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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,*,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,第九講 微積分的歷史,（,背景、發(fā)展與意義,）,,馬克思和恩格斯,非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊譽(yù)：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了?！?,,,1,第九講 微積分的歷史（背景、發(fā)展與意義 ） 馬克思,一、微積分名稱的由來,,在變量數(shù)學(xué)中，決定性的一步是17世紀(jì)后半葉由牛頓和萊布尼茲創(chuàng)始的微分法和積分法。微積分的誕生，與其說是全部數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的創(chuàng)舉，不如說是整個(gè)人類歷史的一個(gè)偉大的創(chuàng)舉。,,牛頓,稱微積分為“,流數(shù)術(shù),”

2、（fluxious）,這個(gè)名稱逐漸被淘汰。萊布尼茲使用了“,差的計(jì)算,”（calculus differentialis）與“,和的計(jì)算,” （calculus summatorius）.后來， “差的計(jì)算”變成了專門的術(shù)語“,微分學(xué),” （ differential calculus ）,約翰?貝努利主張把“和的計(jì)算”改為,,,,2,一、微積分名稱的由來 在變量數(shù)學(xué)中，決定性的一步是17,“求整計(jì)算” （calculus integralis）,后來成為專門術(shù)語“,積分學(xué),” （ integral calculus ），這就是西方微分學(xué)和積分學(xué)的來源，兩者結(jié)合起來叫微積分。在英文中簡

3、稱calculus.,,,3,“求整計(jì)算” （calculus integralis）,后,二、微積分建立的時(shí)代背景,古代至中世紀(jì)的有關(guān)工作,導(dǎo)致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題,17世紀(jì)前期的工作,牛頓創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程,萊布尼茨創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程,牛頓、萊布尼茨工作的簡單比較,微積分的歷史意義,,,4,二、微積分建立的時(shí)代背景古代至中世紀(jì)的有關(guān)工作4,古代至中世紀(jì)的有關(guān)工作,早在古代數(shù)學(xué)中，就產(chǎn)生了,微分和積分,這兩個(gè)概念的思想萌芽，形成兩種基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。兩者分別地被人們加以研究和發(fā)展。,積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)

4、中都有涉及這類問題的思想和方法。,,歷史上，積分思想先于微分思想出現(xiàn)，而不象今天的《數(shù)學(xué)分析》所講授的那樣，先微分后積分。,,,5,古代至中世紀(jì)的有關(guān)工作 早在古代數(shù)學(xué)中，就產(chǎn)生了微分和,中國魏晉時(shí)代的,劉徽,在其《九章算術(shù)注》（公元,263,年）中，對于計(jì)算圓面積提出了著名的,“割圓術(shù)”,，他解釋說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣?！边@些都是原始的積分思想。,,又如，中國清代著名數(shù)學(xué)家,李善蘭,獨(dú)創(chuàng)的,“尖錐術(shù)”,，已使中國步入了微積分的大門。但還未形成多大影響時(shí)，西方的微積分就傳入了中國。,如：古希臘的阿基米德（公元前,287,―,212,）用

5、邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮竭法”。,,,6,中國魏晉時(shí)代的劉徽在其《九章算術(shù)注》（公元263年）,16,世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆椒ㄇ竺娣e、體積等問題，并不斷加以改進(jìn)。天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家,開普勒,的工作是這方面的典型。他注意到，酒商用來計(jì)算酒桶體積的方法很不精確，他努力探求計(jì)算體積的正確方法，寫成,《測量酒桶體積的新科學(xué)》,一書，他的方法的精華就是,用無窮多小元素之和來計(jì)算曲邊形的面積或體積,。,,微分思想也在古代略見端倪，它是和求曲線的切線問題相聯(lián)系的，這是數(shù)學(xué)家們歷來所關(guān)注的另一類問題。,,,7,16世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆?光學(xué)研究中，由于

