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1、,,,,,,,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,數學教育哲學講座,,周 根 龍,2007年7月,,,一、引言,,,兩千多年來，數學一直處在絕對主義范式的統(tǒng)治,,下，這種認識范式視數學本體上是不可誤的、數學是客,,觀真理、且數學遠離人類事務和價值。,,當今越來越多的哲學家和數學家對此提出了異議，,,如,Laktaos,(1976)、Davis,與,Hersh,(1980)、,Tymoczko,,(1986),,他們認為數學是可誤的，像其它知識一樣，數,,學是人類創(chuàng)造的產物。,,,這一變化的意義（放棄數學的可靠性）：,,●,導

2、致人類根本沒有可靠的結論；,,●,放棄數學與生俱來的偽安全性；,,●,若數學是不可誤的客觀知識，則數學不必承擔任,,何社會責任；,,●,若數學是可誤的社會建構，則數學就是一個探究,,和認識的過程，是人類不斷創(chuàng)造和發(fā)明的廣闊天地，,,是不會終結的產物。,,,如此動態(tài)的數學觀對教育的影響舉足輕重：,,●,數學教學的目的應包括使學生獲得自我創(chuàng)造數學,,知識的能力；,,●,數學至少在學校要更新形式，以便所有社會群體,,易于接受其概念，并容易得到由它帶來的財富和權,,利,；,,●,再不可理所當然地把數學活動及其應用的涵義置之,,一邊，而對數學的潛在價值作出深入的分析。,,,在教學領域與數學觀相聯系的一些

3、基本問題：,,學習的本質：,數學學習理論的基礎由哪些哲學假說或,,可能隱含的假說所構成？應采納何種認識論和學習論？,,教育目的：,數學教育的目的是什么？誰提出的目的？,,為誰提出的目的？建立在什么價值標準上的目的？這,,個目的使誰受益，誰受損？,數學的本質：,數學教學依據什么哲學假說或可能的,,隱含假說？這些假說可靠嗎？為達到數學教育目的,,應采取何種方法？這些方法和目的一致嗎？,,,事實上，無論人們的意愿如何，一切數學教學法根,,本上都出于某一數學哲學，即便是很不規(guī)范的教學法也,,如此。（,Thom,1971）,問題并不在于教學的最好方式是什么，而在于數,,學到底是什么。┄┄如果不正視數學的

4、本質問題，便,,解決不了關于教學上的爭議。（,Hersh,,1979）,教師專業(yè)數學思想的形成與他們表達數學內容的,,典型方式存在著一致性，這有力說明了教師的數學觀、,,數學信仰和愛好的確影響著他們的教學活動。,,,二、絕對主義觀和可誤主義觀,,,數學哲學是哲學的一個分支。它的任務是反思,,并解釋數學的本質。,,數學知識是由具有證明的一組命題所構成的，,,由于數學證明僅依據推理而不求助于經驗材料，,,因此認為數學知識是所有知識中最為可靠的知識。,,,數學哲學傳統(tǒng)上把自己的任務看作為數學知識的,,可靠性提供基礎，即構建一個系統(tǒng)。在這系統(tǒng)中能夠,,編排數學知識從而能系統(tǒng)地建立起數學的真理性。,,,

5、這樣做取決于或明或暗地廣泛承認的下列假設：,,,數學哲學的任務是為數學知識，也可以說是為了,,數學真理奠定一個系統(tǒng)的并且絕對可靠的基礎。這個,,假設是基礎主義的依據，也就是這樣一個信條：數學,,哲學的作用是否為數學知識奠定可靠的基礎。,基礎主義與數學知識的絕對觀密切相關，因為基,,礎主義把驗證數學知識的絕對性這一任務視為數學哲,,學的中心任務。,,,1.數學知識的本質,,,傳統(tǒng)上，數學知識一直作為可靠知識的范式。,Newton,,的《原理》和,Spinozn,的《倫理學》都采用了,Euclid,的《幾,,何原本》的形式（公理化思想）。長期以來，數學一直作,,為人類所知的最可靠知識的源泉。,知識

6、的本質是什么？,,其哲學標準答案是，知識是已判定為合理的信念。,,,更準確地說，命題型知識由得到承認（即得到相,,信）的命題所組成，并有充分根據判定這些命題。,,,知識可以按照對它進行論證的依據進行分類。,先驗,,知識由僅僅根據推理而判定的那些命題所組成，而不依,,賴于對現實世界的觀察。,,,數學知識屬于先驗知識，因為它只由基于推理而斷,,定的命題所組成。,,,推理包括演繹邏輯和所用的定義，連同我們所假定,,的數學公理或公設，構成了推斷數學知識的基礎。因此,,數學知識的基礎，即確定數學命題真理性的依據，是由,,演繹證明所組成的。,,,數學知識的基礎，即確定數學命題真理性的依據，,,是由演繹證明

