《統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章方差分析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章方差分析（46頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),第七章 方差分析,一、方差分析的基本問題,二、單因素方差分析,三、雙因素方差分析,方差分析,（,Analysis of Variance,ANOVA),是假設(shè)檢驗(yàn)的一種延續(xù)與擴(kuò)展，它可以解決諸如多個(gè)均值是否相等等方面的檢驗(yàn)問題，在因素分析中具有一定的優(yōu)勢(shì)。,例,4,：,一個(gè)兒童食品制造商生產(chǎn)兒童麥片，該制造商認(rèn)為以下三種因素影響麥片味道：,（,1,）麥片中小麥與玉米的比例；,（,2,）甜味劑類型的選擇：糖、蜂蜜等；,（,3,）制作時(shí)間的長短。,該例中,，食品制造商通過生產(chǎn)出不同類型的麥片并邀請(qǐng)兒童進(jìn)行,品

2、嘗試驗(yàn),，,最后發(fā)現(xiàn),：,（,1,）,麥片成份及甜味劑類型對(duì)麥片食味有很大影響；,（,2,）,制作時(shí)間對(duì)麥片食味沒有影響。,一、方差分析的基本問題,因此，,食品制造商可以對(duì)麥片成份及甜味劑類型給予充分的關(guān)注以生產(chǎn)更合兒童口味的麥片，而對(duì)制作時(shí)間不必太介意,。,方差分析,可以用來分析,不同因素,（如上例中小麥與玉米的比例、甜味劑類型、制作時(shí)間）,對(duì)總體特征是否有顯著影響,。,所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時(shí)則需要借助于方差,這個(gè)名字也表示：它是通過對(duì)數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進(jìn)行方差分析時(shí)，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源,方差分析主要用來

3、對(duì),多個(gè)總體均值是否相等,作出假設(shè)檢驗(yàn),。,例：,某飲料制造商生產(chǎn)一種新型飲料，共有四種顏色：,(1),橘黃、,(2),粉紅、,(3),綠色、,(4),無色。,該制造商想知道顏色是否對(duì)銷售量有顯著影響,，隨機(jī)抽取了,5,家超市前一期的銷售量（下表）進(jìn)行分析。,一、方差分析的內(nèi)容,下表,四種飲料銷售量情況,樣本均值,27.32 29.56 26.44 31.46,樣本方差,2.67 2.14 3.31 1.66,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,1.64 1.46 1.82 1.29,四種顏色可以看作是四個(gè)總體,其中，,i,(I=1,2,3,4),表示所有飲料（無色、粉紅、橘黃、綠色）銷售量之均值。,樣本來自于一,個(gè)

4、相同的總體,樣本來自于不同的總體,要知道顏色是否對(duì)飲料銷售有顯著影響，就是要知道四種顏色飲料銷售量的均值是否有顯著差異，即進(jìn)行下述假設(shè)檢驗(yàn)：,H,0,:,1,=,2,=,3,=,4,H,1,:,四個(gè)總體均值不全相等,1,、相關(guān)術(shù)語,因素,：,是一個(gè)獨(dú)立的變量，是方差分析的研究對(duì)象,（上例中的飲料,顏色,）；,二、方差分析的假設(shè),單因素方差分析,：,只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行分析；,多因素方差分析,：,同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行分析。,水平,：,因素中的內(nèi)容,（上例中飲料的四種顏色：無色、粉色、橘黃色、綠色）,2、進(jìn)行方差分析必須滿足如,下,假設(shè),（,1）,每個(gè)總體的相應(yīng)變量（因素）服從正態(tài)分布,對(duì)于因素的每

5、一個(gè)水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本,比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布,（,2）,所有總體相應(yīng)變量（因素）的方差相等,2,對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的,比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同,（,3）,不同觀察值（水平）相互獨(dú)立（每個(gè)樣本點(diǎn)的取值不影響其他樣本點(diǎn)的取值）,比如，每個(gè)超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨(dú)立,在上述假定條件下，判斷顏色對(duì)銷售量是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等的問題,如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近,四個(gè)樣本的均值越接近，我們推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分

