的,極小值點,.,極大值、極小值統(tǒng)稱為,極值,.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為,極值點,.,,定理２(極值的必要條件),設函數(shù),f,(,x,)在點,x,0,處可導，且,x,0,為,f,(,x,)的極值點，則,注意,：可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點.但是需要注意，函數(shù)的駐點并不一定是函數(shù)的極值點.,例如 為其駐點，但是,x,=0不是 的極值點.,還要指出，有些函數(shù)的不可導的點也可能是其極值點.,,由上述可知，欲求

14、函數(shù)的極值點，先要求出其駐點和導數(shù)不存在的點，然后再用下面的充分條件判別:,定理３(判定極值的第一充分條件),設函數(shù),y=f,(,x,)在點,x,0,連續(xù)，且在,x,0,的某鄰域內(nèi)可導(點,x,0,可除外).如果在該鄰域內(nèi),如果,f,(,x,)在,x,0,的兩側(cè)保持相同符號，則,x,0,不是,f,(,x,)的極值點.,,因此可知,x,0,為,f,(,x,)的極大值點.,對于情形(2)也可以進行類似分析.,分析,對于情形(1)，由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，,當 時，,f,(,x,)單調(diào)增加；,當 時，,f,(,x,)單調(diào)減少，,,(3)判定每個駐點和導數(shù)不存在

15、的點 兩側(cè)(在,x,i,較小的鄰域內(nèi)) 的符號，依定理３判定,x,i,是否為,f,(,x,)的極值點.,由定理判定函數(shù)極值一般步驟為：,,令 ，得函數(shù)的兩個駐點：,x,1,= –1，,x,2,=2.,內(nèi)存在，函數(shù)的兩個駐點,x,1,= –1，,x,2,=2把 分成 三個子區(qū)間.,例1,所給函數(shù)的定義域為 .,解,x,,–1,(–1,2),2,,,+,0,–,0,+,y,,極大值,

16、,極小值,,–10,,,可知,x,=0為,y,的極小值點，極小值為0.,例2,所給的函數(shù)定義域為 .,解,,非極值,,極小,0,,y,+,0,+,0,–,,,1,(0,1),0,,x,,例3,所給的函數(shù)定義域為 .,解,x,,–1,(–1,0),0,(0,1),1,,,–,0,+,不存在,–,0,+,y,,極小值,,,極大值,,０,,極小值,,,定理4　(判定極值的第二充分條件),設函數(shù),f,(,x,)在點,x,0,處具有二階導數(shù)，且 則,當二階導數(shù)易求，且駐點,

17、x,0處的二階導數(shù) 　 時，利用判定極值的第二充分條件判定駐點 　 是否為極值點比較方便.,,,例4,所給的函數(shù)定義域為 .,解,,,上述求函數(shù)極值與極值點的方法可總結(jié)為:,欲求連續(xù)函數(shù),f,(,x,)的極值點，需,(1) 求出,f,(,x,)的定義域.,(4) 如果函數(shù)在駐點處的函數(shù)的二階導數(shù)易求，可以利用判定極值第二充分條件判定其是否為極值點.,(2) 求出 .在,f,(,x,)的定義域內(nèi)求出,f,(,x,)的全部駐點及導數(shù)不存在的點.,(3) 判定在上述點兩側(cè) 的符號，利用判定極值第一充分條件判定其是否為極值點

18、.,,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果,f,(,x,)在[,a,b,]上連續(xù)，則,f,(,x,)在[,a,b,]上必定能取得最大值與最小值.如何求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是本段的基本問題.,三、,函數(shù)的,最大值和最小值,,求[,a,b,]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：,(1)求出,f,(,x,)的所有位于(,a,b,)內(nèi)的駐點,(2)求出,f,(,x,)在(,a,b,)內(nèi)導數(shù)不存在的點,(3)比較導數(shù)為零的點和導數(shù)不存在的點的,y,值及,f,(,a,)和,f,(,b,).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應的點為最大值點和最小值點.,,由上述分析可以看

19、出，最大值與最小值是函數(shù),f,(,x,)在區(qū)間[,a,b,]上的整體性質(zhì)，而極大值與極小值是函數(shù),f,(,x,)在某點鄰域內(nèi)的局部性質(zhì).,,例5,由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).,解,,可知,f,(,x,)在[0,3]上的最大值點為,x,=2，最大值為,f,(2)=1.,例6,所給函數(shù)為[0,3]上的連續(xù)函數(shù).,解,最小 值 點為,x,=0，最小值為,,由隱函數(shù)求導法則可以得出過,M,點的切線斜率,例7,任取 上的點,M,(,x,y,)，且,x,>0，,y,>0.,解,因而過,M,(,x,y,)的切線方程為,,可知切線與兩個坐標軸所圍成的三角形面積為

