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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,6.5 Gauss 求積公式,1.,Gauss 求積公式,,,設(shè)插值型的數(shù)值積分公式：,,前面講述的方法（,lagrange,插值型數(shù)值積分法）是事先給定積分節(jié)點,x,k,,。,例如,Newton-Cotes,公式把區(qū)間,[,a,,,b,],的等分點作為求積節(jié)點，這樣所求積分公式的代數(shù)精度至多為,n+1,。,,現(xiàn)在取消對積分節(jié)點的,限制,，讓它與,A,k,,一樣，作為一個待定常數(shù)，這樣在數(shù)值積分公式,(1),中需要確定的系數(shù)為,x,k,和,A,k,（,k,= 0, 1, …,,n,），,共

2、,2,n,+2,個系數(shù)。根據(jù)代數(shù)精度的概念，要確定這,2,n,+2,個系數(shù)（,x,k,和,A,k,），,需要解如下,2,n,+2,個方程構(gòu)成的非線性方程組,其中,。,,若有解，則得到的,插值型的數(shù)值積分公式（,1,）至少有,2,n,+1,次代數(shù)精度。,,1.,Gauss 求積公式,但是，考慮,2,n,+2,次多項式：,它只在節(jié)點,x,i,（,i,= 0,1,…,,n,）,處為零，在其它點處均大于零，所以,而,,.,,故插值型的數(shù)值積分公式（,1,）對于,2,n,+2,次多項式 不準確成立，可知其代數(shù)精度僅為,2,n,+1,。,,1.,Gauss 求

3、積公式,定義,6.5.1,若插值型求積公式,則稱該求積公式是,Gauss,求積公式,,,相應(yīng)的求積節(jié)點,,x,k,,(,k,= 0, 1,,…,,,,n,),稱為,Gauss,點,。,其中,，,具有,2,n,+1,次代數(shù)精度,,,,例,6.5.1,,確定下列求積公式中的待定參數(shù),A,0,,,A,1,,,x,0,,和,x,1,：,解：令,f,(,x,),=,1,, x,1,, x,2,, x,3,,,,則有下列方程組,此求積公式具有,,,3,,次代數(shù)精度,由前面的定義可知，,此求積公式,為,Gauss,求積公式,因此,。,,,確定,Gauss,求積公式的關(guān)鍵在于確定,Gauss,點,。,因為如果

4、先確定了,Gauss,點，,再確定其求積系數(shù),A,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),,時將變?yōu)榫€性方程組。,解線性方程組要比解非線性方程組方便得多,。,如上例，若事先知道 和 ，則,求積公式變?yōu)?,再計算,A,0,和,A,1,時，它們已成為線性關(guān)系，取,,f,(,x,) = 1,和,x,可得到,解得,A,0,=,A,1,=1,。,,當然也可以由關(guān)系式,來確定。,,定理,6.5.1,插值型求積公式中的求積節(jié)點,x,k,(,k,= 0, 1,,…,,,n,),是,Gauss,點的充分必要條件是,,與任意次數(shù)

5、不超過,,n,,的多項式,P,(,x,),均正交,,,即滿足,推論,6.5.1,,在區(qū)間,,[,a,,,b,],上,,n,+ 1,次正交多項式,,g,n+1,(,x,),的零點即為,,Gauss,點,。,關(guān)于,Gauss,點的求法,,,,有如下定理。,,,2.,G,a,uss-Legendre 求積公式,,在,[-1, 1],上,,,權(quán)函數(shù),ρ,(,x,) =1,的,n,+1,次Legendre,多項式,的零點即為,,Gauss,點,.,以,P,n,+1,(,x,),的零點,,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),為求積節(jié)點,,,建立的,Gauss,求,積公式,稱為,Ga

6、uss-Legendre,,求積公式,，,其,求積系數(shù),(6.5.9),,這是因為,:,設(shè) 的首項系數(shù)為 ，則,,于是,,常見,Gauss-Legendre,求積公式,,當,n =,0,時，一次勒讓德,(Legendre),多項式,P,1,(,x,) =,x,的零點（,Gauss,點）,x,0,= 0,，,取其為求積節(jié)點，由,(6.5.9),確定出,A,0,= 2,。,從而得到一點,Gauss-Legendre,求積公式,即,A,0,由,來確定。,,常見,Gauss-Legendre,求積公式,,當,n,= 1,時，二次勒讓德（,Legendre,）,多項

7、式,它有兩個零點,(Gauss,點,) ,,取它們?yōu)榍蠓e節(jié)點，由（,6.5.9,）確定出,A,0,=,A,1,= 1,。,從而得到二點,Gauss-Legendre,,求積公式,,,常見,Gauss-Legendre,求積公式,,一點,Gauss-Legendre,,求積公式,二點,Gauss-Legendre,,求積公式,,三點,Gauss-Legendre,求積公式,,,,1~5 個節(jié)點的,Gauss-Legendre,求積系數(shù),n,1,2,4,3,0,x,k,A,k,,1~5 個節(jié)點的,Gauss-Legendre,求積系數(shù)（真值）,n,x,k,A,k,0,0,2,

