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1、 8.3 直 線 、 平 面 平 行 的 判 定 與 性 質(zhì)高 考 理 數(shù) 1.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點個數(shù)直線在平面內(nèi)若直線上有兩個點在平面內(nèi),則所有點都在平面內(nèi)直線不在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面有且僅有一個公共點直線與平面平行直線與平面沒有公共點知 識 清 單 2.直線和平面平行(1)定義:直線與平面沒有公共點,則稱此直線l與平面平行,記作l .(2)判定定理:如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行線面平行”).(3)性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和交線平行(簡記為“

2、線面平行線線平行”).3.兩個平面平行(1)定義:如果平面與平面無公共點,則平面與平面平行,記作 .(2)判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.用符號表示為a ,b ,a b=P,a ,b . (3)性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.用符號表示為 , =a, =b a b.【知識拓展】1.平行問題的轉(zhuǎn)化 如圖所示:2.應用判定定理和性質(zhì)定理的注意事項 在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時,一定要注意定理成立的條件,嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時,必須說清經(jīng)過已知直線的平面

3、與已知平面相交,則直線與交線平行. (1)定義法:證明直線與平面沒有公共點,通常要借助于反證法來證明.(2)判定定理法:在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行.(3)利用面面平行的性質(zhì)定理a.直線在一平面內(nèi),由兩平面平行,推得線面平行.b.直線在兩平行平面外,且與其中一平面平行,則這條直線與另一平面平行.(4)利用直線的方向向量與平面的法向量垂直進行判定.例1(2014河南開封模擬,20,12分)正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一點P、Q,且AP=DQ.求證:PQ平面BCE.證明證法一:如圖所示.作PM AB交BE于M,作QN AB交BC于N,連結(jié)MN. 突 破

4、 方 法方法1證明直線與平面平行的方法 正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB, AE=BD.又AP=DQ, PE=QB,又PM AB QN, =,=, =, PM QN,即四邊形PMNQ為平行四邊形, PQ MN.又MN平面BCE,PQ平面BCE, PQ平面BCE.證法二:如圖,連結(jié)AQ并延長交BC的延長線于K,連結(jié)EK, AE=BD,AP=DQ, PMAB PEAE QBBD QNDC BQBD PMAB QNDC PE=BQ, =,又AD BK, =, =, PQ EK.又PQ平面BCE,EK平面BCE, PQ平面BCE.證法三:如圖,在平面ABEF內(nèi),過點P作PM BE,交AB于點

5、M,連結(jié)QM. PM平面BCE,且=,又AE=BD,AP=DQ, PE=BQ, =, =, MQ AD,又AD BC, APPE DQBQDQBQ AQQK APPE AQQKAPPE AMMBAPPE DQBQ AMMB DQQB MQ BC, MQ平面BCE,又PM MQ=M,平面PMQ平面BCE,又PQ平面PMQ, PQ平面BCE.1-1 (2016山西晉城4月模擬,19,12分)如圖所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE CF,求證:AE平面DCF.證明證法一:由于AB CD,BE CF,故平面ABE平面DCF. 而直線AE在平面ABE內(nèi),根據(jù)面面平行的性質(zhì),得AE平面

6、DCF.證法二:如圖所示,過點E作直線EG BC交CF于點G,連結(jié)DG,又BE CF,故四邊形BEGC為平行四邊形,所以EG BC.又四邊形ABCD為矩形,故AD BC,所以ADEG,所以四邊形AEGD為平行四邊形,所以AE DG.由線面平行的判定定理,得AE平面DCF. 平面與平面平行的判定方法:(1)定義法:兩個平面沒有公共點;(2)判定定理法:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面;(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面內(nèi)的兩條相交直線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則 ;(4)利用平行平面的傳遞性:若 , ,則 .(5)利用兩個平面的法向量的數(shù)量積等于0.例2如圖,在正方體ABCD-A 1B

7、1C1D1中,S是B1D1的中點,E、F、G分別是BC、DC、SC的中點,求證:(1)直線EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1. 方法2面面平行的判定 解題導引 (1)連結(jié)SB證EG SB結(jié)論(2)連結(jié)SD證FG SD證FG面BDD 1B1結(jié)合(1)可證得結(jié)論證明(1)如圖,連結(jié)SB, E、G分別是BC、SC的中點, EG SB.又 SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,直線EG平面BDD1B1.(2)連結(jié)SD, F、G分別是DC、SC的中點, FG SD.又 SD平面BDD 1B1,FG平面BDD1B1, FG平面BDD1B1,又EG平面EFG,FG平面EFG,EG

8、FG=G,平面EFG平面BDD1B1.2-1如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點E在AA1上,點F在CC1上,點G在BB1上,且AE=FC 1=B1G=1,H是B1C1的中點. (1)求證:E,B,F,D1四點共面;(2)求證:平面A1GH平面BED1F.證明(1) AE=B1G=1, BG=A1E=2,又 BG A 1E,四邊形A1GBE是平行四邊形, A1G BE.又C1F B1G,四邊形C1FGB1是平行四邊形, FG C1B1 D1A1,四邊形A1GFD1是平行四邊形, A 1G D1F, D1F EB, E,B,F,D1四點共面. (2) H是B1C1的中點,

9、B1H=.又B1G=1, =.又=,且 GB1H= FCB=90,B1HGCBF, B 1GH= CFB,又 CFB= FBG, B1GH= FBG, HG FB.又由(1)知A1G BE,且HG A1G=G,FB BE=B,平面A 1GH平面BED1F. 3211BGB H 23FCBC 23 1.線面平行和面面平行的性質(zhì)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.2.對較復雜的綜合結(jié)論問題往往需要反復運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來進行證明,有如下方法:線線平行找過直線的平面線面平行找出或作出經(jīng)過直線且與平 面相交的平面,從而找出交線線線平行 方法3平行關(guān)系的綜合應用 BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于

10、點F,G,H.(1)證明:四邊形EFGH是矩形;(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值. 解析(1)證明:由該四面體的三視圖可知, BD DC,BD AD,AD DC,BD=DC=2,AD=1.由于BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH, 例3(2014陜西,17,12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過棱AB的中點E作平行于AD, BC FG,BC EH, FG EH.同理,EF AD,HG AD, EF HG,四邊形EFGH是平行四邊形.又 AD DC,AD BD, AD平面BDC, AD BC, EF FG,四邊形EFGH是矩形.(2)解法一

11、:如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,0,1).設(shè)平面EFGH的法向量n=(x,y,z), EF AD,FG BC, n =0,n =0,得取n=(1,1,0), sin=|cos|= = = .解法二:如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), E是AB的中點, F,G分別為BD,DC的中點, 得E ,F(1,0,0),G(0,1,0). = , =(-1,1,0), =(-2,0,1).設(shè)

12、平面EFGH的法向量n=(x,y,z), DA BC BADA BC0,2 2 0,z x y BA BA|BA| |nn 25 2 10511,0,2 FE 10,0,2 FG BA 則n =0,n =0,得取n=(1,1,0), sin=|cos|= = = .3-1如圖所示,已知E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中點,求證:四邊形BED1F是平行四邊形. 證明取D1D的中點G,連結(jié)EG,GC, E是A1A的中點,G是D1D的中點, EG AD. FE FG1 0,2 0,zx y BA BA|BA| |nn 25 2 105 由正方體性質(zhì)知AD BC, EG BC,四邊形EGCB是平行四邊形, EB GC.又 G、F分別是D 1D、C1C的中點, D1G FC,四邊形D1GCF為平行四邊形, D1F GC.由得EB D1F.四邊形BED1F是平行四邊形.