6、透鏡的設(shè)計(jì)需要運(yùn)用折射定律、反射定律，就涉及切線、法線問題。這方面的研究吸引了,笛卡兒、惠更斯、牛頓、萊布尼茲,等人。而在運(yùn)動學(xué)研究中，要確定運(yùn)動物體在某一點(diǎn)的運(yùn)動方向，就是求曲線上某一點(diǎn)的切線方向，這就需要求作切線。,,,,8,光學(xué)研究中，由于透鏡的設(shè)計(jì)需要運(yùn)用折射定律、反射定律,,意大利科學(xué)家伽利略主張自然科學(xué)研究必須進(jìn)行系統(tǒng)的觀察與實(shí)驗(yàn)，充分利用數(shù)學(xué)工具去探索大自然的奧秘。這些觀點(diǎn)對科學(xué),(,特別是物理和數(shù)學(xué),),的發(fā)展有巨大的影響。他的學(xué)生,卡瓦列里,創(chuàng)立了,“不可分原理”,。依靠這個(gè)原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴(yán)格的積分法解決的問題?！安豢煞帧钡乃枷朊妊坑?1620,年，深受開普勒和

7、伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。,,,9,意大利科學(xué)家伽利略,導(dǎo)致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題,已知物體移動的距離表示為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反之，已知物體運(yùn)動的加速度表為時(shí)間的函數(shù)，求速度和距離。,（,這一問題不久人們發(fā)現(xiàn)，這一問題是計(jì)算一個(gè)變量對另一個(gè)變量的變化率問題以及它的逆問題的特例。）,求曲線的切線。,,,,10,導(dǎo)致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題已知物體移動的距離表示為時(shí)間的函,,求函數(shù)的最大值和最小值。,（,如拋射體獲得最大射程時(shí)的發(fā)射角，行星離開太陽時(shí)的最遠(yuǎn)和最近距離等。,）,,求曲線長；曲線圍成的面積；曲面圍成的體積；物體的重心

8、；一個(gè)體積相當(dāng)大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力等。,,,11,11,17世紀(jì)前期微積分的工作,,費(fèi)爾馬 (Fermat),是在牛頓和萊布尼茲之前，在微分和積分兩個(gè)方面作出貢獻(xiàn)最多的一個(gè)數(shù)學(xué)家。,費(fèi)爾馬《求極大值與極小值的方法》 (寫于1636年以前),在求曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題上做出了重要貢獻(xiàn)。用現(xiàn)代語言來說，他都是先取增量，而后讓增量趨于0。這正是微分學(xué)的實(shí)質(zhì)之所在。,費(fèi)爾馬,還考慮了求拋物體的重心問題。他是,,,12,17世紀(jì)前期微積分的工作 費(fèi)爾馬 (Fermat)是在牛,用,求極大,、,極小值的方法,得到，而不是用求和的方法。這使他的朋友羅貝瓦爾感到驚奇。但

9、是，他居然沒有看到這兩類問題——,微分學(xué)問題和積分學(xué)問題,——的基本聯(lián)系，與,微積分基本定理,擦肩而過。,在數(shù)學(xué)史上，拉格朗日、拉普拉斯和傅立葉都曾稱“,費(fèi)爾馬,是真正發(fā)明者。,”但,泊松,正確地指出，,費(fèi)爾馬,不應(yīng)當(dāng)享有這一榮譽(yù)。,,,13,用求極大、極小值的方法得到，而不是用求和的方法。這使他的朋友,另一個(gè)對微積分作出預(yù)言的是牛頓的老師,巴羅 (I.Barrow,，1630——1677,),，他于1630年生于倫敦，畢業(yè)于劍橋大學(xué)，他在物理、數(shù)學(xué)、天文和神學(xué)方面都有造詣。他也是當(dāng)時(shí)研究古希臘數(shù)學(xué)的著名學(xué)者。他翻譯了歐幾里得的《幾何原本》，也是第一個(gè)擔(dān)任劍橋大學(xué)盧卡斯講座教授的人。,巴羅,的

10、貢獻(xiàn),1669,年，他辭去了他的教授席位，并推薦牛頓取得此席位。1673年他被任命為劍橋三一學(xué)院院長，1677年逝世。,,,14,另一個(gè)對微積分作出預(yù)言的是牛頓的老師巴羅 (I.Ba,巴羅最重要的著作是1699-1670年發(fā)表的,《,光學(xué)和,幾何學(xué)講義》,，在這本書中我們能夠找到非常接近近代微分過程的步驟。他把作曲線的切線和曲線的求積聯(lián)系了起來，用現(xiàn)代符號表示就是：,巴羅的確已經(jīng)走到了微積分基本定理的大門口。但在巴羅的書中，這兩個(gè)定理相隔二十余個(gè)別的定理，并且沒有把它們對照起來，也幾乎沒有使用過它們。這說明，巴羅并沒有從一般概念意義下理解,,,15,巴羅最重要的著作是1699-1670年發(fā)表的