7、所組成的。,在證明中往往用到兩種類型的假設：數學的和邏,,輯的。,,邏輯假設即推理規(guī)則（整個證明理論的一部分）,,和邏輯句法，被認為是邏輯的基本組成部分，也是推,,理運用過程的組成部分。因此我們認為，邏輯毫無疑,,問是知識判定的依據。,,數學假設即數學公理或公設，是數學證明依賴的,,數學基礎 。,,數學假設的合理性又由誰來保證呢？,,,事實上，非歐幾何證明了，,Euclid,公理和平行公設,,被人們不再看作是基本的或無可爭辯的真理，不再認為,,任何這種真理之一遭否定或拒絕時都會引起矛盾?，F代,,數學知識包括了很多依賴于公理系假設的分支學科，而,,這些公理不可看作為基本的普遍真理，如群論公理或集

8、,,合論公理。,,2.,數學知識的絕對主義觀,,絕對主義數學觀：,,,認為數學真理是絕對可靠的,數學,,,是一種而且也許是唯一的一種確定的、,,,不容置疑的客觀知識領域。,,演繹法為數學知識的斷定提供了保證。,,,斷定數學（和邏輯）提供絕對可靠知識即真,,理的依據如下：,,首先，證明中的基本陳述視其為真，數學公,,理假定為真，以便這樣考慮使系統(tǒng)得到發(fā)展，數,,學定義令其為真，邏輯公理認其為真。,,其次，邏輯推理規(guī)則保持著真理性，即只承,,認由真理推導出來真理。,,,這種數學知識的絕對主義觀是建立在以下兩種假設,,基礎上：涉及公理和定義假設的數學假設，以及涉及公,,理假設、推理規(guī)則和形式語言及其

9、句法的邏輯假設。,羅素悖論,,,,Russel,通過定義“不是自身的一個元素”這一特性，,,提出了這個悖論。,Frege,規(guī)則允許這一特性的外延作為,,一個集合。但這樣一來，這個集合是自身的一個元素,,當且僅當它不是自身的一個元素，這就是一個矛盾。,,,這些矛盾的發(fā)現自然對數學知識的絕對主義,,觀是潛在的致命威脅。,,如果數學是可靠的，則它的所有定理都是可,,靠的，那么它的理論怎么會出現矛盾呢？,,,既然這虛張聲勢矛盾的出現并無錯誤，那么,,必定在數學基礎中出現了問題。,,這些危機帶來的結果是，數學哲學的一些學,,派發(fā)展起來，其目的是解釋數學知識的本質并重,,建它們的可靠性。三大學派分別是邏輯

10、主義、形,,式主義、構造主義（直覺主義）。,,A,．,邏輯主義,,,邏輯主義是把純數學作為邏輯基本構成成分的思,,想學派。,主要倡導者有,Leibniz,、,Frege,、,Russel,等人。,,,Russel,的觀點最為顯明。主要有兩個論點：,,（1）所有數學概念最終都可以歸結為邏輯概念；,,（2）所有數學真理都可以單作憑公理和邏輯推演,,規(guī)則得到證明。,,,,Russel,等人（1910-1913）用一系列的定義確立了上,,述第一論點，但是在第二點上失敗了。數學需要非邏輯,,公理如無窮公理（所有自然數的集合都是無窮的）和選,,擇公理。,,因此不是所有的數學定理（真理）都能單純從邏輯,,公

11、理導出。許多重要的數學公理確實是獨立的，并且無,,論采用這些公理還是否定這些公理都不會引起矛盾。,,,后來邏輯主義想了許多方法來改進，但后來都失敗,,了，因此把數學知識的確定性歸結為邏輯的確定性這一,,邏輯主義綱領已在原則上失敗了。邏輯不能為數學知識,,提供可靠的基礎。,,B．,形式主義,,,通俗地說，形式主義是如下觀點：數學是按規(guī)則在,,紙上用符號所做的一種無意義的形式游戲。,,Hilbert,的形式主義綱領旨在把數學轉化為不予解,,釋的形式系統(tǒng)。,,Hilbert,借助一種有限制然而有意義的元數學，通過,,導出所有數學真理的形式的對應產物來說明他的形式系,,統(tǒng)適合于數學，并通過相容性證明說

