《華南農(nóng)大高數(shù)第5章多元函數(shù)微積分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《華南農(nóng)大高數(shù)第5章多元函數(shù)微積分（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,多元函數(shù)的極值,二重積分的概念,,多元函數(shù)的極值的概念,定義 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x,0,,y,0,)的某個鄰域內(nèi)有定義，對,,于該鄰域內(nèi)異于(x,0,,y,0,)的點(x,y)，如果都適合,f(x,y)f(x,0,,y,0,),，,,則稱函數(shù)在點(x,0,,y,0,)處

2、有,極小值,。極大值、極小值統(tǒng)稱為,極值,。,,使得函數(shù)取得極值的點稱為,極值點,。,極值是局部特性,,二元函數(shù)的極值圖例,有極小值,有極大值,,在原點沒有極值,二元函數(shù)的極值圖例,,極值存在的必要,、,充分條件,極值存在的必要條件——,各偏導(dǎo)存在的極值點一定是,駐點,。,駐點——使各偏導(dǎo)數(shù)均為零的點。,極值存在的充分條件——（以二元函數(shù)為例）,設(shè)函數(shù),在點,的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且,有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又,是駐點，令,則：（1）當(dāng),AC-B,2,> 0,時，函數(shù),取到極值,，且當(dāng)A > 0 時取,極小值，當(dāng)A < 0 時取極大值。,（2）當(dāng),AC-B,2,< 0,時，函數(shù),取不到極值,。,（3

3、）當(dāng)AC-B,2,= 0 時，函數(shù)可能,取到,也可能,取不到,極值。,,例1,求函數(shù),的極值。,解：,解方程組,得駐點：,求出二階偏導(dǎo)：,在點 處，,又,所以,是極小值。,在點 處，,所以函數(shù)在該點沒在極值。,在點 處，,所以函數(shù)在該點沒在極值。,在點 處，,又,所以,是極大值。,,最大最小值問題,若函數(shù)在某區(qū)域 D 上有最值，那么最值一定是在,,極值點或邊界上取得。,在實際應(yīng)用中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域,,D 內(nèi)部取到最值，而函數(shù)在 D 內(nèi)又只有,唯一的駐點,，則,,可判定函數(shù)在該駐點即取得最值。,,,例2,要做

4、一個容積等于 K 的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇,,水池的尺寸，方可使它的表面積最??？,解,設(shè)長方體的長寬高分別為x,y,z,解方程組：,得：,從而,由問題的實際意義知，這時表面積獲得最小值：,則 xyz=K,,以上問題可以看成是表面積,在條件,下的極值（最值）問題——條件極值。,求,條件極值,的,拉格朗日乘數(shù)法：,例如：求函數(shù),滿足條件 的極值。,作函數(shù)：,其中 是常數(shù)，稱為,拉格朗日乘數(shù),。,（拉格朗日函數(shù)）,解方程組：,所得點,是,可能的極值點。,,,例2,要做一個容積等于 K 的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇,,水池的尺寸，方可

5、使它的表面積最?。?解,表面積,得：,由問題的實際意義知，這時表面積獲得最小值：,約束條件：,令：,解方程組：,,例3,從斜邊長為 4 的所有直角三角形中求面積最大者。,4,解,：三角形面積,約束條件：,令,解方程組,得,由問題的實際意義知，這時三角形的面積獲最大值：,,例3,從斜邊長為 4 的所有直角三角形中求面積最大者。,4,解,：三角形面積,約束條件：,可將約束條件代入把問題化為求,,一元函數(shù)無條件極值的問題。,令,得：,條件極值可轉(zhuǎn)化成無條件極值,,二重積分的引入,——,曲頂柱體的體積（演示）,.,求曲頂柱體的體積,記,用平頂柱體體積,,作近似替換,（1）細分,,（2）近似替換,,（3

6、）作和,,（4）取極限,,設(shè)平面薄片的面密度是：,求平面薄片的質(zhì)量,D,記,二重積分的引入,——,平面薄片的質(zhì)量,,二重積分的概念,設(shè)函數(shù) 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)。,將閉區(qū)域 D,任意分成,個小閉區(qū)域,其中 表示第 個小閉區(qū)域，同時也表示它的面積。,在每個小閉區(qū)域,上任取一點,令,若無論 D 如何劃分和 如何選取，,都存在，則稱此極限為函數(shù) 在 D 上的二重積分，,記作：,,由于二重積分值與分割無關(guān)，故在直角坐,,標系下，通常用平行于坐標軸的直線網(wǎng)分

7、,,割區(qū)域D，從而有,即,二重積分的概念,所以在直角坐標系下，二重積分常表示為,引例中的曲頂柱體體積可用二重積分表示為,平面薄片的質(zhì)量為,,二重積分的性質(zhì),是常數(shù)。,（D 的面積）,二重積分可計算平面圖形的面積,其中： 、 是 的一個完全分割。,,二重積分的性質(zhì),使,積分中值定理（定性研究）,二重積分的估值,二重積分的比較,,o,y,x,z,a,b,二重積分的計算,——,化二重積分為二次積分,預(yù)備知識：平行截面面積以知的立體體積的計算（演示）,A(x),x,如右圖所示立體：介于平面x=a與x=b之間,在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一點x，過該點,,作x軸的垂直平面，若該平面

8、的面,,積為A(x)，則由定積分的元素法可,,知立體體積為,,如果積分區(qū)域D可表示為：,a,b,y=y,2,(x),y=y,1,(x),o,x,y,Х-,型區(qū)域,用平行于yoz面的平面去截立體，,,則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標系下化二重積分為二次積分,,如果積分區(qū)域D可表示為：,у-,型區(qū)域,用平行于xoz面的平面去截立體，,,則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標系下化二重積分為二次積分,o,x,c,d,y,x=,φ,2,(y),x=,φ,1,(y),,直角坐標系下交換二次積分的積分次序,如果積分區(qū)域D既可表示為,Х-型區(qū)域,：,又可表示為,у-型區(qū)域,：,則有如下交換積分

9、次序公式：,у-,型區(qū)域,Х-,型區(qū)域,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,由,圍成。,或記為,故,或記為,解,D可表示為：,D又可表示為：,o,4,4,x,y=x,y,2,=4x,y,x,y,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,或,或記為,或記為,o,x,y,-r,r,x,2,+y,2,=r,2,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,由,圍成。,或,或記為,或記為,,補充題,1、求由方程x,2,+y,2,+z2-2x+2y-4z-10=0確定的函數(shù)z=f(x,y)的極值。,2、求二元函數(shù)f(x,y)=x,2,y(4-x-y)在直線x+y=6，x軸和 y軸所圍成,,的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。,3、求 的最大值和最小值。,4、將證數(shù)12分成三個正數(shù)x,y,z之和，使得u=x,3,y,2,z為最大。,5、改變積分 的次序。,,再見！,,返回,,返回,,,