11、《光學(xué),他們。但是我們知道，只有一般概念才能闡明問題的本質(zhì)，才能開拓廣闊的應(yīng)用道路。,到此為止，微積分這門學(xué)科的基礎(chǔ)已經(jīng)具備，但象現(xiàn)在這樣的微積分還沒有。正如后來萊布尼,茲確切表達(dá)的：“在這樣的科學(xué)成就之后，所缺少的知識引出問題的迷宮的一條線。即依照代數(shù)樣式的解析計(jì)算法。”,在創(chuàng)建微積分的過程中究竟還有多少事情要做呢？,,,16,他們。但是我們知道，只有一般概念才能闡明問題的本質(zhì)，才能開拓,1）需要以一般形式建立新計(jì)算法的基本概念及其相互聯(lián)系，創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計(jì)算的正確程序或算法。,2）為這門學(xué)科重建邏輯上的一致的、嚴(yán)格的基礎(chǔ)。,第1）項(xiàng)由,牛頓和萊布尼,茲,各自獨(dú)立完成。,第2）

12、項(xiàng)由法國偉大的分析學(xué)家,A.L柯西,（Cauchy,1789_1857）,及其他19世紀(jì)數(shù)學(xué)家,完成。,,,17,1）需要以一般形式建立新計(jì)算法的基本概念及其相互聯(lián)系,,牛頓的微積分,牛頓（Isaac Newton，1642-1727）是歷史上偉大的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。,,他和萊布尼茨（,Gottfried Leibniz,，,1646-1716,）一起發(fā)明了,微積分,，在,光的色散和光的本質(zhì),方面取得了重要成就，更重要的是他建立了,萬有引力理論,，把天體的運(yùn)動和地球上的運(yùn)動統(tǒng)一起來，整個(gè)近代力學(xué)和天體力學(xué)都是在他的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。,,,,18,牛頓的微積分牛頓（Isaac Newton，16

13、42-172,,法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,拉普拉斯,（,Pierre Laplace,，,1749-1827,）曾經(jīng)這樣說過：“,不會產(chǎn)生兩個(gè)牛頓，因?yàn)橐l(fā)現(xiàn)的世界只有一個(gè),。”,,,在牛頓的墓志銘上刻著著名詩人,波普,（Alexander Pope，1688-1744）優(yōu)美的贊美詩句：,自然和她的法則在黑暗中隱藏,//,上帝說，讓牛頓去吧,//,于是一切都已照亮,Nature and Nature’s Laws lay hid in night// God said: let Newton be // and all was,,,,19,法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯（Pierre Lapl,,雖

14、然牛頓取得了這么多重要成就，但是他卻是一個(gè)很謙虛的人。他曾經(jīng)說過：“,我并不知道人家是怎樣看我的，但是在我自己看來，我就像一個(gè)在海灘上玩耍的小孩兒，偶爾撿到一顆光滑而好看的鵝卵石，而真理的大海我并沒有發(fā)現(xiàn)。,”,,他在致胡克（,Robert Hooke,，,1635-1703,）的一封信中也說過這樣一句廣泛流傳的話：“,如果我曾比別人看得更遠(yuǎn)一些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀?”,,,,20,雖然牛頓取得了這么多重要成就，但是他卻是一個(gè)很謙虛的,牛頓,生平,歷史的發(fā)展有時(shí)候充滿了戲劇性。,1642,年,1,月,8,日，偉大的意大利物理學(xué)家伽利略（,Galileo Galilei,，,1564-

15、1642,）逝世。就像中國藏族的轉(zhuǎn)世靈童一樣，不到一年，牛頓于,1642,年,12,月,25,日（這是儒略歷的日子，對應(yīng)于現(xiàn)在公歷的,1643,年,1,月,4,日）出生于英國林肯郡（,Lincolnshire,）的伍爾索普,(Woolsthope),鎮(zhèn)。,牛頓是個(gè)遺腹子，在出生前兩個(gè)多月，他父親就去世了。三歲的時(shí)候，他母親改嫁，牛頓就和他祖母一起生活。在,11,歲時(shí)，牛頓的繼父又去世了，于是他母親就帶著他的一個(gè)弟弟和兩個(gè)妹妹回到沃斯索普。從此以后，他們就在一起生活。,,,21,牛頓 生平 歷史的發(fā)展有時(shí)候充滿了戲劇性。164,,大約5歲的時(shí)候，牛頓被送到了鄰近的鄉(xiāng)村小學(xué)。在那里，牛

