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1、微積分,,生活中的數(shù)學(xué),,當(dāng)你呱呱落地降臨人世的第一天，醫(yī)生就要檢測(cè)一下你的各項(xiàng)健康指標(biāo)，為你量量身體的長(zhǎng)度，稱(chēng)稱(chēng)你的體重，這些都與數(shù)和量有關(guān)，這就是數(shù)學(xué)，人生到世界上來(lái)的第一天就遇到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)哺育著你成長(zhǎng)。,,,隨著年齡增長(zhǎng)，你隨時(shí)隨地都在接觸數(shù)學(xué),.,你開(kāi)始在大人們的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)；學(xué)習(xí)畫(huà)三角形、方塊和圓；用剪刀剪出各種美麗的圖案，或者用紙折出小鳥(niǎo)、小船等各種形狀的玩具；到商店去購(gòu)買(mǎi)你喜歡吃的各種食品；,…….,這一切的一切，你會(huì)逐漸意識(shí)到都和數(shù)、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)的比較、圖形的大小、圖形的形狀、圖形的位置有關(guān)，這又是數(shù)學(xué),.,,你進(jìn)入學(xué)校，正式開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，懂得了初步的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,.,

2、知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)；學(xué)會(huì)了加、減、乘、除；認(rèn)識(shí)了三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓，以及長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和球等幾何圖形；了解了簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)知識(shí),.,數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)闊了你的視野，改變了你的思維方式，使你變得更聰明了,.,,隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，成本、利潤(rùn)、投入、產(chǎn)出、貸款、效益、股份、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等一系列經(jīng)濟(jì)詞匯頻繁使用，買(mǎi)與賣(mài)、存款與保險(xiǎn)、股票與債券,……,幾乎每天都會(huì)碰到,.,而這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)無(wú)一能離開(kāi)數(shù)學(xué),.,,,人們生活在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中，生活要精打細(xì)算，每個(gè)同學(xué)不管有意無(wú)意的都在算著經(jīng)濟(jì)賬，比如買(mǎi)名牌衣服要找高折扣的店，用手機(jī)需要計(jì)算各種套餐哪種最適合自己等等，用有限的錢(qián)發(fā)揮最大的用處，你和你的家庭

3、在生活中那些是需要算計(jì)這個(gè)經(jīng)濟(jì)賬的呢？,,,高中生王明春節(jié)期間拿到了壓歲錢(qián)，想在春節(jié)商場(chǎng)搞活動(dòng)時(shí)買(mǎi)雙運(yùn)動(dòng)鞋和書(shū)包，經(jīng)過(guò)實(shí)地考察，有三家商家在搞活動(dòng)，其中一家是全場(chǎng),8,折，另外一家是買(mǎi)滿(mǎn),100,元返,50,元券， 用券購(gòu)物不受限制，第三家是累計(jì)滿(mǎn),100,元直降,30,元，他看中的鞋子是,480,元，書(shū)包,198,元，王明選擇哪家購(gòu)物最省錢(qián)？,,,一個(gè)三口之家，男主人張偉、女主人王芳和女兒張玉，張偉剛跳槽到一家外企，薪金待遇是稅前工資是,10000,元，公司要扣除四險(xiǎn)一金共,1400,元，那么稅后張偉能拿到多少工資呢？,,相關(guān)知識(shí)：應(yīng)納稅所得額,=,應(yīng)發(fā)工資,-,四險(xiǎn)一金（基本養(yǎng)老保險(xiǎn)金、醫(yī)

4、療保險(xiǎn)金、失業(yè)保險(xiǎn)金、工傷保險(xiǎn)金、住房公積金）,-,起征點(diǎn)（,2000,元）,,張偉一家人準(zhǔn)備為了,3,年后孩子讀大學(xué)準(zhǔn)備專(zhuān)項(xiàng)存款，采用零存整取三年期存款的方式，從這個(gè)月開(kāi)始每個(gè)月第一天存入銀行,1000,元，銀行以年利率是,1.98%,計(jì)息，問(wèn)張偉在三年存款期滿(mǎn)時(shí)可以拿到的本利和是多少？（精確到,0.01,元）,,月利率,=,年利率,/12,,,,張偉一家想改善住房條件，購(gòu)置了一套,150,萬(wàn)元的房產(chǎn)，他們現(xiàn)在一家稅后月收入,13000,元，其中首付了,4,成,60,萬(wàn)，除去生活開(kāi)銷(xiāo)和教育儲(chǔ)蓄,5000,元，貸款的,90,萬(wàn)元選擇,20,年的貸款，每月還能結(jié)余多少錢(qián)？,,,生活中常見(jiàn)的其他一