12、明該形式系統(tǒng)對數,,學是可靠的。,,,但,Godel,的不完全理論（,1931,）證明了這是一個,,無法實現的綱領。,,其第一個定理證明了甚至不是所有算術定理都能,,由,Peano,公理（或任意一個更大的遞歸公理系統(tǒng)）導,,出。,,第二個定理證明了對所要研究的系統(tǒng)而言，證明,,其相容性需要比維持系統(tǒng)的“自我完善”更強的元數學，,,所以也就根本無所謂系統(tǒng)的“自我完整”可言。(,形式系,,統(tǒng)無法保證自身的可靠性),,C,．,構造主義,,,構造主義綱領是數學知識的一種重建（數學活動的,,改革），以防止數學意義的喪失或陷入矛盾。,最著名的構造主義者是直覺主義者,Brouwer,.,,持構造主義觀點的數

13、學家的共同觀點是，經典數學,,或許靠不住，需要用“構造”的方法和推理重建數學。,,他們主張數學真理和數學對象的存在性這兩者都必,,須由構造的方法加以確定。這即是說，證實真理性和存,,在性，就需要數學地加以改造。這和利用矛盾加以證明,,的反證法相對立（他們也不承認邏輯上的排中律）。,,,對于構造主義者來說，知識必須通過構造主義邏輯,,的構造性證明加以確立。,數學術語或對象的意義應通過這一形式過程，使,,得數學術語或對象得以構造出來。,,直覺主義是構造主義的代表。其不僅無法解釋非構,,造性經典數學的實質，而且否定它的有效性。既沒有證,,實經典數學所面臨的無法回避的問題，也沒有說明經典,,數學的非協(xié)

14、調性和非真實性。事實上，其綱領提出后，,,經典的純粹和應用數學的走勢越來越強，因此直覺主義,,遭到人們的拒絕。,,3,．可誤主義觀,,,可誤主義觀：數學真理是可誤的且是可以糾正的，,,決不能把數學知識看作是不能糾正或更改的真理。,反面的表達形式：,,,數學知識不是絕對真理，它沒有絕對有效性。,,正面的表達形式：,,,數學知識中可糾正的且永遠要接受更正。,其代表人物是,Lakatos,。,,,三、 數學哲學的重新認識,,上面我們是在這樣的假設下進行思考的：數學知識是,,一組附有證明的命題形式的真理，而數學哲學的功能就是,,建立這種知識的可靠性。當我們發(fā)現這一假設站不住腳時，,,就不得不重新考慮數

15、學哲學的本質。,什么是數學哲學的功能和范圍呢？,,數學哲學不應僅考慮其“內在問題”，而應把數學放在,,人類思想和人類歷史的大背景中來考慮。數學哲學應該全,,面考慮人類創(chuàng)造知識的環(huán)境和數學的歷史根源。,,如果認識論僅注重單一靜態(tài)的知識形式，而忽略知識,,發(fā)展的動態(tài)，那么它就不能恰當地解釋知識。,,絕對主義觀和可誤主義觀比較,絕對主義觀：,注重終結的或展現了的知識，以及知識的基礎和判定；,,把知識看作一種客觀成果的知識，常根本否定涉及知識發(fā)生的哲學合理性，并把知識發(fā)生問題推給心理學和社會科學（構造主義除外）。,可誤主義觀：,注重知識發(fā)生和人類對創(chuàng)造知識的貢獻；,,能認識到出錯在數學中的作用,。,,

16、絕對主義觀,：,,數學（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識領域的地,,位，數學只依賴嚴格的證明，同時還否認數學與歷史、,,知識發(fā)生以及人類環(huán)境條件相關的內在聯系，這一切助長了把數學當作單獨的分離學科的觀點。,可誤主義觀,：,,可誤主義把更多的內容納入了數學哲學的范圍。由于數學是可誤的，因此認為數學絕不能與物理學及其他科學的經驗（因而是可誤的）知識相分離。,可誤主義注重數學知識的發(fā)生及結果，從而把數學,,看作是歷史及人類實踐的組成部分。數學不能脫離人類學和社會科學，或者一般地看作人類文化的一部分。數學與人類的整體知識結構相關，是其不可分割的一部分。,,絕對主義觀,：,數學是客觀存在，無所謂價值，僅涉