16、頓平靜地度過了9年的日子，家里人似乎對于他沒有什么太大的指望。牛頓有個(gè)舅舅叫艾司考，他發(fā)現(xiàn)了牛頓的聰慧，在1656年送他到格蘭珊公學(xué)學(xué)習(xí)。可是，到那里不久，母親就把他招回來幫助料理繼父留下的田產(chǎn)。經(jīng)過艾司考與格蘭珊公學(xué)校長斯托克斯（J. Stokes）極力懇求他母親，牛頓才于1658年重返格蘭珊公學(xué)。和當(dāng)時(shí)英國的皇家中學(xué)一樣，格蘭珊公學(xué)也是以教授希臘文與拉丁文文法為主要科目的學(xué)校。在格蘭珊公學(xué)的3年中，牛頓學(xué)習(xí)十分努力，目的是為了考取當(dāng)時(shí)最好的大學(xué)——?jiǎng)虼髮W(xué)。1661年，牛頓如愿以償?shù)剡M(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院（Trinity College）。,,,22,大約5歲的時(shí)候，牛頓被送到了鄰近的鄉(xiāng)

17、村小學(xué)。,,剛到劍橋大學(xué)的時(shí)候，牛頓依靠將食物與飲料遞送外賣這種勤工儉學(xué)方式來換取一日三餐。后來，牛頓得到了獎(jiǎng)學(xué)金。在著名幾何學(xué)家巴羅（Isaac Barrow，1630-1677）教授的指導(dǎo)下，牛頓閱讀了開普勒（Kepler，1570-1630）、笛卡爾（René Descartes，1596-1650）、伽利略等人的科學(xué)書籍。1665年，牛頓順利地拿到了學(xué)士學(xué)位（Bachelor of Art）。,,1665,年初，倫敦發(fā)生了嚴(yán)重的鼠疫。劍橋大學(xué)出于慎重考慮而把學(xué)生遣返回家。這樣，牛頓于,1665,年,6,月到,1666,年,12,月在家鄉(xiāng)伍爾索普呆了一年半的時(shí)間。,,,,23,剛到劍橋大

18、學(xué)的時(shí)候，牛頓依靠將食物與飲料遞送,,在科學(xué)史上，這段時(shí)期具有非同尋常的重要性，因?yàn)榕ｎD在此期間幾乎完成了他平生所有的重要發(fā)現(xiàn)。下面這段話來自牛頓的個(gè)人回憶：,,1665年初，我發(fā)現(xiàn)了級數(shù)逼近法和把二項(xiàng)式的任意次冪展開成這一級數(shù)的規(guī)則。同年5月，我發(fā)現(xiàn)了格里高利（James Gregory，1638-1675）和司羅斯（Rene-Francois de Slues， 1622-1685）的切線方法。11月，得到了直接流數(shù)法。次年1月，提出了光的顏色理論。5月，我開始學(xué)會反流數(shù)方法……,,,24,在科學(xué)史上，這段時(shí)期具有非同尋常的重要性，因,,1668年，牛頓返回劍橋不久，獲得了碩士學(xué)位（Mas

19、ter of Art）。之后牛頓成為三一學(xué)院的一名成員。1669年，牛頓完成了關(guān)于流數(shù)法（微積分）的論文，受到其導(dǎo)師巴羅的極力肯定，但牛頓并沒有把這一成果發(fā)表，這造成了日后他和萊布尼茨關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的長期爭論。同年，巴羅決定放棄自己的盧卡斯（Lucas）講座教授席位，專心從事神學(xué)研究，并且由于欣賞牛頓的才能，而推薦27歲的牛頓繼任這一職位。這在科學(xué)史上被傳為一段佳話，劍橋大學(xué)三一學(xué)院前至今還樹立著這對師徒的雕像。,,,25,1668年，牛頓返回劍橋不久，獲得了碩士學(xué),怪異的牛頓,牛頓并不善于教學(xué)，他在講授新近發(fā)現(xiàn)的微積分時(shí)，學(xué)生都接受不了。但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了常人。還是