5、些數(shù)學(xué),,,大小恒常性錯(cuò)覺(jué),“一筆畫(huà)”的規(guī)律,,你能筆尖不離紙，一筆畫(huà)出下面的每個(gè)圖形嗎？,,試試看。（不走重復(fù)線(xiàn)路）,,圖,1,圖,2,,在這個(gè)樓梯中，你能分清哪一個(gè)是最高或最低的樓梯嗎？??? 當(dāng)你沿順時(shí)針走的時(shí)候，會(huì)發(fā)生什么呢？? ? ??? 如果是逆時(shí)針，情況會(huì)怎么樣呢？,,,不可能的樓梯,不可能的樓梯,荷蘭美術(shù)大師,M. C. Escher,作品,黑夜還是白天,?,圓形的拱頂,瀑布,上升還是下降,?,,烤面包的時(shí)間,史密斯家里有一個(gè)老式的烤面包器，一次只能放兩片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它們翻個(gè)面，然后再放回到烤面包器中去

6、?？久姘鲗?duì)放在它上面的每片面包，正好要花,1,分鐘的時(shí)間烤完一面。,,一天早晨，史密斯夫人要烤,3,片面包，兩面都烤。史密斯先生越過(guò)報(bào)紙的頂端注視著他夫人。當(dāng)他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了,4,分鐘時(shí)間。,,“親愛(ài)的，你可以用少一點(diǎn)的時(shí)間烤完這,3,片面包，”他說(shuō)，“這可以使我們電費(fèi)賬單上的金額減少一些?！?,史密斯先生說(shuō)得對(duì)不對(duì)？如果他說(shuō)得對(duì)，那他的夫人該怎樣才能在不到,4,分鐘的時(shí)間內(nèi)烤完那,3,片面包呢？,不可能的三角形,,,,悖論（一）,,一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：,村里所有不是自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā),。,,于是有人問(wèn)他：,“,您的頭發(fā)誰(shuí)給理呢？”,理發(fā)師頓時(shí)

7、啞口無(wú)言。,悖論（二）,,有個(gè)虔誠(chéng)的教徒，他在演說(shuō)中口口聲聲說(shuō),上帝是無(wú)所不能的，什么事都做得到,。一位過(guò)路人問(wèn)了一句話(huà)：,“,上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來(lái)的石頭嗎,？”,,教徒啞口無(wú)言,１．我說(shuō)一句話(huà)，如果這句話(huà)是真的，那么你就給我你的相片，可以嗎？,２．你不會(huì)給我你的相片,可以,請(qǐng)問(wèn)男說(shuō)了一句什么話(huà)使得這個(gè)女生只能將玉照送他？,悖論（三）,,,賣(mài)馬,,,某人賣(mài)馬一匹，得錢(qián),１５６,盧布。但是買(mǎi)主買(mǎi)到馬以后又懊悔了，要把馬退還給賣(mài)主，他說(shuō)這匹馬根本不值這么多錢(qián)。于是賣(mài)主向買(mǎi)主提出了另一種計(jì)算馬價(jià)的方案說(shuō)，如果你嫌馬太貴了，那么就只買(mǎi)馬蹄上的釘子好了，馬就算白送給你,。,每個(gè)馬蹄鐵上有６枚釘

8、子，第一枚釘子只賣(mài),1,個(gè)戈比（１盧布等于１００戈比），第二枚賣(mài),2,個(gè)戈比，第三枚,4,個(gè)戈比，后面每個(gè)釘子價(jià)格依此類(lèi)椎,。,買(mǎi)主認(rèn)為釘子的價(jià)值總共也花不了１０個(gè)盧布，還能白得一匹好馬，于是就欣然同意丁。結(jié)果買(mǎi)主算賬后才明白上當(dāng)。試問(wèn)買(mǎi)主在這筆交易中要虧損多少？,,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+ …+2,23,=,,分?jǐn)?shù)的妙用,有一位阿拉伯老人，生前養(yǎng)有,11,匹馬，他去世前立下遺囑：大兒子、二兒子、小兒子、分別繼承遺產(chǎn)的,1/2,，,1/4,，,1/6,。兒子們想來(lái)想去沒(méi)法分：他們所得到的都不是整數(shù)，即分別為,11/2,，,11/4,，,11/6,。總不能把一匹馬割成幾塊來(lái)分吧？,