20、,但是,S,最小當且僅當其分母 最大.,令,X,=0，得切線在,y,軸上的截距 .,令,Y,=0，得切線在,x,軸上的截距 .,,而且所求的駐點唯一，因此點 為所求最小值點，最小面積為,ab,.,由問題實際意義知，所圍三角形面積存在最小值，,,如果目標函數(shù)可導，其駐點唯一，且實際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在(且不在定義區(qū)間的端點上達到)，那么所求駐點就是函數(shù)的最大(小)值點.,有必要指出，對于在實際的問題中求其最大(小)值，首先應該建立目標函數(shù).,然后求

21、出目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的駐點.,如果駐點有多個，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，只需比較這幾個駐點處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.,,例8,欲圍一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少米時，才能使所用材料費最少？,設所圍矩形場地正面長為,x,m，另一邊長為,y,m，則矩形場地面積為,xy,=150， .,解,設四面圍墻的高相同，都為,h,，則四面圍墻所使用材料的費用,f,(,x,)為,,由于駐點唯一，由實際意義可知，問題的最小值存在，因此當正面長為10米，側(cè)面長為1

22、5米時，所用材料費最少.,,第四節(jié) 曲線的凹凸性與拐點,一、曲線的凹凸性,,二、曲線的拐點,,對于任意的 ，曲線弧,y,=,f,(,x,),過點 的切線總位于曲線弧,y=f,(,x,),的下方，則稱曲線弧,y=f,(,x,),在,[,a,b,],上為,凹,的,.,定義１,設函數(shù),f,(,x,)在[,a,b,]上連續(xù)，在(,a,b,)內(nèi)可導.,,(2) 若對于任意的 ，曲線弧,y,=,f,(,x,)過點 的切線總位于曲線弧,y=f,(,x,)的上方，則稱曲線弧,y=f,(,x,)在

23、[,a,b,]上為,凸,的.,一、,曲線的凹凸性,,如果,y=f,(,x,)在(,a,b,)內(nèi)二階可導，則可以利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性.,定理(曲線凹凸的判定法),設函數(shù),y=f,(,x,)在[,a,b,]上連續(xù)，在(,a,b,)內(nèi)二階可導.,(1) 若在(,a,b,)內(nèi) ，則曲線弧,y=f,(,x,)在[,a,b,]上為凹的.,(2) 若在(,a,b,)內(nèi) ，則曲線弧,y=f,(,x,)在[,a,b,]上為凸的.,,判定曲線弧,y=x,arctan,x,的凹凸性.,故,y=x,arctan,x,在

24、 內(nèi)為凹的.,例1,所給曲線在 內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于,解,,判定曲線弧 的凹凸性.,因此當,x,<0時， ，可知曲線弧 為凸的.,當,x,>0時， ，可知曲線弧 為凹的.,例2,所給曲線在 內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于,解,,定義,連續(xù)曲線弧上的凹弧與凸弧的分界點，稱為該曲線弧的,拐點,.,二、曲線的拐點,,試判定點,M,(0,0)是否為下列曲線弧的拐點.,例3,分析,,從而知點(0,0)為曲線弧 的拐點.,,(1) 在,f,

25、(,x,)所定義的區(qū)間內(nèi)，求出二階導數(shù) 等于零的點.,(2) 求出二階導數(shù) 不存在的點.,判斷連續(xù)曲線弧拐點的步驟：,(3) 判定上述點兩側(cè)， 是否異號.如果 在 的兩側(cè)異號，則 為曲線弧的,y=f,(,x,)的拐點.如果 在 的兩側(cè)同號，則 不為曲線弧,y=f,(,x,)的拐點.,,討論曲線弧 的凹凸性，并求其拐點.,x,,1,( 1,2),2,,,+,

26、0,－,0,+,y,凹,拐點,,(1,－3),凸,拐點,,(2,6),凹,例4,所給函數(shù),內(nèi)連續(xù).,解,,可知所給曲線弧在 內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.,拐點為點 (1,－3)與點 (2,6).,,討論曲線 的凹凸性，并求其拐點.,例5,所給函數(shù),內(nèi)為連續(xù)函數(shù).,解,,,,,,,,,－,0,+,不存在,+,,y,,凸,拐點,,凹,,非拐點,,凹,可知所給曲線在 為凸的.,在 內(nèi)為凹的.,,第五節(jié) 函數(shù)圖形的描繪,一、漸近線,,二、函數(shù)的作圖,

27、,定義,點,M,沿曲線,y=f,(,x,)無限遠離坐標原點時，若點,M,與某定直線,L,之間的距離趨于零，則稱直線,L,為曲線,y=f,(,x,)的一條漸近線.,,,一、,漸近線,,,1.水平漸近線,當且僅當下列三各情形之一成立時，直線,y=c,為曲線,y=f,(,x,)的水平漸近線：,,2.鉛直漸近線,當且僅當下列三各情形之一成立時，直線 為曲線,y=f,(,x,)的鉛直漸近線：,,可知,y,=0所給曲線的水平漸近線.,例1,解,,可知,x=,–1為所給曲線的鉛直漸近線(在,x,=,–,1的兩側(cè),f,(,x,)的趨向不同！),可知,x,=3為所給曲線的鉛直漸近線(在,x,