17、及數學本身的,,內在邏輯。,僅從數學內部考慮問題，因此把數學當作是,,客觀的、絕對超道德的人性價值的知識。,,可誤主義觀,：,,數學充滿著像其他知識領域或人類奮斗一樣的人性,,價值。,通過數學歷史和社會淵源，把數學與其他人類聯系在一起，認為數學賦有價值，充滿道德價值和社會價值，這些價值在數學應用和發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。,,數學哲學應解釋,,（1）數學知識（它的本質、判定和生成）；,一種合適的數學哲學標準：,過去對數學哲學是研究數學知識的邏輯基礎的錯誤認識掩蓋了數學哲學的上述任務。,,（2）數學對象（它們的本質和根源）；,（3）數學應用（在科學、技術和其他領域中數學的有效性）；,,（4）數學實踐

18、（數學家的活動：現在的和過去的）。,,運用新標準對各哲學學派作進一步分析：,A,,絕對主義學派,,,他們的任務本應解釋數學的本質，包括解釋諸如數學,,運用和數學生成等外在的社會及歷史因素。由于三大學,,派狹隘、排他的固有偏見，因而他們不可能以寬廣的思,,路去構想并表達數學（直覺主義可能除外）。他們不僅,,不能達到自己選擇的基礎主義的目標，而且即使達到了，,,其數學哲學對于新標準來說仍是不夠恰當的。,,,B,進步絕對主義（相對形式絕對主義而言）,,,不同的絕對主義概念的關鍵在于它們對數學知識和理論,,采取靜態(tài)還是動態(tài)觀。形式主義和邏輯主義是形式絕對主義，,,他們承認在數學公理基礎上能夠發(fā)現和證明

19、數學理論的新定,,理。而他們既不觸及數學理論的創(chuàng)造或變化，也不觸及非形,,式數學，更不用說觸及人類的作用。根據他們的觀點，數學,,不過由固定、形式的理論所組成。,,進步絕對主義哲學：,（1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；,（2）由于需要數學直覺作為理論創(chuàng)造的基礎，因而,,,承認純形式數學之外還有其他類型的數學存在；,（3）承認新知識和理論創(chuàng)造中人類活動和活動的結果。,,C,,柏拉圖主義,,,柏拉圖主義觀把數學對象當作某個理念領域里的真,,實、客觀存在。數學結構和對象不依賴于人類而真實存,,在，做數學即是發(fā)現這些結構和對象的先驗存在關系的,,過程。數學知識是由這些對象以及對其關系和結構的描,,述所組

20、成。,缺陷：,,（1）沒有恰當地解釋數學家們如何獲得柏拉圖王國中,,的知識；,,（2）既不內在也不可外在地恰當地解釋數學。,真實性、客觀存在性、似自主性——即數學服從于,,自身的內在規(guī)律和邏輯）,,,D,,約定主義,,數學約定主義觀認為，數學知識和真理基于語言,,約定。特別認為邏輯和數學的真理性，可根據所涉及,,的術語的意義加以分析。把語言約定作為基本數學定,,理的根基，數學大廈建構在這一根基上。它指明了數,,學的基本社會性質。,,E,,經驗主義,,數學真理是經驗的概括。,數學概念起源于經驗。,數學真理可用經驗來判斷，即數學真理來自于,,對物理世界的觀察。,,F,,擬經驗主義,數學是數學家做的

21、或曾經做過的事情，它具有任,,何人類活動或創(chuàng)造所固有的不完善性。擬經驗主義把,,數學實踐放在首位。,,擬經驗主義數學觀要點：,數學是處理數學問題時人與人之間的對話。數學,,是可誤的，決不可認為數學結果（包括概念和證明）,,是最終的或完善的，它們可以嚴密性的標準的變化，,,或隨著新的挑戰(zhàn)、新意義的產生，而需要重新商榷。,,由于數學是人類的活動，因此我們就不能把它與它的,,歷史以及在其他領域中的應用割裂開來。,擬經驗主義代表著“近代數學哲學中經驗主義的復興”。,,擬經驗主義的五個觀點：,,（1）數學是可誤的；,（2）數學是假設-演繹的；,（3）歷史是核心；,（4）斷定非形式數學的首要性；,（5）知