9、聰明的鄰居牽來(lái)了自己的,1,匹馬，對(duì)他們說(shuō)：“你們看，現(xiàn)在有,12,匹馬了，老大得,12,匹的,1/2,，就是,6,匹中，老二得,12,匹的,1/4,就是,3,匹，老三得,12,匹的,1/6,就是,2,匹，還剩下一匹我照樣牽回家去。”,,很多人都認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)很枯燥的學(xué)科，的確數(shù)學(xué)理論性很強(qiáng)需要很多抽象思考， 但是在數(shù)學(xué)發(fā)展的中也發(fā)生了很多有意思的事情，它可以讓你充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣！ 并在其中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。,,學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什麼？,,數(shù)學(xué)的基本特征,抽象性,演繹性,廣泛性,（研究對(duì)象）,（論證方法）,（應(yīng)用）,假設(shè),結(jié)論,logic,理性,,思維,這個(gè)學(xué)期學(xué)什麼？,,一元函數(shù)微分,利用極限研究函數(shù)

10、的種種表達(dá)及其諸多性質(zhì),極限的直觀定義與計(jì)算,,導(dǎo)數(shù)與微分的概念與計(jì)算,,微分學(xué)應(yīng)用,,一元函數(shù)積分,不定積分,,不,定積分概念與計(jì)算,,積分學(xué)應(yīng)用,交作業(yè)時(shí)間：,,星期五下午上課,,微 積 分,微 積 分,在中學(xué)里接觸到的大多是初等數(shù)學(xué)，即只討論,簡(jiǎn)單的量的關(guān)系,，尤其只討論,常量和固定圖形,，這種數(shù)學(xué)思想一直沿襲到十七世紀(jì)初，爾后法國(guó)數(shù)學(xué)家,笛卡爾,(R.Descartes 1596-1650),把變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，并創(chuàng)立了坐標(biāo)概念，于是在數(shù)學(xué)中不再限制于考慮常量和固定圖形，進(jìn)而開(kāi)始考慮變的量和圖形。高等數(shù)學(xué)就應(yīng)運(yùn)而生。這主要?dú)w功于英國(guó)數(shù)學(xué)家,牛頓,(I.Newton 1643-1727),

11、和法國(guó)數(shù)學(xué)家,萊布尼茲,(,G.W.Leibniz,1646-1716),。,這就是今后要學(xué)習(xí)的課程。,鏈接目錄,第一章,函數(shù),第二章,,極限與連續(xù),第三章,導(dǎo)數(shù)與微分,第四章,,中值定理,,,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第五章,,不定積分,第六章,,定積分,第七章,,無(wú)窮級(jí)數(shù),(,不要求,),第八章,,多元函數(shù),第九章,,微分方程,復(fù)習(xí),,,參考書(shū),[1],趙樹(shù)嫄,.,微積分,.,中國(guó)人民大學(xué)出版社,,[2],同濟(jì)大學(xué),.,高等數(shù)學(xué),.,高等教育出版社,第一章 函數(shù),集合,,實(shí)數(shù)集,,函數(shù)關(guān)系,,分段函數(shù),,建立函數(shù)關(guān)系的例題,,函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì),,反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),,初等函數(shù),,函數(shù)圖形的簡(jiǎn)單組合與變換,

12、函數(shù),-,集合,集合是指具有特定性質(zhì)的一些事,物的總體,.,組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素,.,通常用大寫(xiě)拉丁字母表示集合，小寫(xiě)字母表示元素,.,,,a,是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,屬于,M),；,,a,不是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,不屬于,M).,集合,定義,函數(shù),-,集合,例子,1. 1990,年,10,月,1,日在南寧市出生的人。,2.,彩電、電冰箱、,VCD,。,3. x,2,-5x+6=0,的根。,集合具有確定性，即對(duì)某一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合是確定的，是或不是二者必居其一。,由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合,，稱(chēng)為有限集合。,由無(wú)限

13、多個(gè)元素構(gòu)成的集合,，稱(chēng)為無(wú)限集合；,4.,全體偶數(shù),。,函數(shù),-,集合,集合的表示法,1.,列舉法,：,按任意順序列出集合的所有元素,,,并用,{},括起來(lái)。,例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構(gòu)成的集合,A,，,可表示為：,A={2,3},注,：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復(fù)。,函數(shù),-,集合,2.,描述法,：,設(shè),P(a),為某個(gè)與,a,有關(guān)的條件或法則，,A,為,滿(mǎn)足,P(a),的,一切,a,構(gòu)成的集合,，記為：,A={a|P(a)},例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構(gòu)成的集合,A,，,表示為：,A={x|x,2,-5x+6=0},例,：全體實(shí)數(shù)組成的集合通常