28、= 3的兩側(cè),f,(,x,)的趨向不同！),,例2,所給的函數(shù)的定義域為,解,,二、,函數(shù)的作圖,利用導數(shù)描繪圖形的一般步驟如下：,,(1),確定函數(shù) 的定義域及函數(shù)所具有的某些特性,(,如奇偶性、周期性等)，并求出函數(shù)的一階導數(shù) 和二階導數(shù) ；,(2)求出一階導數(shù) 和二階導數(shù) 在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點，并求出函數(shù) 的間斷點及 和 不存在的點，用這些點把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間;,,(4),確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；,(3),確定在這些部分區(qū)間內(nèi) 和

29、 的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸、極值點和拐點；,(5) 算出 和 的零點以及不存在的點所對應的函數(shù)值，定出圖形上相應的點.為了把圖形描繪得準確些，有時還需要補充一些點，然后結(jié)合(3)、(4)中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù) 的圖形.,(5) 算出 和 的零點以及不存在的點所對應的函數(shù)值，定出圖形上相應的點.為了把圖形描繪得準確些，有時還需要補充一些點，然后結(jié)合(3)、(4)中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù) 的圖形.,,是連續(xù)的非奇非偶函數(shù)，非周期函數(shù).,例3,解,所給函數(shù)的定義域為 ，,

30、,x,,1,( 1,2),2,(2,3),3,,,+,0,–,,–,0,+,,–,,–,0,+,,+,y,凸,,極大,,2,凸,,拐點,,,(2,0),凹,極小,,–2,凹,所給函數(shù)圖形無漸近線.,再補充點(0,–2).,,函數(shù)為奇函數(shù)，只需研究　 內(nèi)函數(shù)的情形,可知,y,=0為該曲線的水平漸近線.,該曲線沒有鉛直漸近線.,例4,所給函數(shù)的定義域為 .,解,由于,,x,(0,1),1,,,,,+,0,–,,–,,–,–,–,0,+,y,凸,極大,凸,,拐點,,凹,列表分析：,故在,x,<0的鄰域內(nèi)，曲線是凹的.所以點(0,0)為拐點.,因為函數(shù)為連續(xù)的奇

31、函數(shù)，,在,x,>0的鄰域內(nèi)，曲線是凸的，,,可知,y,=0為該曲線的水平漸近線.,函數(shù)為偶函數(shù)，因此其圖形關(guān)于,y,軸對稱.,該曲線沒有鉛直漸近線.,例5,所給函數(shù)的定義域為 .,解,,x,,,,0,,,,,+,,+,0,–,–,–,,+,0,–,,–,+,+,y,凹,,拐點,,凹,極大值1,,凸,拐點,凹,,第六節(jié) 曲率,一、弧微分,,二、曲率,,,當自變量在點,x,取得增量 時，設 對應于曲線弧上點,N,，則在點,M,取得弧長增量為,一、,弧微分,,其中|,MN,|為弦,MN,的長 (弦長|,MN,|與弧長,MN,有相同的正負號)

32、 .,設函數(shù),y=f,(,x,)具有一階連續(xù)導數(shù)，注意到當 時，,N,沿曲線趨于,M,.可以證明 .于是,對(1)式兩端取 時的極限，即得,從而,我們稱d,s,為弧長,s,的微分，簡稱弧微分.,,例1,解,,1.曲線彎曲程度的二個要素,(1) 與轉(zhuǎn)角有關(guān),弧段 比較平直，當動點沿這段弧從,M,1,移動到,M,2,時，切線轉(zhuǎn)過的角度 不大.弧段 彎曲得比較厲害，轉(zhuǎn)角 就比較大.,(2) 與弧長有關(guān),,兩段曲線弧 及 ，

33、盡管切線轉(zhuǎn)過的角度都是 ，但彎曲的程度并不一樣，短弧段比長弧段彎曲得厲害.,二、曲率,,因此,而弧長的微分 ，因此，曲線,y=f,(,x,)在點,M,(,x,f,(,x,))處的曲率為,曲線,y=f,(,x,)在點,M,(,x,f,(,x,))處切線的傾角 滿足,,求直線,L,上任意一點處的曲率.,由曲率公式可知，直線上任意一點處的曲率,K=,0.,例2,不妨認為直線,L,的方程為,y=ax+b,.,解,可得,,求圓周 上任意一點處的曲率.,因此,即圓周上各點處的曲率相同，皆等于該圓半徑的倒數(shù).,例3,設,M,(,x,y,)為圓周的任意一點，則由平面幾何知識可知,解,,因此在點(,a,a,)處,例4,解,,試判定曲線(拋物線) 上哪一點處的曲率半徑最?。?因此,分母為常數(shù)，知當2,ax+b,=0，即 時，,,R,最小.,此時 ，曲線上相應點為 .,例5,由,解,此乃拋物線的頂點，直觀上也容易知頂點處的曲率最大.,,