22、識創(chuàng)造理論。,,,數學發(fā)現或非形式化數學理論的發(fā)展有一個簡單,,模式，它包括下列步驟：,,（1）最初設想；,（2）證明；,（3）產生“總體”反例（最初設想的反例）；,（4）重新檢驗證明；,（5）檢查其他定理的證明，以便觀察在這些證明中是否出,,現那個新發(fā)現的引理或那個新的產生于證明的概念；或許,,發(fā)現這個概念處于不同證明的交合處，出現這種情況帶有,,基本重要的意義；,（6）檢驗那些受批駁的最初設想的而迄今仍被承認的結果；,（7）反例變成新例子——開辟新的研究領域。,,,Lakatos,的數學哲學的實質在于數學知識的發(fā)生論，,,這是數學實踐的理論，所以也是數學歷史的理論。,,,Lakatos,未

23、指出數學創(chuàng)造或發(fā)現的心理學理論，因,,為他沒有研究個體頭腦中的公理、定義和猜想的起因，,,而注重于將個人的創(chuàng)造轉換成大家承認的公開的數學,,知識這個過程——一個主要包括批判和再形成的過程。,擬經驗主義部分地論述了數學知識的本質、它的發(fā),,生和判定。,,,,Lakatos,把數學知識的本質解釋成假設——演繹式,,的、擬經驗的，形成了與波普爾的科學哲學極其想像的,,結果。,,,,,Lakatos,哲學一個關鍵長處在于它不是規(guī)定性的,,而是表述性的，他努力表述數學的本來面目，而不是,,表述它應該如何加以實踐數學。,缺陷：沒有解釋數學的可靠性，沒有論述數學對,,象或其發(fā)生的本質，沒有解釋應用數學的本質

24、，沒有,,證實把數學史作為其數學哲學的實質點的這種做法的,,合理性。,,四、作為數學哲學的社會建構主義,,社會建構主義將數學視為社會的建構，它吸取了約定主,,義的思想，承認人類知識、規(guī)則和約定對數學真理的確定和,,判定起著關鍵作用。,它汲取擬經驗主義的可誤主義認識論，其中包括數學知,,識和概念是發(fā)展和變化的思想。,它還采納,Lakatos,的哲學論點，即按照一種數學發(fā)現的,,邏輯，數學知識在猜想和反駁中得到發(fā)展。,社會建構主義相對規(guī)定性哲學來說是一種描述性數學,,哲學，旨在合適的標準下解釋普遍所理解的數學的本質。,,,之所以采用社會建構的說法，其依據是：,（1）數學知識的基礎是語言知識、約定和

25、規(guī)則，而,,語言是一種社會建構。,（2）個人的主觀數學知識公布后轉化為使人接受的,,客觀數學知識，這需要人際交往的社會過程。,（3）客觀性本身應理解為社會的。,,像擬經驗主義一樣，社會建構主義的核心是數學知識,,的生成，而不是數學知識的判定。,新知識可以是主觀知識或客觀知識，其獨到之處在于,,同時考慮這兩種知識形式，并將主觀知識和客觀知識循環(huán),,聯系起來，其中每一個促進另一個的更新。,在這個循環(huán)中，新的主觀知識從主觀知識（個體的個,,人創(chuàng)造）開始，經發(fā)表而形成客觀知識（通過主體間的審,,視、再形成和接受）。,,在數學學習過程中客觀知識被個體內化和再建構，成為,,個體的主觀知識。根據這個知識，個

26、體創(chuàng)造并發(fā)表新的數學,,知識，從而形成循環(huán)。,,,因此數學主觀知識和客觀知識彼此促成對方的產生和,,再產生。,,知識產生的社會建構主義學說的基本假說：,,,（1）個體具有主觀數學知識（再建構的客觀知識和,,新創(chuàng)造的主觀數學知識）。,（2）發(fā)表是主觀數學知識變成客觀知識所必要的。,,,（3）發(fā)表的數學知識歷經,Lakatos,所說的啟發(fā)式,,過程變?yōu)榭陀^的知識（社會性的接受）。,（,4）啟發(fā)式過程取決于客觀標準（即審視、評判,,數學知識的標準）。,,,（5）評判發(fā)表了的數學知識，其客觀標準是建,,立在客觀語言知識及數學知識的基礎上。,（6）數學主觀知識根本上是內化了的，再建構了,,的客觀知識。,