14、記作,R,，,即：,R={x|x,為實(shí)數(shù),},,2.,文氏圖,,(Venn diagrams),：,用于描述集合間的關(guān)系及其運(yùn)算，其特點(diǎn)是直觀、形象、信息量大且富有啟發(fā)性。一般用矩形表示全集,U,，用圓表示,U,的,子集,A,，,B,，,C,等等。,,,,函數(shù),-,集合,全集與空集,所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱(chēng)為全集,,,記為,:,U,。,不含任何元素的集合稱(chēng)為空集，記為：,?,,。,例,1,：,x,2,+1=0,實(shí)數(shù)根集合為空集。,例,2,：平面上兩條平行線(xiàn)的交點(diǎn)集合為空集。,注：,{,0,},及,{,?,},都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,?,。,函數(shù),-,集合,子集,如果集合,

15、A,的元素都是集合,B,的元素，即若,x,?,A,則必,x,?B,，,就說(shuō),A,是,B,的子集，記作,A,?,B(,讀作,A,包含于,B),或,B,?,A(,讀作,B,包含,A),如果,A,?,B,且或,A,?,B,，則稱(chēng),A,與,B,相等。,A,?,A,即集合,A,是其自己的子集。,,傳遞性,A,?,B,、,B,?,C,則,A,?,C,。,,?,?,A,，,即空集是任何集合,A,的子集。,函數(shù),-,集合,集合的運(yùn)算,集合的并：,A,?,B={x|x,?,A,或,x,?,B},,集合的交：,A,?,B={x|x,?,A,且,x,?,B},,集合的差：,A,-,B={x|x,?,A,且,x,?,

16、B},,,,集合的補(bǔ)：,A ',,={,x|x,,?,U,且,x,?,A},,,,(1),集合的并：集合,A,和集合,B,中所有的元素組成的集合，稱(chēng)為集合,A,和集合,B,的,并集,，記作,A∪B,。例,A={1,3,5},B={2,4,6},,則,A∪B={1,2,3,4,5,6},。,(2),集合的交：集合,A,和集合,B,中公共的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合,A,與集合,B,的,交集,，記作,A∩B,。,,（,3,）集合的差集：屬于,A,但不屬于,B,的元素組成的集合,,,稱(chēng)為,A,與,B,的,差集,，記作,A-B,。,例,A={1,2,3},B={2,4,6},。則,A-B={1,3}

17、,,,B-A={4,6},。例,A={0,1,2},B={1,2},。則,A-B={0}≠Φ,。,,例,已知,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l,lxl,<6,｝。,1,）求,A-,（,A-B,）和,B-,（,B-A,）,2,）由此得到什么結(jié)論？,,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l-6< x<6,｝。,1.A-B={,x|x,>=6,或,-6=6},B-(B-A)=A=,｛,x l x>4,｝,,A-,（,A-

18、B,）,=B,和,B-,（,B-A,）,=A,,（,4,）集合的補(bǔ)集：全集,U,中不屬于集合,A,的元素組成的集合，稱(chēng)為,A,的,補(bǔ)集,，記作,A',。例,R─,實(shí)數(shù)全體，,P─,有理數(shù)全體,, Q─,無(wú)理數(shù)全體,.,則,P'=Q, Q'=P, P∪Q=R,。例,U={1,2,3,4,…,10}, A={2,5},,則,A'={1,3,4,6,7,8,9,10},。,5,、集合的運(yùn)算性質(zhì),,(1),補(bǔ)的性質(zhì),A∪A'=U, A∩A'=Φ,,,(A',）,'=A .,,(2),交換律,A∪B=B∪A, A∩B=B∩A .,,(3),結(jié)合律?。?A∪B,）∪,C=A∪(B∪C),,,(A∩B

19、)∩C=A∩(B∩C) .,,(4),分配律　（,A∪B,）∩,C=(A∩C)U(B∩C),,,(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) .,,(5),摩根律,(A∪B) '=A'∩B',,,(A∩B)'=A'∪B'.,,集合的笛卡爾乘積,,有序元素組,(,x,y,),,集合,A,與集合,B,，笛卡爾積,A×B,＝,{(,x,y,),〡,x∈A,，,y∈B,},，即兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)組,,集合,A{a1,a2,a3},,集合,B{b1,b2},,他們的 笛卡爾積 是,,A,×,B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},。

20、,函數(shù),-,集合,實(shí)數(shù)與數(shù)軸,在一條直線(xiàn)上指定了一點(diǎn)作為,原點(diǎn),O,，,再指定了,正向,，此外又規(guī)定了,單位長(zhǎng)度,，這條直線(xiàn)就稱(chēng)為數(shù)軸。,,,數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,。,有時(shí)為了形象化起見(jiàn)，把,數(shù),x,稱(chēng)為點(diǎn),x,，,就是指數(shù)軸上與數(shù),x,對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)。,1,-1,0,O,x,絕對(duì)值,:,運(yùn)算性質(zhì),:,絕對(duì)值不等式,:,6,、區(qū)間、鄰域,,區(qū)間,：設(shè),a,b,是實(shí)數(shù)，且,a