6、,樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分,如果原假設(shè)成立，即,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,四種顏色飲料銷售的均值都相等,沒有系統(tǒng)誤差,這意味著每個(gè)樣本都來自均值為,、差為,2,的同一正態(tài)總體,X,f(X),1,2,3,4,如果備擇假設(shè)成立，即,H,1,:,m,i,(,i,=1，2，3,，4),不全相等,至少有一個(gè)總體的均值是不同的,有,系統(tǒng)誤差,這意味著四個(gè)樣本分別來自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體,X,f(X),3,1,2,4,觀察值之間的差異來自兩個(gè)方面：,某因素不同水平的影響,（系統(tǒng)性影響）,其他隨機(jī)因素的影響,（隨機(jī)性影響）,水平間方差,（組間方差）,水

7、平內(nèi)方差,（組內(nèi)方差）,三、方差分析的原理,如果原假設(shè)成立：,說明某因素不同水平的影響不顯著（無系統(tǒng)性影響），只剩下隨機(jī)性影響，因此組間方差與組內(nèi)方差差別不大，它們的比接近于,1,。,如果原假設(shè)不成立：,說明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內(nèi)方差差別較大，它們的比遠(yuǎn)超出,1。,二、單因素方差分析的步驟,提出假設(shè),構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)決策,提出假設(shè),一般提法,H,0,:,m,1,=,m,2,=,=,m,k,(,因素有,k,個(gè)水平）,H,1,:,m,1,，,m,2,，,，,m,k,不,全相等,對(duì)前面的例子,H,0,:,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,顏色對(duì)銷售量

8、沒有影響,H,0,:,m,1,，,m,2,，,m,3,，,m,4,不,全相等,顏色對(duì)銷售量有影響,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,為檢驗(yàn),H,0,是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算,水平的均值,全部觀察值的總均值,離差平方和,均方(,MS,),構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算水平的均值),假定從第,i,個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為,n,i,的簡單隨機(jī)樣本，第,i,個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù),計(jì)算公式為,式中：,n,i,為第,i,個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù),x,ij,為,第,i,個(gè)總體的第,j,個(gè)觀察值,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算全部觀察值的總均值),全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)

9、,計(jì)算公式為,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(前例計(jì)算結(jié)果),表8-2 四種顏色飲料的銷售量及均值,超市,(,j,),水平,A,(,i,),無色(,A,1,),粉色(,A,2,),橘黃色(,A,3,),綠色(,A,4,),1,2,3,4,5,26.5,28.7,25.1,29.1,27.2,31.2,28.3,30.8,27.9,29.6,27.9,25.1,28.5,24.2,26.5,30.8,29.6,32.4,31.7,32.8,合計(jì),136.6,147.8,132.2,157.3,573.9,水平均值,觀察值個(gè)數(shù),x,1,=,27.32,n,1,=5,x,2,=,29.56,n,2,=5,x,3

10、,=,26.44,n,3,=5,x,4,=,31.46,n,4,=5,總均值,x,=28.695,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算總離差平方和,SST,),全部觀察值 與總平均值 的離差平方和,反映全部觀察值的離散狀況,其計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果：,SST,=(26.5-28.695),2,+(28.7-28.695),2,+,+,(32.8-28.695),2,=115.9295,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和,SSE,),每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和,反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱,組內(nèi)離差平方和,該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小,計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果：,SS

11、E,=39.084,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算水平項(xiàng)平方和,SSA,),各組平均值 與總平均值 的離差平方和,反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱,組間平方和,該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差,計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果：,SSA,=76.8455,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(三個(gè)平方和的關(guān)系),總離差平方和(,SST,)、,誤差項(xiàng)離差平方和(,SSE,)、,水平項(xiàng)離差平方和,(,SSA,),之間的關(guān)系,SST,=,SSE,+,SSA,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(三個(gè)平方和的作用),SST,反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；,SSE,反映了隨機(jī)誤差的大小；,SSA,反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小,如果原假設(shè)