20、學(xué)生時(shí)，牛頓就發(fā)現(xiàn)了一種計(jì)算無限量的方法。他用這個(gè)秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數(shù)。他曾經(jīng)高價(jià)買下了一個(gè)棱鏡，并把它作為科學(xué)研究的工具，用它試驗(yàn)了白光分解為的有顏色的光。,,開始，他并不愿意發(fā)表他的觀察所得，他的發(fā)現(xiàn)都只是一種個(gè)人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨(dú)自遨游于自己所創(chuàng)造的超級世界里。,,,,26,怪異的牛頓 牛頓并不善于教學(xué)，他在講授新近發(fā)現(xiàn)的微積分,后來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強(qiáng)同意出版他的手稿，才有劃時(shí)代巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的問世。,作為大學(xué)教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領(lǐng)帶不結(jié)，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進(jìn)了大學(xué)餐廳。有一次，他在向一

21、位姑娘求婚時(shí)思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項(xiàng)式定理。他抓住姑娘的手指，錯(cuò)誤的把它當(dāng)成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去。牛頓也因此終生未娶。,,,27,后來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強(qiáng)同意出版他的手稿，才有劃,牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結(jié)果作出了科學(xué)史上一個(gè)個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。他馬虎拖沓，曾經(jīng)鬧過許多的笑話。一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)鍋里是一只懷表。還有一次，他請朋友吃飯，當(dāng)飯菜準(zhǔn)備好時(shí)，牛頓突然想到一個(gè)問題，便獨(dú)自進(jìn)了內(nèi)室，朋友等了他好久還是不見他出來，于是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了。等牛頓想起，出

22、來后，發(fā)現(xiàn)了盤子里的骨頭，以為自己已經(jīng)吃過了，便轉(zhuǎn)身又進(jìn)了內(nèi)室，繼續(xù)研究他的問題。,,,28,牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結(jié)果作出了科學(xué)史,,1688-1690年的政治生活擾亂了牛頓隱居生活的理想。當(dāng)時(shí)英國大學(xué)教授年薪200多英鎊，但是與他所接觸的貴族生活相比，牛頓感到這些報(bào)酬還是太少。牛頓為此曾向他的朋友、英國財(cái)政大臣哈里發(fā)爵士（Lord Halifax）抱怨。1695年3月19日，哈里發(fā)推薦牛頓為皇家造幣局局長，得到了皇帝的批準(zhǔn)，年薪500多英鎊。1699年牛頓升任造幣局總監(jiān)，年薪1200-1500英鎊。這使牛頓變得非常富有，要知道，牛頓在劍橋大學(xué)當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，一年的生活費(fèi)也不過才

23、20多英鎊,。,牛頓晚年,,,,29,1688-1690年的政治生活擾亂了牛頓隱居生,,隨著科學(xué)聲譽(yù)的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。,1689,年，他被當(dāng)選為國會中的大學(xué)代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠(yuǎn)給他帶來巨大成就的科學(xué)。他不時(shí)表示出對以他為代表的領(lǐng)域的厭惡。同時(shí)，他的大量的時(shí)間花費(fèi)在了和同時(shí)代的著名科學(xué)家如,胡克、萊布尼茲,等進(jìn)行,科學(xué)優(yōu)先權(quán)的爭論,上。,,,1683-1684,年，胡克、哈雷（,Edmund Halley,，,1656-1742,）、雷恩（,Christopher Wren,，,1632-1723,）等人先后發(fā)現(xiàn)了引力的平方反比定律，但是都無法證明。為此，雷恩愿

24、意以一本價(jià)值,40,先令的書饋贈能證明這個(gè)定律的人。胡克聲稱他已經(jīng)得到了證明，但是不愿公開其結(jié)果；,,,30,隨著科學(xué)聲譽(yù)的提高，,,1684,年,8,月，哈雷特意到劍橋詢問牛頓，牛頓稱這個(gè)問題他早已解決，并答應(yīng)給哈雷一份證明。同年,11,月，牛頓如約將他的證明送給哈雷。哈雷立即再次趕赴劍橋，勸說牛頓到皇家學(xué)會發(fā)表他的結(jié)果。,,1686,年，萬有引力理論的論文在皇家學(xué)會發(fā)表，而且皇家學(xué)會決定正式出版它。,,在一次皇家學(xué)會會議上，胡克聲稱他在幾年前就已經(jīng)證明了牛頓的上述結(jié)果，并且暗示牛頓是從他那里得到這種知識的，牛頓對此非常氣憤。,,,,31,1684年8月，哈雷特意到劍橋詢問牛頓，牛頓,,哈雷