27、,（7）在數學知識的增添、再建或再現方面，個人,,能夠發(fā)揮作用。,,,1.客觀知識和主觀知識,,我們稱物質世界為“第一世界”，我們的意識經驗世界,,為“第二世界”，書本、圖書館、電腦以及類似東西中的邏,,輯內容為“第三世界”。,,主觀知識是第二世界的知識，客觀知識是第三世界的,,知識，它包括人類思想的產物，如發(fā)表的定理、對這些定,,理中有關問題的討論以及定理證明；客觀知識是由人創(chuàng)造,,的、是變化的。對于客觀知識是指共有的、主體間的知識，,,即使是隱含、未充分表達清楚的也算在其中。,,,客觀數學知識的作用：,,根據社會建構主義的看法，公開了的數學，即在公開,,領域中用符號表現的數學有可能成為客觀

28、知識。,把,Lakatos,的數學發(fā)現邏輯用于公開了的數學，這是一,,個獲得社會承認進而獲得客觀性的過程。數學公理、定理、,,猜想以及證明一旦形成并公開（即使是口頭上），自動的,,（即社會承認的）啟發(fā)即開始進行。,,無論這個過程還是它的結果都是為社會所接受的，因,,而是客觀的。同樣獲得社會性承認的語言、邏輯約定和規(guī),,則（隱含的或明確的）也是客觀的，這些約定和規(guī)則是啟,,發(fā)式過程的依據。,根據約定主義觀，我們斷言，正是這些約定和規(guī)則構成,,數學知識（包括邏輯）的基礎，因為它們提供了邏輯和數學,,定義的根據，同樣也提供了邏輯和數學公理及規(guī)則的依據。,,數學主觀知識的作用：,主觀知識維持并更新著客

29、觀知識，不管是,,,數學、邏輯或語言的知識。主觀知識在社會建,,,構主義的數學哲學中居于核心地位。,,2.社會建構學說對數學的哲學解釋：,,A,,數學的客觀性,,通過對絕對主義的有力批判，我們接受了數學知識的可,,誤性。,數學知識的可誤性是社會建構主義的核心假說，然而，,,人們仍然普遍把數學知識及數學對象的客觀性作為數學的特,,性，所以任何一個數學哲學都必須對此作出解釋。,我們已經明確，客觀性應理解為在于公眾，在于主體之,,間的約定，即客觀性是社會的。因此數學的客觀性即是說數,,學知識和對象是自主存在的，對于這個存在，主體間是有約,,定的，而與任何個體的主觀知識無關。,為數學客觀性提供基礎的基

30、質是語言。,,B,,數學對象,,數學知識的客觀性是社會性的，它建立在人們對語言規(guī)則,,的接受上，而語言規(guī)則是人們交流所必須的。,社會性接受也是數學對象獨立存在的基礎。數學概念和數,,學對象具有客觀實在性?？陀^的數學定義和真理明確決定數學,,對象的規(guī)則和性質。,這就使它們具有同其他社會概念一樣多的客觀存在意義。,,正如普通語言術語具有社會存在意義一樣，數學對象通過數學,,知識的客觀性而獲得了穩(wěn)定性（即定義的穩(wěn)定性），接著又使,,自己得到了永久性和客觀存在性。,數學對象的客觀性是不可避免地伴隨著對某些論題形式的,,承認而來的本體論的承諾。,,,數學對象也有不同，從描述感知世界的自然語言中相,,對具

31、體的事物，到抽象的數學理論實體，許多東西離其基,,礎都相當遠了。,,許多初等數學術語和概念都是在現實世界中有實例和,,具體的應用，因為它們是用以描述自然（社會）世界的語,,言的一部分。,用說明數學知識是客觀知識的同樣方式可以說明數學,,對象是客觀的，它們是普通的語言對象，其中有些是具體,,的，但多數是抽象的。,,,C,,數學知識的發(fā)生,,承認數學是社會建構的，就是承認客觀數學知識是人類,,的產物。,個體的數學思想是主觀思想，書寫是典型的表現形式。,,經過公開的批判審視，一經公布的主觀思想變成了客觀思想，,,其關鍵在于社會的接受。,數學知識發(fā)生的決定性特征是從公開表示的（主觀）,,數學知識向客觀

32、知識的轉換，即變成社會接受的數學知識。,,這一轉換取決于能否經受公開審視和批判的過程。,,D,,數學創(chuàng)造的多樣性,,某些知識的增加形成了內容上的增加，而另外一些知,,識卻是現有知識的再構造或再闡述。,數學家是在已經建立的數學理論下從事工作，許多工,,作是在理論的現有方面發(fā)展新結果，或把理論中的現有方,,法用于一些問題。,如果這些工作富有成果，那么就會使數學知識在整體,,上有所增加。,,數學家還把一個理論中的概念和方法用于另一個理論，,,或設法使以前分隔開存在的理論有所聯系。,這些工作使分隔的數學間形成了新的結構聯系，這就,,形成了新的數學再構造。如果在新的聯系作用下，兩個理,,論被重新構造、重