21、a,b,);{,x|a,

22、,線(xiàn)段的長(zhǎng)度,),,即有限區(qū)間右端點(diǎn),b,與左端點(diǎn),a,的差,b-a,稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度,.,函數(shù),-,集合,[a, +,∞,)={x|a≤x},(-,∞,,b]={x|x≤b},(-,∞,,b)={x|x

23、。,x,a,a-,δ,a+,δ,例,：,Ｕ,(,2 ,1,)={,x | |x-2|<1,}={,x | 1

24、1,3,δ=1,δ=1,,,,,案例,1,體現(xiàn)了變量取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,,去銀行存錢(qián),,,假設(shè)一年定期整存整取的年利率為,4.14% ,,則存款金額 與一年到期時(shí)的利息 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表,:,,一,.,函數(shù)關(guān)系,函數(shù),-,函數(shù)關(guān)系,,,,案例,2,氣溫自動(dòng)記錄儀把某一天的氣溫變化描繪在記錄紙上,,,如下圖所示的曲線(xiàn),.,曲線(xiàn)上某一,,點(diǎn) 表示時(shí)刻 的氣溫是,.,,時(shí)間和氣溫都是變量，這兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由一條曲線(xiàn)確定的．,觀察這條曲線(xiàn)，可以知道在這一天內(nèi)，時(shí)間從,0,點(diǎn)到,24,點(diǎn)氣溫的變化情形,．,,,,案例,3,圓的面積 由

25、圓的半徑 決定,.,只要 取定一個(gè)數(shù)值,,,面積 就有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng),,,且 與 之間有如下關(guān)系式,:,o,半徑為,.,,,案例,4,,北京市現(xiàn)行出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為,:,乘車(chē)不超過(guò),3km,,收費(fèi),10,元,;,超過(guò),3 km,而不超過(guò),15km,,超過(guò)的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,計(jì),),加收,2,元,;,超過(guò),15km,,超過(guò)的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,計(jì),),加收,3,元,.,,分段函數(shù),由于乘車(chē)?yán)锍滩怀^(guò),3 km,、超過(guò),3 km,而不超過(guò),15km,及超過(guò),15 km,的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同,,,乘客乘車(chē)的費(fèi)用

26、 與乘車(chē)的里程 之間的數(shù)量關(guān)系應(yīng)用三個(gè)數(shù)學(xué)式來(lái)表示,,,即,分析,,,,以上列舉的案例,,,雖是來(lái)自不同的領(lǐng)域,,,而且具有不同的表示形式,,,有表格、圖形、公式，但它們的,共性,是,:,都反映了在同一過(guò)程中有著兩個(gè)相互依賴(lài)的變量,,,當(dāng)其中一個(gè)量在某數(shù)集內(nèi)取值時(shí),,,按一定的規(guī)則,,,另一個(gè)量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),.,變量之間的這種數(shù)量關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系,.,,,,定義域 是自變量 的取值范圍，也就是使函數(shù) 有意義的數(shù)集．由此，若取數(shù)值 時(shí)，則稱(chēng)該函數(shù)在 有定義，與 對(duì)應(yīng)的 的數(shù)值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)

27、 的函數(shù)值，記作,或,,定義,1,.,1,,設(shè)　和　是兩個(gè)變量,,,是一個(gè)給定的非空數(shù)集,.,若對(duì)于每一個(gè)數(shù),,,按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則,,,變量 總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),,,則稱(chēng) 是 的函數(shù),.,因變量,自變量,定義域,,一,.,函數(shù)關(guān)系,,,,決定一個(gè)函數(shù)有三個(gè)因素：,,對(duì)應(yīng)法則,值域,定義域,當(dāng) 遍取數(shù)集 中的所有數(shù)值時(shí),,,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值全體,決定一個(gè),,函數(shù)的兩,,個(gè)要素,,1.,要會(huì)求函數(shù)的定義域；,,,2.,要會(huì)使用對(duì)應(yīng)法則,.,,值域,,函數(shù)的兩要素,:,定義域,與,對(duì)應(yīng)法則,.,自變量,對(duì)應(yīng)法則,f,因變量,約定,:,如果不考慮函數(shù)的實(shí)際

