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1、 一、二階曲線(xiàn)與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的關(guān)系二、二階曲線(xiàn)的中心三、直徑與共軛直徑33 000A 雙曲型拋物型橢圓型相異的實(shí)點(diǎn)重合的實(shí)點(diǎn)共軛的虛點(diǎn)l= A33的符號(hào)仿射不變. 有心：(A 31, A32, A33); 無(wú)心：(A31, A32, 0)或(a12,a11,0)或(a22,a12,0).無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的極點(diǎn)稱(chēng)為中心.對(duì)非退化二階曲線(xiàn)討論：中心、直徑與共軛直徑、漸近線(xiàn) 三、直徑與共軛直徑1. 定義(1). 直徑仿射定義解幾定義 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P的有窮遠(yuǎn)極線(xiàn)(過(guò)中心的通常直線(xiàn)). 一組平行弦中點(diǎn)的軌跡.(XY, ZP)= 1(2). 共軛直徑 直徑AB的共軛直徑為AB上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P 的極線(xiàn)EF(相互通過(guò)對(duì)方極點(diǎn)

2、的兩直徑). 直徑AB的共軛直徑為平行于AB的弦的中點(diǎn)軌跡EF.(XY, ZP)= 1仿射定義解幾定義(3). 共軛方向：與一對(duì)共軛直徑平行的方向.l不是任何二階曲線(xiàn)的直徑！ 三、直徑與共軛直徑1. 定義2. 性質(zhì)(1). 有心二階曲線(xiàn) (i) 的任一對(duì)共軛直徑與l一起, 構(gòu)成的一個(gè)自極三點(diǎn)形. (ii) 的每一直徑平分與其共軛直徑平行的弦, 且平行于共軛直徑與交點(diǎn)處的兩切線(xiàn).(2). 拋物線(xiàn) (i) 的直徑相互平行(l不是拋物線(xiàn)的直徑). (ii) 的任一直徑的極點(diǎn)為其與有窮遠(yuǎn)交點(diǎn)處切線(xiàn)上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn). (iii) 的任一直徑平分其與有窮遠(yuǎn)交點(diǎn)處切線(xiàn)平行的弦. (XY, ZP )= 1. (i

3、v) 拋物線(xiàn)沒(méi)有共軛直徑, 將被一直徑平分的弦的方向稱(chēng)為該直徑的共軛方向. 三、直徑與共軛直徑1. 定義2. 性質(zhì)3. 直徑的方程(1). 有心二階曲線(xiàn) (i) 直徑的方程. 因?yàn)橹睆绞且缘闹行臑槭牡木€(xiàn)束中的直線(xiàn). 以?xún)商厥庵睆絽?shù)表示. 取兩無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(1,0,0), (0,1,0), 其極線(xiàn)(對(duì)應(yīng)的直徑)方程為0: 0: 3232221122 3132121111 xaxaxal xaxaxal即0021 xSxS從而任一直徑l的方程為1 2: 0, (4.37)S Sl k k Rx x 注: k的幾何意義. (4.37)表示的直徑l方程可改寫(xiě)為：001 321 xSkxSxS這說(shuō)明l為

4、(1,k,0)的極線(xiàn). 而(1,k,0)是l的共軛直徑上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 從而, (4.37)中的參數(shù)k為直徑l的共軛方向(共軛直徑的斜率). 三、直徑與共軛直徑1. 定義2. 性質(zhì)3. 直徑的方程(1). 有心二階曲線(xiàn) (ii) 兩直徑共軛的條件.設(shè)直徑0: 21 xSkxSl的共軛直徑為l.則l為l上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(a12+ka22,(a11+ka12),0)的極線(xiàn). 從而l的方程為.0)()( 1211 222121 kaaxSkaaxS即.0 21 xSkxS其中2212 1211 kaa kaak 為l的斜率, 即)40.4()0(0)( 332122211111222 Aaaaakkakk

5、a從而, 兩直徑共軛兩直徑的斜率滿(mǎn)足對(duì)合方程. 性質(zhì). 在以有心二階曲線(xiàn)的中心為束心的線(xiàn)束中, 直徑與共軛直徑的對(duì)應(yīng)是一個(gè)對(duì)合. 三、直徑與共軛直徑1. 定義2. 性質(zhì)3. 直徑的方程(1). 有心二階曲線(xiàn)(2). 拋物線(xiàn)利用中心坐標(biāo), 可直接寫(xiě)出的直徑方程為.)(0 12113212111 bxaaybbxxaxa 即為常數(shù)或者.)(0 22123222112 bxaaybbxxaxa 即為常數(shù)(a12,a11,0)或(a22,a12,0) 四、漸近線(xiàn) 1. 定義. 二階曲線(xiàn)上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的有窮遠(yuǎn)切線(xiàn)稱(chēng)為其漸近線(xiàn).注1. 等價(jià)定義：過(guò)中心的有窮遠(yuǎn)切線(xiàn)稱(chēng)為漸近線(xiàn).注2. 與漸近線(xiàn)平行的方向稱(chēng)為漸