33、獲闡述并緊密地結合起來，那么這個工作,,就值得考慮了。,最后在某些往往是為了解決某個問題的理論研究中，,,會產生新的數學理論，這些可能是額外的新理論，也可能,,把先前的理論納入更大的、更一般的（普遍）的理論中去，,,像這樣逐步走向更抽象和更一般化，是數學知識再建構的,,主要因素。因為越一般化的理論其運用范圍越廣，一些專,,門的前期理論可以歸入更一般的結構中去（如集合論）。,,E,,數學的可應用性,社會建構主義要成為恰當的理論，就必須解釋“數學在,,科學中不可思議的有效性”（,Wigner,,1960）。,社會建構主義可以從以下兩個方面解釋數學的（實際）,,可應用性：,（1）數學建立在我們經驗的

34、自然語言基礎上；,（2）擬經驗主義的數學觀說明了數學與經驗科學無論如何,,沒什么多大差別。,,,,人們如何獲取主觀知識包括語言知識？,兩大要點：,,第一，在經驗以往知識的基礎上，存在著知識的主,,動建構，典型的有概念和假設，它們?yōu)槔斫獯蛳禄A，,,并指導未來的行為。,第二，在實際行動和講話模式中，人的經驗以及物,,質世界的相互作用發(fā)揮了必不缺少的作用。,3.主觀知識的獲取,,主要結論：,（1）主觀知識不是被動接受的，而是由認知主體主動,,建構的。認知的功能是適應并應用于個人經驗世界的組構；,,（,Glasersfeld,,1989）,（2）,這個過程解釋了世界和語言（包括數學）的主觀,,知識。

35、,（3）物質和社會的客觀制約對主觀知識具有塑造作用，,,這種作用使得主觀知識與客觀知識之間相一致；,（4）意義只能由個體賦予，而不是由任何符號體系固有的。,,4.數學知識的建構,語言知識為客觀數學知識提供了基礎（發(fā)生的和判定,,的）。獲取數學知識要從獲得語言知識開始。,從基本數學術語的自然語言記載、這些術語的日常使,,用知識以及術語間的聯系知識，并從提供邏輯和邏輯真理,,基礎的規(guī)則和約定中，我們看到自然語言包含數學之基礎。,因為數學的發(fā)生的判定基礎都是通過語言獲得的，因,,為數學概念和命題發(fā)生的基礎都是通過語言獲得的，因為,,數學概念和命題發(fā)生的基礎以及命題型數學知識的判定基,,礎都是建立在語

36、言知識上。另外，主觀數學知識的結構，,,特別是它的概念結構亦是通過語言獲得而建立的。,,數學知識的特點之一是它具有等級性和層次性，在術,,語和概念中尤其如此，這就是數學知識的邏輯性質，它既,,顯現在公開展現的客觀數學知識中，又顯現在主觀數學知,,識中。,,客觀數學知識的層次性：無論科學還是數學中的概念,,和術語，在任何理論中都可以分為加以定義的和當作初始,,的、不加定義的兩部分。,加以定義的術語是其他術語來定義的，經過有限次定,,義環(huán)節(jié)后，從一連串定義最終可以尋蹤到初始的術語，不,,然定義就會基于或造成無限回歸狀態(tài)。,,根據術語分為初始的和加以定義的兩類，我們可作出,,一個簡單的歸納法定義，來

37、規(guī)定層次結構中每個術語的水,,平。,在主觀知識領域，至少從理論上我們能夠把概念類似,,地分為初始的觀察得到的概念和用其他概念的抽象概念。,,這樣或以賦予主觀數學理論的術語和概念以層次結構。較,,高層次的術語是用較低層次的術語定義的。,個人數學上的主觀概念知識是按層次排序的。主觀知,,識的縱向過程包括概括、抽象、具體化以及概念的形成。,,主觀數學知識的逐漸增加的復雜性可歸因于對概念,,和性質作詳盡解釋和澄清的橫向過程。這兩種過程的方,,向與歸納、演繹過程所涉及的方向分別類似,。,,主觀數學知識的概念和命題的發(fā)生有如下四個結論：,,（1）數學概念和命題來源并植根于自然語言的概念,,和命題中，它伴隨