12、成立，即,H,1,H,2,H,k,為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和,SSA,除以自由度后的,均方,與組內(nèi)平方和,SSE,和除以自由度后的,均方,差異就不會(huì)太大；如果,組間均方,顯著地大于,組內(nèi)均方,，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差,判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較,組間方差,與,組內(nèi)方差,之間差異的大小,為檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個(gè)用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算均方,MS,),各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對(duì)離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為均方差,計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度,

13、三個(gè)平方和的自由度分別是,SST,的自由度為,n,-1,，,其中,n,為全部觀察值的個(gè)數(shù),SSA,的自由度為,k,-1,，,其中,k,為因素水平(總體)的個(gè)數(shù),SSE,的自由度為,n,-,k,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算均方,MS,),SSA,的均方也稱,組間方差,，記為,MSA,，,計(jì)算公式為,SSE,的均方也稱,組內(nèi)方差,，,記為,MSE,，,計(jì)算公式為,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,F,),將,MSA,和,MSE,進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,F,當(dāng),H,0,為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為,k,-1、,分母自由度為,n,-,k,的,F,分布，即,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(,F,分

14、布與拒絕域),如果均值相等，,F,=,MSA,/,MSE,1,a,F,分布,F,(,k,-1,n,-,k,),0,拒絕,H,0,不能拒絕,H,0,F,對(duì)原假設(shè)：,H,0,:,1,=,2,=,3,=,4,及備擇假設(shè)：,H,1,:,四個(gè)總體均值不全相等,計(jì)算,F,值：,F=MSA/MSE,=25.6152/2.4428=10.486,給出顯著性水平：,=0.05,，,查,F(,r-,1,n-r,),分布表臨界值：,3.24,由于計(jì)算的,F=10.4863.24,，,拒絕原假設(shè)，從而得出：,顏色對(duì)該公司飲料銷售有顯著影響。,三、雙因素方差分析,分析兩個(gè)因素(因素,A,和因素,B,),對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響

15、,分別對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行檢驗(yàn)，分析是一個(gè)因素在起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，還是兩個(gè)因素都不起作用,如果,A,和,B,對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷因素,A,和因素,B,對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為,無交互作用的雙因素方差分析,如果除了,A,和,B,對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素,A,和因素,B,的搭配還會(huì)對(duì)銷售量產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為,有交互作用的雙因素方差分析,對(duì)于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對(duì)每個(gè)因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同,雙因素方差分析中需假設(shè)兩個(gè)因素不交互作用，即各自獨(dú)立地發(fā)揮影響作用,。,（一）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),雙因素方差分析,雙因素方

16、差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),是因素,A,的第,i,個(gè)水平下各觀察值的平均值,是因素,B,的第,j,個(gè)水平下的各觀察值的均值,是全部,kr,個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總平均值,雙,因素方差分析的步驟,提出假設(shè),對(duì)因素,A,提出的假設(shè)為,H,0,:,m,1,=,m,2,=,=,m,i,=,=,m,k,(,m,i,為第,i,個(gè)水平的均值),H,1,:,m,i,(,i,=1,2,k,),不全相等,對(duì)因素,B,提出的假設(shè)為,H,0,:,m,1,=,m,2,=,=,m,j,=,=,m,r,(,m,j,為第,j,個(gè)水平的均值),H,1,:,m,j,(,j,=1,2,r,),不全相等,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,為檢驗(yàn),H,0,是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算,總離差平方和,水平項(xiàng)平方和,誤差項(xiàng)平方和,均方,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算總離差平方和,SST,),全部觀察值 與總平均值 的離差平方和,反映全部觀察值的離散狀況,計(jì)算公式為,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(計(jì)算,SSA,、,SSB,和,SSE,),因素,A,的離差平方和,SSA,因素,B,的離差平方和,SSB,誤差項(xiàng)平方和,SSE,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,(各平方和的關(guān)系),總離