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1、單擊以編輯母版標題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第四節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的運算,冪級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、函數(shù)項級數(shù)的概念,設,為定義在區(qū)間,I,上的,函數(shù)項級數(shù),.,對,若常數(shù)項級數(shù),斂點,所有收斂點的全體稱為其,收斂域,;,記為,若常數(shù)項級數(shù),為定義在區(qū)間,I,上的函數(shù),稱,收斂,發(fā)散,所有,為其,收,為其,發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其,發(fā)散域,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,為級數(shù)的,和函數(shù),并寫成,若用,令余項,則在收斂域上有,表示函數(shù)項級數(shù)前,n,項的和,即,在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的

2、和是,x,的函數(shù),稱它,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如,等比級數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或寫作,又如,級數(shù),級數(shù)發(fā)散,;,所以級數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、冪級數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項級數(shù)稱為,冪級數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如,冪級數(shù),為冪級數(shù)的,系數(shù),.,即是此種情形,.,的情形,即,稱,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,發(fā) 散,發(fā) 散,收 斂,收斂,發(fā)散,定理,1.,(Abel,定理,),若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切,x,冪級數(shù)都絕對收斂,.,反之,若當,的一切,x,該冪級數(shù)也發(fā)散,.,時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式,證,

3、:,設,收斂,則必有,于是存在,常數(shù),M,0,使,阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結束,當 時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂,.,也收斂,反之,若當,時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之,.,假設有一點,滿足不等式,所以若當,滿足,且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點,故假設不真,.,的,x,原冪級數(shù)也,發(fā)散,.,時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切,則由前,也應收斂,與所設矛盾,證畢,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,冪級數(shù)在,(,+),收斂,;,由,Abel,定理可以看出,中心的區(qū)間,.,用,R,表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為,則,R,=0,時,冪級數(shù)僅在,x,=0,收斂,;,R,=,時,冪

4、級數(shù)在,(,R,R,),收斂,;,(,R,R,),加上收斂的端點稱為,收斂域,.,R,稱為,收斂半徑,，,在,R,R,可能收斂也可能發(fā)散,.,外發(fā)散,;,在,(,R,R,),稱為,收斂區(qū)間,.,發(fā) 散,發(fā) 散,收 斂,收斂,發(fā)散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理,2.,若,的系數(shù)滿足,證,:,1),若,0,則根據(jù)比值審斂法可知,:,當,原級數(shù)收斂,;,當,原級數(shù)發(fā)散,.,即,時,1),當,0,時,2),當,0,時,3),當,時,即,時,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,系數(shù)模比值法,2),若,則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3),若,則對除,x,=0,以外的一切,x,原級發(fā)散,對

5、任意,x,原級數(shù),因此,因此,的收斂半徑為,說明,:,據(jù)此定理,因此級數(shù)的收斂半徑,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對端點,x=,1,的收斂半徑及收斂域,.,解,:,對端點,x=,1,級數(shù)為交錯級數(shù),收斂,;,級數(shù)為,發(fā)散,.,故收斂域為,例,1,.,求冪級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,2,.,求下列冪級數(shù)的收斂域,:,解,:,(1),所以收斂域為,(2),所以級數(shù)僅在,x=,0,處收斂,.,規(guī)定,:0!=1,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,3.,的收斂半徑,.,解,:,級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應用定理,2,比值審斂法求收斂半徑,.,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,故收斂半

6、徑為,故直接由,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,4.,的收斂域,.,解,:,令,級數(shù)變?yōu)?當,t,=2,時,級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散,;,當,t,=2,時,級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂,;,因此級數(shù)的收斂域為,故原級數(shù)的收斂域為,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、冪級數(shù)的運算,定理,3.,設冪級數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有,:,其中,以上結論可用部分和的極限證明,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,右端的收斂域可能更大,說明,:,兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比,原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多,.,例如,設,它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,機動 目錄 上頁 下

7、頁 返回 結束,定理,4,若冪級數(shù),的收斂半徑,例 求 和函數(shù),則其和函,在收斂域上,連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可,逐項求導,與,逐項求積分,運算前后收斂半徑相同,:,注,:,逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變,.,求導后在端點處的斂散性可能發(fā)生變化,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在端點處收斂,和函數(shù)在該處單側連續(xù),例,6.,的和函數(shù),解,:,易求出冪級數(shù)的收斂半徑為,1,x,1,時級數(shù)發(fā),散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,書上例,5,很容易用這個公式計算了,.,例,7.,求級數(shù),的和函數(shù),解,:,易求出冪級數(shù)的收斂半徑為,1,及,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因此由

8、和函數(shù)的連續(xù)性得,:,而,及,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,8.,解,:,設,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,而,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解,:,由例,2,可知級數(shù)的收斂半徑,R,+.,例,5.,則,故有,故得,的和函數(shù),.,因此得,設,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內(nèi)容小結,1.,求冪級數(shù)收斂域的方法,1),對標準型冪級數(shù),先求收斂半徑,再討論端點的收斂性,.,2),對非標準型冪級數(shù),(,缺項或通項為復合式,),求收斂半徑時直接用,比值法,或,根值法,2.,冪級數(shù)的性質(zhì),兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與,也可通過,換元,化為標準型再求,.,乘法

9、運算,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2),在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù),;,3),冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導和求積分,.,思考與練習,1.,已知,處條件收斂,問該級數(shù)收斂,半徑是多少,?,答,:,根據(jù),Abel,定理可知,級數(shù)在,收斂,時發(fā)散,.,故收斂半徑為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.,在冪級數(shù),中,n,為奇數(shù),n,為偶數(shù),能否確定它的收斂半徑不存在,?,答,:,不能,.,因為,當,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,說明,:,可以證明,比值判別法成立,根值判別法成立,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P258 2,單,3 (3)(4),作業(yè),第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,阿貝爾,(1802 1829),挪威數(shù)學家,近代數(shù)學發(fā)展的先驅者,.,他在,22,歲時就解決了用根式解,5,次方程,的不可能性問題,他還研究了更廣的一,并稱之為阿貝爾群,.,在級數(shù)研究中,他得,到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理,.,論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開,拓了道路,.,數(shù)學家們工作,150,年,.,類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù),C.,埃爾米特曾說,:,阿貝爾留下的思想可供,后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,