38、語言能力而被人獲取（被構造）。,,（2）它們可分為初始的和導出的概念和命題。概念可,,分為基于觀察、直接感知經驗的概念和用其他術語和概念,,語言定義的或從中抽象出來的概念。同樣，命題也包括由,,語言獲得的命題和從原有數學命題中推導出來的命題。,（3）概念的區(qū)分以及這些概念定義的排序導致形成了,,概念的主觀（或個人的）層次結構（命題按其構成的概念,,與該層次結構發(fā)生聯系）。,（4）主觀數學概念和命題的發(fā)生利用導出概念和命題,,的縱向和橫向過程。這些過程采取歸納和演繹推理的形式。,,5.主觀知識與客觀知識間的關系,,數學客觀知識和主觀知識的關系是社會建構主義數學哲,,學的核心。,根據這一哲學認識，

39、兩種知識相互依存并有助于彼此再,,創(chuàng)造。首先，在教師和他人的相互作用下，并通過解釋課文,,及其他無生命的資料，個人把客觀數學知識再建構為主觀知,,識。正如強調的那樣，與他人的相互作用（特別是通過負面,,反饋）提供了促進個人主觀數學知識與社會接受的客觀數學,,相適應的方式?！霸俳嫛边@一用于對數學知識的主觀表現的,,術語，決不能認為它意味著這一主觀表現能與客觀數學知識,,相匹配。再建構更應看成是主觀知識或多或少地適合于社會,,接受的數學知識（以一種或多種表示形式）。,,其次，主觀數學知識以兩種途徑對客觀知識產生影響。,,其中一個途徑是個人的數學創(chuàng)造經過評判而成為客觀數學知,,識的一部分。這一途徑

40、代表著新的創(chuàng)造（包括原有數學的再,,建構）加入客觀數學知識體中的途徑。它還表示現有數學理,,論的再形成、相互聯系或得到統(tǒng)一的方法。因此它不僅包括,,處于數學知識邊緣的創(chuàng)造，而且還包括貫穿于整個數學知識,,體的創(chuàng)造。這是主觀數學知識明顯有助于客觀數學知識創(chuàng)造,,的方式。,然而主觀數學知識對客觀知識的貢獻還有一個影響更深遠但卻是隱含的方式。,,,社會建構主義認為，客觀數學知識是社會的，不包括在,,課本或其他記載材料中，也不包括在某種理念領域中。,客觀數學知識存在于社會個體成員共有的規(guī)則、約定、,,理解和取義中，同時亦存在于它們（必然還有其社會途徑）,,的相互作用中。,因此，隨著主觀知識的增長，客觀

41、數學知識在無數個人,,頭腦中不斷得到再創(chuàng)造和再更新。這就奠定了客觀知識的基,,礎，國為正是通過主觀表現，社會、語言規(guī)則和約定以及人,,類相互作用才得以維持。,,反之，這些彼此遵守的規(guī)則使某些已形成的數學合理,,地成為人們可接受的客觀數學知識。因此，客觀數學知識,,通過社會群體自身的延續(xù)和繁衍面保留下來，客觀數學知,,識通過主觀數學知識（包括關于出版的數學文本中符號意,,義的知識）的傳遞而代代相傳。,客觀數學知識的生存依賴于社會成員的主觀知識。,主觀知識的總和并不等于客觀知識。主觀知識本質上是,,個人所有的，而客觀知識是公開的和社會的，所以雖然數學,,客觀知識建立在對其不斷地進行再創(chuàng)造的主觀知識

42、基礎上，,,但它不能歸約為主觀知識。,,,數學客觀知識存在并貫穿于人類的活動、相互作用和,,規(guī)則的社會世界中；客觀知識由個人的主觀數學（以及語,,言和社會生活）知識來維系，這些知識需要不斷的再創(chuàng)造。,,主觀數學知識再創(chuàng)造客觀知識而后者不能歸約為前者。,通過社會作用和社會承認的媒介，主觀知識導致數學,,知識的發(fā)生，同時它還維持并再創(chuàng)造建立在個人主觀知識基,,礎上的客觀知識?？陀^知識所體現的，正是主觀知識生成和,,再創(chuàng)造得到允許的那些東西。于是得到一個循環(huán)關系：主觀,,知識創(chuàng)造客觀知識，反過來客觀知識又導致主觀知識的產生。,,,對社會建構主義的批評：,（1）數學是隨意和相對的。,（數學的隨意性來自數學知識建立在語言約定和規(guī)則之上,,這一事實。客觀知識是特定人群在特定時期的知識。）,（2）社會建構主義的社會群體不明。,,