25、從中進(jìn)行斡旋，試圖息事寧人。他勸牛頓：“胡克可能希望你可以在序言中提及他”，但是這遭到了牛頓的拒絕。經(jīng)過哈雷的再三勸說，牛頓最后才答應(yīng)寫下這樣一段腳注：“,牛頓、雷恩、胡克、哈雷都從開,普勒的定律得到了引力定律,”。可是接下來又出現(xiàn)了麻煩，即皇家學(xué)會沒有經(jīng)費(fèi)出版牛頓的著作。最后，還是哈雷用自己的錢在,1687,年出版了,《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》,。,,1704,年，牛頓的《光學(xué)》出版。因?yàn)樵诟戒浿信ｎD詳細(xì)論述了他的流數(shù)法，從而引起了和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論。,,,32,哈雷從中進(jìn)行斡旋，試圖息事寧人。他勸牛頓：“胡克可,晚年的牛頓開始致力于對神學(xué)的研究，他否定哲學(xué)的指導(dǎo)作用，虔誠地相信上

26、帝，埋頭于寫以神學(xué)為題材的著作。當(dāng)他遇到難以解釋的天體運(yùn)動時(shí)，竟提出了“神的第一推動力”的謬論。他說“上帝統(tǒng)治萬物，我們是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。,1727,年,3,月,20,日，偉大的艾薩克·牛頓逝世。同其他很多杰出的英國人一樣，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上鐫刻著：,,,讓人們歡呼這樣一位多么偉大的,,人曾經(jīng)在世界上存在。,,,,33,晚年的牛頓開始致力于對神學(xué)的研究，他否定哲學(xué)的指導(dǎo)作,萊布尼茲－－博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師,萊布尼,茲,（G.W.Leibniz，1646～1716）,是17、18世紀(jì)之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家 和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見的

27、科學(xué)天才。,“一個(gè)千古絕倫的大智者”,（羅素語，《西方哲學(xué)史》）,,,34,萊布尼茲－－博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師萊布尼茲（G.W.Leib,生平事跡,,,萊布尼茲1646年出生于德國東部萊比錫的一個(gè)書香之家，父親是萊比錫大學(xué)的哲學(xué)教授，母親出生在一個(gè)教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅,6,歲時(shí)便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學(xué)者的著作，由此而獲得了堅(jiān)實(shí)的文化功底和明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)。,,萊布尼茲,8歲自學(xué)拉丁文,，,14歲自學(xué)希臘文,，,15,歲,時(shí)，他進(jìn)了萊比錫,大學(xué),學(xué)習(xí)法律，一進(jìn)校便跟上了大學(xué)二年級標(biāo)準(zhǔn)的人文學(xué)科的課程，還廣泛閱讀了,培根、開

28、普勒、伽利略,等人的著作，并對他們的著述進(jìn)行深入的思考和評價(jià)。,,,35,生平事跡 萊布尼茲1646年出生于德國東部萊比錫的一,在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。,20,歲時(shí)，萊布尼茲轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學(xué)。這一年，他發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計(jì)算的結(jié)果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)才華。,,,萊布尼茲在阿爾特道夫大學(xué)獲得博士學(xué)位后便投身外交界。,1672,出使巴黎，在那里結(jié)識了惠更斯及其他許多杰出的學(xué)者,。不久，,萊布尼茲成了個(gè)第一流的外交家

29、。,,,36,在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼,在剛出訪巴黎時(shí)，萊布尼茲對他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)幾乎還一無所知。但他在,惠更斯,的指導(dǎo)下開始了真正的數(shù)學(xué)教育。他深受,帕斯卡,（,那時(shí)候笛卡爾、帕斯卡和費(fèi)爾馬均已過世,）事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費(fèi)爾馬、帕斯卡等人的著作。他很快發(fā)現(xiàn)自己是一個(gè)天生的數(shù)學(xué)家。,1673,年，萊布尼茲訪問倫敦，被推薦為英國皇家學(xué)會會員。他會見了許多數(shù)學(xué)家，學(xué)到了不少關(guān)于,無窮級數(shù),的知識，獲得了一本巴羅的《幾何講義》，還知道牛頓的一些工作。,,,,37,在剛出訪巴黎時(shí)，萊布尼茲對他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)幾乎還一無,,在他以后的研究中，主要致力