8、1,,1,,2,,,,0,,,,,續(xù),Gauss-Legendre,求積系數(shù)（真值）,n,x,k,A,k,,3,,,,,,,,,4,,,,0,,,,,,,,對于一般的區(qū)間,[,a, b,],，,可作坐標變換,,得到,對上式,右端,的積分可采用標準,Gauss-Legendre,求積公式進行計算。,,例,6.5.3,,利用三點,Gauss-Legendre,求積公式計算積分,結(jié)果保留六位小數(shù)。,,，,解,:,令 ，則,,,例,6.5.4,,構(gòu)造 的,Gauss-Legendre,求積公式,,,使其具有,7,次代數(shù)精度,.,,解,:

9、,,由,2,n,+1=7,,求得,n,= 3,,,這表明有,4,個求積節(jié)點,, 3,個小區(qū)間,.,作變量置換令,x,= 2,t,+ 4,,,,則有,由上表有,2{0.3478548,f,( 2(-0.8611363) + 4),+ 0.3478548,f,(2(0.8611363) + 4),,+ 0.6521452,f,(2(-0.3398810) + 4),,+ 0.6521452,f,(2(0.3398810) + 4) },,,3.,帶權(quán)的Gauss 求積公式,,考慮帶權(quán)的積分 其中 為權(quán)函數(shù),.,若,,,,,即為通常的積分,.,,則,設(shè)

10、,f,(,x,),在插值節(jié)點,,處的函數(shù),值為,f,(,x,k,),,作,,n,,次,,Lagrange,插值多項式,(6.5.13),,其中,(6.5.15),,上式稱為,帶權(quán)的插值積分公式,,,A,k,,是其求積系數(shù),.,從而有,, (6.5.14),,定義,6.5.2,,若帶權(quán)的插值型求積公式具有,2,n,+1,次代數(shù)精度,,,則稱其為,Gauss,求積公式,,,相應(yīng)的求積節(jié)點,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),稱為,Gauss,點,.,與不帶權(quán)的,Gauss,點的求法類似,,,,有如下定理,.,定理,6.5.2,,帶權(quán)的插值求積公式中的,求

11、積節(jié)點,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),是,Gauss,點的充分必要條件是,,與任意次數(shù)不超過,n,,的多項式,P,(,x,),均在區(qū)間,[,a,,,b,],帶權(quán) 正交,,,即滿足,,推論,6.5.2,,在區(qū)間,[,a,,,b,],上,,帶權(quán) 的,n,+ 1,次正交多項式,g,n+1,(,x,),的零點即為,Gauss,點,.,,,,Gauss-Chebyshev 求積公式,,其,Gauss,點為,,n,+1,次,,Chebyshev,多,項式,T,n+1,(,x,),的,零點，,即,在區(qū)間,[-1, 1],,權(quán)函數(shù)為,,,建立的,G

12、ausss,,求積公式,為,稱為,Gauss-,Chebyshev,,求積公式,.,其,求積系數(shù),為,,,同理可以求出相應(yīng)的,Gauss-,Laguerre,,公式,與,Gauss-,Hermite,,公式,.,顯然僅對于某些特殊,的區(qū)間,和特殊的權(quán)函數(shù),,,可以利用正交多項式的零點來確定,,Gauss,點。,,綜上，,Gauss,求積公式,構(gòu)造,的方法有二：,,待定系數(shù)法，即,解,關(guān)于,A,k,和,x,k,,的非線性方程組；,,先,確定,,Gauss,點，然后再確定,其求積系數(shù)。,,4.,Gauss 求積公式的,余項,,,收斂性與穩(wěn)定性,定理,6.5.3,,設(shè)函數(shù),f,(,x,),∈,C,2

13、n+2,[,a,,,b,],,則,,Gauss,求積公式的余項為,,,Gauss,求積公式求積系數(shù)有如下性質(zhì),:,即,Gauss,求積公式求積系數(shù)都是正的,.,由,余項公式可直接得出,, (6.5.14),,Gauss 求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性,,設(shè),f,(,x,k,),的近似值為,記,由,Gauss,求積公式和,A,k,> 0,,則有誤差估計,令,,其中,是一個大于零的常數(shù),.,由此可知,Gauss,求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的,.,,定理,6.5.4,,對任意的,f,∈,C[,a,,,b,],,則,Gauss,求積公式均收斂,,,即有,對于,Gauss,求積公式的收斂性,,,有如下

14、的定理,,6.6,數(shù)值微分,,本節(jié)討論數(shù)值微分。即對于定義在區(qū)間,[,a,,,b,],上，由列表給出的函數(shù),y,=,f,(,x,),：,x,k,,x,0,,x,1,,…,,x,n,,y,=,f,(,x,k,),f,(,x,0,),,f,(,x,1,),,…,,f,(,x,n,),,如何計算函數(shù),f,(,x,),的導(dǎo)數(shù)？,,,1.,插值型數(shù)值微分公式,,,由上述列表函數(shù),,,我們可以建立,f,(,x,),的,n,次,Lagrange,插值多項式,L,n,(,x,),,根據(jù),f,(,x,),?,L,n,(,x,),,可以得到插值型數(shù)值微分公式,,能否舉個例子說明這樣做,,,不總是合理的？,,由于,