28、意義，函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值，稱(chēng)為函數(shù)的自然定義域,。,,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．,定義,:,,,,要使該項(xiàng)有意義，對(duì),,數(shù)的真數(shù)必須大于,0.,的定義域,.,,求函數(shù),,要使該項(xiàng)有意義，分母,,的被開(kāi)方式必須大于,0,；,練習(xí),1,,解 要使該函數(shù)有意義，必須,,,公共部分,所以，該函數(shù)的定義域?yàn)?,分析,,例,3,：,確定函數(shù),y=,的定義域。,√,ln,tgx,1,ln,tgx,,>0,tgx,>,0,tg,x,>,1,x,?,,(,,k,π,, k,π,+

29、 ),{,},解：,x,≠k,π,+,π,2,π,,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ),π,4,π,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ), k=0,,±,1,,±,2,,±,3,……,為所求的定義域,π,4,π,,2,,例子,例,1,：,確定函數(shù),y=,的定義域。,lg(3,x,-2),1,lg(3,x,-2) ≠0,3,x,-2>0,3,x,-2 ≠ 1,x>,2/3,x,≠ 1,{,},D=(2/3,1),?,(1,,+∞,),例,2,：,確定函數(shù),y=,arcsin,,的定義域。,√25-,x,2,1,x-,1,5

30、,+,解：,解：,{,x-,1,5,,≤,1,√25-,x,2,≠0,25-,x,2,≧,0,-,4,≤,x,,≤6,,},|x-,1|,≤,5,25-,x,2,>0,-,5<,x<,5,,},D=[-4, 5),,,,這是已知函數(shù)的,,表達(dá)式,,,求函數(shù)在,,指定點(diǎn)的函數(shù)值．,設(shè),,練習(xí),2,求,解 是當(dāng)自變量 取,1,時(shí)函數(shù)的函數(shù)值．,將 表示式中的 換為,,為數(shù)值,1,.,類(lèi)似地,.,或記作,,,,設(shè),,練習(xí),2,,求,續(xù)解,將 表示式中的 換為,將 表示式中的 換為,,,,對(duì)案例,,4, ,求：,(1)

31、,函數(shù) 的定義域；,,(2),乘客乘車(chē),km,、,km,、,km,和,km,所付的費(fèi)用．,解,(1),該函數(shù)的定義域是,(2),因,故當(dāng)乘客乘車(chē),km,時(shí),,,所付的費(fèi)用,因,故當(dāng)乘客乘車(chē),km,時(shí),,,所付的費(fèi)用,(,元,).,分段點(diǎn),分段點(diǎn),(,元,).,因,故當(dāng)乘客乘車(chē),km,時(shí),,,所付的費(fèi)用,(,元,).,因,故當(dāng)乘客乘車(chē),km,時(shí),,,所付的費(fèi)用,(,元,).,,分段函數(shù),——,幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例,,(1),符號(hào)函數(shù),1,-1,x,y,o,(2),取整函數(shù),y=,[,x,],,[,x,],表示不超過(guò),,x,的最大整數(shù),,1 2 3 4 5,

32、-2,-4,-4 -3 -2 -1,,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,階梯曲線(xiàn),,非,負(fù)小數(shù)部分函數(shù),,取整函數(shù),y=,(,x,)=x-[x],,,x=7/3,時(shí),,[x]=2,，,(x)=0.5,,x=1/3,時(shí),,[x]=0,，,(x)=1/3,,x=-8/5,時(shí),,[x]=-2,，,(x)=0.4,O,-2 -1 1 2,1,y=,(,x,),x,y,,(3),狄利克雷函數(shù),有理數(shù)點(diǎn),無(wú)理數(shù)點(diǎn),?,1,x,y,o,(4),取最值函數(shù),y,x,o,y,x,o,,在自變量的不同變化范圍中,,,對(duì)應(yīng)法則用不同的,式子來(lái)表示的函數(shù),,,稱(chēng)為,分段

33、函數(shù),.,(5),絕對(duì)值函數(shù),o,x,y,定義域,R,值域,建立函數(shù)問(wèn)題的例題,,,給問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，即建立函數(shù)關(guān)系。,,先明確問(wèn)題中的自變量、因變量，再根據(jù)題意建立等式，得出函數(shù)關(guān)系，確定函數(shù)定義域。,,P,24,頁(yè)例,1,、例,2,、例,3,、例,4,,,,函數(shù)的,,幾何特性,,奇偶性,單調(diào)性,周期性,有界性,函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì),,1,．函數(shù)的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,無(wú)界,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),例,1:f(,x,)=,sin,x,在,(,-,∞,,+,∞,),內(nèi)是有界的。,,因?yàn)?|,sin,x,|,≦,1,。,例,2:f(,x,)