30、于切線問題以及求積問題。并根據(jù)巴羅的“微分三角形”，終于在,1684,年,10,月的《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了論文 “,一種求極大極小的奇妙類型的計(jì)算,”，這在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。,,萊布尼茲在求積問題的研究中第一批成果之一是求出一個(gè)單位圓的面積是無窮級數(shù),的四倍，即,,,38,在他以后的研究中，主要致力于切線問題以及求積問題。并,這篇僅6頁紙、內(nèi)容并不豐富、說理也頗含混的文章，卻具有劃時(shí)代的意義，它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則：,導(dǎo)數(shù)記作,1676年記作,后來在1693年的另一篇論文中,,,39,這篇僅6頁紙、內(nèi)容并不豐富、說理也頗含混的文章，卻具,用,萊布尼茲第一次明確地

31、表達(dá)了,求和和微分,之間的關(guān)系，這就是牛頓——萊布尼茲公式。,然而，萊布尼茲并不清楚怎樣從一個(gè)粗糙的式子,去求得面積，即怎樣從一組矩形得到曲線下的,面積。當(dāng)然，這個(gè)困難不僅困擾了牛頓和萊布尼茲，也困擾了17世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)家，這主要是因?yàn)?沒有清楚的極限概念,。,1686年，萊布尼茲發(fā)表了《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》，這是第一篇積分學(xué)論文。在,,,40,用 萊布尼茲第一次明確地表達(dá)了求和和微分之間的關(guān)系，這,這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問題與切線（微分）問題的互逆關(guān)系，還引入了積分概念及其符號,萊布尼茲的思想文獻(xiàn)分為兩類：一是1673年開始的手稿、筆記及友人的通信；二是16

32、84年開始發(fā)表的論文。在微積分方面的主要成果還有：,1）復(fù)合函數(shù)的微分法則；,2）弧微分法則,3）對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的微分法則；,4）在積分符號下對參變量求微分的方法；,,,41,這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問題與切線（微分）問題的,5）曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積公式；,6）求切線、求極大極小值以及求拐點(diǎn)的方法等。,數(shù)學(xué)方面的其它成就：,萊布尼茲在數(shù)學(xué)方面的成就是巨大的。他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。他的一系列重要數(shù)學(xué)理論的提出，為后來的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。,,,42,5）曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積公式；6）求切線、求極大,萊布尼茲曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出,

33、復(fù)數(shù),的,對數(shù),并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的。,他還對線性方程組進(jìn)行研究，對消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。,此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學(xué)的基本概念，發(fā)明了能夠進(jìn)行加、減、乘、除及開方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)和二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。,,,,43,萊布尼茲曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對數(shù)并不,1676,年，他到漢諾威公爵府擔(dān)任法律顧問兼圖書館館長。,1700,年被選為巴黎科學(xué)院院士，促成建立了柏林科學(xué)院并任首任院長。,,1716,年,11,月,14,日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年

34、,70,歲。,,,44,1676年，他到漢諾威公爵府擔(dān)任法律顧問兼圖書,,以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類數(shù)學(xué)問題，是分別的加以研究的。,,只有,萊布尼茲和牛頓,將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算。而這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)。并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運(yùn)算法則。,因此，微積分“,是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的,”.,,,45,以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類數(shù)學(xué)問,,然而關(guān)于微積分創(chuàng)立

35、的優(yōu)先權(quán)，在數(shù)學(xué)史上曾掀起了一場激烈的爭論。,,1704,年，牛頓的《光學(xué)》出版。因?yàn)樵诟戒浿信ｎD詳細(xì)論述了他的流數(shù)法，從而引起了和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論。其實(shí)微積分是牛頓和萊布尼茲獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，所不同的是，牛頓的發(fā)現(xiàn)時(shí)間較早，牛頓是,1666,年，而萊布尼茲是,1676,年左右；萊布尼茲的發(fā)表時(shí)間較早，萊布尼茲是,1684,年，而牛頓最早是在,1687,年的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》公布了他的流數(shù)法。,,,,46,然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu),,牛頓在,1687,年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小

36、值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外”,(,但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了,),。,,因此，后來人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茲是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。,,,47,牛頓在1687年出版,,牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動學(xué)，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。,萊布尼茲認(rèn)識到好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維勞動，運(yùn)用