15、Lagrange,插值多項式,L,n,(,x,),的余項為,,其中,,,且依賴于,x,.,,對式,(6.6.3),兩邊求導(dǎo)得,(6.6.4),誤差估計式中含有不確定函數(shù),ξ,(,x,),的導(dǎo)數(shù),可記為,,但當計算插值節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)時,,,因,ω,n,+1,(,x,k,) = 0,,這時數(shù)值導(dǎo)數(shù)的余項公式可以表示為,從而可以對,節(jié)點,處,誤差作出適當?shù)墓烙?.,,,下面,,,我們在等距節(jié)點情況下討論函數(shù),f,(,x,),在插值節(jié)點處導(dǎo)數(shù)的求法,.,(6.6.4),,2.,兩點數(shù)值微分公式,,,已知在兩個插值節(jié)點,x,0,,,x,1,上的函數(shù)值,f,(,x,0,),,f,(,x,1,),,要計算,f

16、,(,x,),在,x,0,,,x,1,處的導(dǎo)數(shù),.,由線性插值公式,令,h,=,x,1,－,x,0,,,將上式求導(dǎo)得,,由余項公式,(6.6.5),可得,帶余項的兩點數(shù)值微分公式,,若略去余項,,,可得,兩點數(shù)值微分公式,,截斷誤差為,O,(,h,) .,注：,h,=,x,1,－,x,0,類似可得,,3.,三點數(shù)值微分公式,,已知,f,(,x,),在三點 處的函數(shù)值分別為,f,(,x,0,),,f,(,x,1,),和,,f,(,x,2,).,,上式對,x,求導(dǎo)數(shù)得,次,Lagrange,插值多項式,則

17、由二,,從而由,有,,,由式,(6.6.5),,可得,帶余項的三點數(shù)值微分公式,,若略去余項,,,有,三點數(shù)值微分公式,截斷誤差均為,O,(,h,2,) .,,,還可以建立高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值微分公式,.,,對,(6.6.9),再求導(dǎo)一次，有,故有二階三點數(shù)值微分公式,利用式,(6.6.2),,由余項公式,(6.6.3),可得帶余項的二階三點數(shù)值微分公式,而對于,,,可以利用,Taylor,公式推出,,,4.,利用三次樣條插值函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù),,基本思想,就是在區(qū)間,[,a,,,b,],上,,,根據(jù)互異的節(jié)點,,,a,=,x,0,<,x,1,<,x,2,< . . . <,x,n,=,b,,及,函數(shù)值

18、,y,k,=,f,(,x,k,) (,k,= 0, 1, … , n) ,,構(gòu)造三次樣條函數(shù),S,(,x,),,于是,,f,(,x,),?,S,(,x,).,從而,所以可以利用它們來計算,f,(,x,),的各階數(shù)值導(dǎo)數(shù),(,一階,,,二階和三階,).,,,以三彎矩公式為例,,,有,,這里,,這樣,,,從而,,,在插值節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)有,,,用三次樣條插值函數(shù)計算,數(shù)值導(dǎo)數(shù),,,在一定條件下,,,（如,f,(,x,),有連續(xù)四階導(dǎo)數(shù)）有如下誤差估計式：,其中 表示的同階無窮小量,,.,,因此，用三次樣條插值函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)比用插值多項式可靠性大

19、．,具體解法如下：,,首先構(gòu)造一個三次樣條插值函數(shù)，,,然后對其求導(dǎo)，用計算出的導(dǎo)函數(shù)作為,f',(,x,),的近似值,.,,,5.,數(shù)值微分的外推算法,由三點數(shù)值微分公式,( 6.6.11 ),下面研究上式的截斷誤差,.,,,有,,由,Taylor,公式有,上兩式相減整理后,,,得,,,上兩式相減整理后,,,得,即得,由,對于固定的,x,,,上式的誤差估計式正好符合,Richardson,外推算法,.,,是與,h,,無關(guān)的常數(shù),.,,,由,外推算法,,,選取,,有,,其中 逼近于 的誤差為,.,,此算法的控制條件是,ε,是預(yù)先給定的精度,,本章小結(jié),數(shù)值積分的基本概念、思想與理論,,數(shù)值積分公式、插值型數(shù)值積分公式、余項、代數(shù)精度、收斂階,,插值型數(shù)值積分及其數(shù)值穩(wěn)定性,,Newton-Cotes,公式，,復(fù)化求積,公式,、變步長的求積,公式,、,Richardson外推算法與,Romberg,求積公式、,Gauss,求積公式,,數(shù)值微分,的思想與各種方法,,兩點、三點數(shù)值微分公式、樣條插值函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)、外推算法,,本章結(jié)束,,準備復(fù)習(xí)考試了！,,