6、近方向.注3.雙曲線(xiàn)橢 圓有兩條實(shí)虛漸近線(xiàn), 一對(duì)漸近方向；拋物線(xiàn)無(wú)漸近線(xiàn).從而, 漸近線(xiàn)只對(duì)有心二階曲線(xiàn)討論. 四、漸近線(xiàn)1. 定義2. 性質(zhì)(1). 漸近線(xiàn)是自共軛的直徑.(2). 在以二階曲線(xiàn)的中心為束心的線(xiàn)束中, 漸近線(xiàn)是對(duì)合)40.4()0(0)( 332122211111222 Aaaaakkakka的兩條不變直線(xiàn). (3). 有心二階曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)調(diào)和分離其任一對(duì)相異的共軛直徑.3. 求漸近線(xiàn)方程設(shè)已知有心二階曲線(xiàn) )1(0,0|,)(0: 333 1, AaaaxxaS ijjiijji jiij求的漸近線(xiàn)方程.雙曲線(xiàn)雙曲型對(duì)合橢 圓橢圓型對(duì)合 四、漸近線(xiàn)3. 求漸近線(xiàn)方程設(shè)已

7、知有心二階曲線(xiàn))1(0,0|,)(0: 333 1, AaaaxxaS ijjiijji jiij求的漸近線(xiàn)方程.法一. 利用對(duì)合不變?cè)? 在)40.4()0(0)( 332122211111222 Aaaaakkakka中, 令k=k得不變?cè)胤匠虨?2 1112222 akaka此方程的兩根即為漸近線(xiàn)方向. 設(shè)兩根為ki(i=1,2), 分別代入021 xSkxS即可得兩漸近線(xiàn)方程. 評(píng)注：此法簡(jiǎn)單且直接, 但若上述參數(shù)表示中的兩基線(xiàn)之一為漸近線(xiàn), 則ki中應(yīng)有0或, 實(shí)際計(jì)算時(shí)容易丟失一條漸近線(xiàn). 四、漸近線(xiàn)3. 求漸近線(xiàn)方程法二. 利用中心和漸近方向. 評(píng)注：此法簡(jiǎn)單且直接, 只要求

8、出中心的非齊次坐標(biāo), 漸近線(xiàn)的方程即可直接寫(xiě)出(一般可不分解為兩個(gè)一次式).得，聯(lián)立 003xS,02 222221122111 xaxxaxa這表示過(guò)原點(diǎn)的兩直線(xiàn), 其上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)即為與l的交點(diǎn), 從而它們平行于兩漸近線(xiàn), 化為非齊次, 得.02 2 2212211 yaxyaxa設(shè)中心的非齊次坐標(biāo)為(, ). 則漸近線(xiàn)的方程為.0)()(2)( 22212211 yayxaxa 四、漸近線(xiàn)3. 求漸近線(xiàn)方程 法三. 利用切線(xiàn)方程. 漸近線(xiàn)為過(guò)中心的切線(xiàn), 將中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得漸近線(xiàn)方程. 現(xiàn)對(duì)此法進(jìn)行整理, 因?yàn)?評(píng)注：此法推導(dǎo)繁, 實(shí)用不繁, 因?yàn)樵谧鲱}時(shí), 首先判斷是否退化, |a ij|已有, 再判斷是否有心, A33也已知, 從而為已知. 332211 xxSxxSxxSS pppp 由于P為中心, 所以上式前二項(xiàng)的系數(shù)等于0, 從而.33 xxSS pp 將中心坐標(biāo)代入, 得.|)( 33333332323131 xaxAaAaAaS ijp 由此又得.| 33AaS ijpp 從而, 過(guò)中心的切線(xiàn)(漸近線(xiàn))方程為.| 233323233 xaSAxaSAa ijijij 令./| 33Aaij得漸近線(xiàn)方程為.023 xS 今日作業(yè)P.143, 2, 3The Class is over. Goodbye!