37、符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大影響。,1713,年，萊布尼茲發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨(dú)立性。,,,48,牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn),,但是這種爭論產(chǎn)生了一個(gè)很不好的影響，就是英國數(shù)學(xué)家出于民族的自尊心，再加上對牛頓的過分崇拜，而拒絕了歐洲大陸的微積分。這種情況一直到19世紀(jì)初期才得到改變，而在此之前的一百多年，英倫本島沒有產(chǎn)生一位可以稱得上偉大的數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)在的歷史學(xué)家認(rèn)為，,萊布尼茲,的微積分之所以在歐洲大陸得到了普遍接受和巨大發(fā)展，一方面是因?yàn)槲⒎e分在解決實(shí)際問題中顯示出的

38、巨大威力，另一個(gè)很重要的方面則在于,萊布尼茲,創(chuàng)立了一整套微積分的數(shù)學(xué)符號，這些符號的絕大部分一直到現(xiàn)在人們還在使用。我們現(xiàn)在知道，好的數(shù)學(xué)符號對于數(shù)學(xué)思想的表達(dá)和數(shù)學(xué)本身的進(jìn)步是非常重要的。,,,,49,但是這種爭論產(chǎn)生了一個(gè)很不好的影響，就是英,,在牛頓和萊布尼茲之間，為爭論誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學(xué)生、支持者和數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長的一段時(shí)間，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。,,,應(yīng)該說，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績

39、，它必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茲在前人的基礎(chǔ)上各自獨(dú)立的建立起來的。,,,,50,在牛頓和萊布尼茲之間，,牛頓和萊布尼茲分別創(chuàng)建的微積分各有特色,首先，牛頓從力學(xué)或運(yùn)動學(xué)的角度，從速度的變化問題開始。他把連續(xù)變化的量稱為流量，把無限小的時(shí)間間隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在無限小時(shí)間內(nèi)的變化率，稱為流數(shù)，用上面帶點(diǎn)的字母,x,，,y,表示。牛頓建立了以流量、流數(shù)和瞬為基本概念的微積分學(xué)。而萊布尼茨從幾何學(xué)的角度，從求切線問題開始，突出了切線概念。他研究了求曲線的切線問題和求曲線下的面積問題的相互聯(lián)系，由

40、此建立起微積分學(xué)。,,,,51,牛頓和萊布尼茲分別創(chuàng)建的微積分各有特色 首先，牛頓從力,其次，牛頓作為物理學(xué)家，其工作方式是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和謹(jǐn)慎的，著力于將微積分成功地應(yīng)用到許多實(shí)際問題，以證明微積分方法的價(jià)值。萊布尼茨身兼哲學(xué)家，他的工作和思想富于想像和大膽，更著重于把微積分從各種特殊問題中概括和提升出來，尋求普遍化和系統(tǒng)化的運(yùn)算方法。,,第三，萊布尼茲在運(yùn)用和創(chuàng)造符號方面，比牛頓更花費(fèi)心思。他用,d,表示差額（,difference,的第一個(gè)字母），微分表示為,dx,，,dy,，對,n,階微分運(yùn)用了符號,dn,；而用∫表示總和,(sum,的第一個(gè)字母的拉長,),，即積分符號。人們公認(rèn)

41、，萊布尼茲的微積分符號簡明方便，以致沿用至今。,,,,52,其次，牛頓作為物理學(xué)家，其工作方式是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和,馬克思和恩格斯非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊譽(yù)：“,在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了。,”,,,,53,馬克思和恩格斯非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊,微積分的歷史意義,提供了定量處理與運(yùn)動、變化等有關(guān)的多種現(xiàn)實(shí)問題的強(qiáng)有力方法。,解析幾何與微積分的建立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)由初等數(shù)學(xué)（常量數(shù)學(xué)）時(shí)期向變量數(shù)學(xué)時(shí)期的重要轉(zhuǎn)變。,以極限方法為主要特征的微積分方法蘊(yùn)含著十分基本和重要的數(shù)學(xué)思想。,,,54,微積分的歷史意義提供了定量處理與運(yùn)動、變化等有關(guān)的多種現(xiàn)實(shí)問,微積分的歷史意義,微積分的建立，開辟了全新的、廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其后數(shù)學(xué)分析大廈逐步建立。,微積分的建立，使得數(shù)學(xué)的基本格局發(fā)生了變化，在這之前，數(shù)學(xué)主要有代數(shù)（包括算術(shù)）與幾何兩大領(lǐng)域，而微積分的建立，形成了代數(shù)、幾何與分析三足鼎立的局面。,,,55,微積分的歷史意義微積分的建立，開辟了全新的、廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，,