34、=1/,x,在,(,0 ,1,),內(nèi)是無(wú)界的。在,[1,,+,∞,),內(nèi)有界,。,例,3:,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),2,．函數(shù)的單調(diào)性,:,x,y,o,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),x,y,o,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),例,1:,判斷函數(shù),y=,x,3,的,單調(diào)性。,解：,對(duì)于任意的,x,l,、,x,2,,，設(shè),x,l,＜,x,2,x,2,3,-x,1,3,>0,,所以,x,2,3,>,,x,1,3,,，,故,y=,x,3,在,(,-,∞,,+,∞,),是單調(diào)增加的。,當(dāng),,x,1,,x,2,≥0,時(shí),,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,>0,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,

35、)>0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,,x,1,3,,=,(,x,2,,-,,x,1,)(,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,),當(dāng),,x,1,,x,2,<0,時(shí),,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,=(,x,1,+x,2,),2,-,x,1,,x,2,>0,,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),例,2:,判斷函數(shù),y=2,x,2,+1,的單調(diào)性。,解：,?,x,l,、,x,2,?R,,，設(shè),x,l,＜,x,2,(,x,1,+x,2,)<0,當(dāng),x,l,、,x,2,?,,(,-,∞,,0]

36、,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(2,x,1,2,+,1),-,(2,x,2,2,+,1),,= 2(,x,1,2,-x,2,2,) = 2(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)>0,f,(,x,1,)>,f,(,x,2,),f,(,x,),單調(diào)減少,(,x,1,+x,2,)>0,當(dāng),x,l,、,x,2,?,,[0,+,∞,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)<0,f,(,x,1,)<,f,(,x,2,),f,(,x,),單調(diào)增加,所以在,(-,∞,,+,∞,),內(nèi)，不是單調(diào)函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),3,．函數(shù)的奇偶

37、性,:,y,x,o,x,-,x,偶函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),y,x,o,x,-,x,奇函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),例,1:,判斷函數(shù),y=,x,4,-,2,x,2,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),4,–,2(-,x,),2,=,x,4,-,2,x,2,,=f(,x,),∴,y=,x,4,-,2,x,2,,是偶函數(shù)。,例,2:,判斷函數(shù),y=1/,x,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=1/,(-,x,),,= - (1/,x,),,= - f(,x,),∴,y=1/,x,,是,奇函數(shù)。,例,3:,判斷函數(shù),y=,x,3,+1,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x

38、,),=,(-,x,),3,+1,,= -,x,3,+1,∴,y=,x,3,+1,,既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。,≠,f(,x,),≠-,f(,x,),{,函數(shù),-,函數(shù)的性質(zhì),,D,為函數(shù),f(,x,),的定義域,，,如果存在一個(gè)不為零的數(shù),l,，,?,x,?,D,值，,x,±,l,?,D,，且,f(,x,+,l,)=f(,x,),,恒成立，則,f(,x,),叫做,周期函數(shù),，,l,叫做,f(,x,),的,周期,。,,通常，我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指,最小正周期,。,例,1:,函數(shù),y=,sin,x,,,y=,cos,x,,,,是周期函數(shù)，周期為,2,π,,。,4,．函數(shù)的周期性,:,函數(shù),-,

39、反函數(shù),設(shè)函數(shù),y=,f,(,x,),的定義域?yàn)?D,，,值域?yàn)?W,。,如果,?,y,?,W,都有一個(gè)確定且滿(mǎn)足,y=,f,(,x,),的,x,?,,D,與之對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為,f,-1,,,定義在,W,上的函數(shù),x,=,f,-1,(,y,),稱(chēng)為,y=f(,x,),的,反,函數(shù),。,函數(shù),y=,f,(,x,),的定義域?yàn)?D,，,值域?yàn)?W,，,x,為,自變量，,y,為因變量,。,函數(shù),x,=,f,-1,(,y,),的定義域?yàn)?W,，,值域?yàn)?D,，,y,為自變量，,x,為因變量,。 若改,x,為自變量，,y,為因變量，,x,=,f,-1,(,y,),,寫(xiě)成,y,=,f,-1,(,x,),

40、,。,函數(shù),-,反函數(shù),D,W,D,W,函數(shù),-,反函數(shù),y,=,f,(,x,),,與,y,=,f,-1,(,x,),的,關(guān)系是,x,、,y,互換，它們的圖形關(guān)于,y=x,對(duì)稱(chēng)。,y,=,f,-1,(,x,),。,不一定是單值函數(shù)。,y,=,f,(,x,),單調(diào)單值，則,y,=,f,-1,(,x,),單調(diào)單值。,,函數(shù),-,反函數(shù),例,1:,求,y,=3,x-,1,的反函數(shù)。,解：,∵,y,=3,x-,1,∴,x,、,y,互換得,y,=,f,-1,(,x,),=,(,x+,1)/3,為,反函數(shù)。,,x,=(,y+,1)/3=,f,-1,(,y,),y,=(,x+,1)/3,y,=3,x-,1,

41、函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),設(shè),y,=,f,(,u,),的定義域、值域分別是,D,f,,、,W,f,,u,=,φ,(,x,),的定義域、值域分別是,D,φ,,、,W,φ,,若,,D,f,,?,W,φ,,≠,?,,則稱(chēng),y,=,f,[(,φ,(,x,)],為,復(fù)合函數(shù),,其中,:,x,為自變量，,y,為因變量，,u,為中間變量,。,復(fù)合函數(shù)的定義域,,,D=,{,x,|,x,?,D,φ,,,,,φ,,(,x,),?,,D,f,,?,W,φ,,},復(fù)合函數(shù)的值域,,,W={,y,|,y,?,W,f,,,,且存在,u,?,D,f,,?,W,φ,,使,f,(,u,)=,y,},或,W={,y,|,y= f,[

42、(,φ,(,x,)],,x,?,,D},函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),符合條件：,D,f,,?,W,φ,,≠,?,D,φ,D,W,f,W,W,φ,D,f,D,f,,?,W,φ,y,=,f,(,u,),u,=,φ,(,x,),y,=,f,[(,φ,(,x,)],x,u,y,函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),,∴,-,1≤,x,≤,,2,即,[-1,2],為,所求的,定義域,函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),2,函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),,例,5:,函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),,函數(shù),-,復(fù)合函數(shù),,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),冪函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫,初等函

43、數(shù),。,,下面六類(lèi)函數(shù),基本初等函數(shù),：,,冪函數(shù),,y=x,α,,,（,,α,是常數(shù),,,α,≠0,,）,,指數(shù)函數(shù),,y=,a,x,(,a,是常數(shù),,,a,>0,,a,≠,1),對(duì)數(shù)函數(shù),,y=,log,a,x,(,a,是常數(shù),,,a,>0,,a,≠,1),三角函數(shù),,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,反三角函數(shù),y=,arcsin,x,, y=,arccos,x,, y=,arctg,x,, y=,arcctg,x,.,α,>,0,,過(guò),(0,0),(1,1),,在,(0, +∞),遞增,α,<

44、,0,,過(guò),(1,1),,在,(0, +∞),遞減,{,D=(-∞,+∞)，W=(0, +∞),過(guò),(0,1),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,D=(0,+∞)，W=(-∞, +∞),過(guò),(1,0),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),指數(shù)函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),函數(shù),-,初等函數(shù),y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=,tgx,y=,cosx,y=,sin,x,

45、函數(shù),-,初等函數(shù),三角函數(shù),,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶,單調(diào),y=,sinx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,,π,/2+2k,π,),遞增,,(,π,/2+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cosx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,偶,(,π,+2k,π,, 2,π,+2k,π,),遞增,,(2k,π,,,π,+2k,π,),遞減,y=,tgx,x≠,π,/2+k,π,(-∞, +∞),π,

46、奇,(-,π,/2+k,π,,,π,/2+k,π,),遞增,y=,ctgx,x≠,k,π,(-∞, +∞),π,奇,(k,π,,,π,+k,π,),遞減,y=,secx,x≠,π,,/2+k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,偶,(2k,π,,,π,/2+2k,π,),(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),遞增,,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(,π,+2k,π,,3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cscx,x≠,k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(2k,π,,,π,/2+2k,π,)

47、,遞增,,(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),(,π,+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,函數(shù),-,初等函數(shù),y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),反三角函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),習(xí)題選講,例,設(shè),f,(,x,)=,1 |,x,|<1,0 |,x,|=1,-1 |,x,|>1,{,,,g,(,x,)=e,x,,,求,f[g(,x,)],和,g[f(,x,)],,并畫(huà)圖。,D,f,=(-∞,+∞),W,f,,={-1,0,1},D,g,=(-∞,+∞),W,g

48、,,=(0, +∞),D,f,?,W,g,=,W,g,,=(0, +∞),所以定義域?yàn)椋?D=D,g,=(-∞, +∞),,1 |g(,x,)|<1 i.e,x,<0,0 |g(,x,)|=1 i.e,x,=0,-1 |g(,x,)|>1 i.e,x,>0,{,f[g(,x,)]=,D,g,?,W,f,=,W,f,,={-1,0,1},所以定義域?yàn)椋?D=,D,f,=(-∞, +∞),,e,1,|,x,|<1,e,0,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,,e,|,x,|<1,1,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,函數(shù)圖像的簡(jiǎn)單組合與變換,迭加,,翻轉(zhuǎn),,放縮,,,平移,