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1、第八章 立體幾何 第1講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 一、選擇題 1. 下列四個(gè)幾何體中，幾何體只有主視圖和左視圖相同的是(　　) A．①②　　　　　　　　　　　　 B．①③ C．①④ D．②④ 解析 由幾何體分析知②④中主視圖和左視圖相同． 答案 D 2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 (　　)． A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓 B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形 C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓 解析　畫幾何體的三視圖要考慮視

2、角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓． 答案　A 3．將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(b)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 (　　)． 解析　還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線． 答案　B 4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　)． 解析　A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D. 答案　D 5．一個(gè)平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　

3、　)． A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2 解析　根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于＝2a2.故選B. 答案　B 6．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是 (　　)． 解析　選項(xiàng)C不符合三視圖中“寬相等”的要求． 答案　C 二、填空題 7.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面B

4、CC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是________(填序號(hào))． 解析　B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)分別在邊CC1和DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故①③④錯(cuò)誤． 答案?、? 8．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長的一條棱的長為________． 解析　(構(gòu)造法)由主視圖和俯視圖可知幾何體是 正方體切割后的一部分(四棱錐C1- ABCD)，還原 在正方體中，如圖所示．多面體最長的一條棱即 為正方體的體對角線，如圖即AC1.由正方體棱長 AB＝2知最長棱

5、AC1的長為2. 答案　2 9．利用斜二測畫法得到的： ①三角形的直觀圖一定是三角形； ②正方形的直觀圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀圖一定是菱形． 以上正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析　由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤． 答案　① 10．圖(a)為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成；圖(b)中的三視圖表示的實(shí)物為________． 　　 圖(a)　　　　　　　　　　 圖(b)

6、解析　(1)由三視圖可知從正面看到三塊，從側(cè)面看到三塊，結(jié)合俯視圖可判斷幾何體共由4塊長方體組成． (2)由三視圖可知幾何體為圓錐． 答案　4　圓錐 三、解答題 11．如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)． (1)在主視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； (2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積； 解 (1)如圖． (2)所求多面體的體積 V＝V長方體－V正三棱錐＝446－2 ＝(cm3)． 12．已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)接

7、于圓錐，求這個(gè)正方體的棱長． 解　如圖所示，過內(nèi)接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.∵△VA1C1∽△VMN， ∴＝，∴x＝. 即圓錐內(nèi)接正方體的棱長為. 13．正四棱錐的高為，側(cè)棱長為，求側(cè)面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)為多少？ 解　如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中， 高OS＝，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝， 在Rt△SOA中， OA＝＝2，∴AC＝4. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2. 作OE⊥AB于E，則E為AB中點(diǎn)． 連接SE，則SE即為斜高， 在Rt△SOE中，∵OE

8、＝BC＝，SO＝， ∴SE＝，即側(cè)面上的斜高為. 14． (1)如圖1所示的三棱錐的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，那么該三棱錐的側(cè)視圖是圖2還是圖3? (2)某幾何體的三視圖如圖4，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？ (3)某幾何體的三視圖如圖5，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？ 解　(1)該三棱錐在側(cè)(右)投影面上的投影是一直角三角形，該三棱錐的側(cè)視圖應(yīng)是圖2. (2)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中OA、OB、OC兩兩垂直， ∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是銳角三角形．設(shè)AO＝a，OC＝c，OB＝b，則AC＝，BC＝，AB＝，∴cos∠BAC＝>0，∴∠BAC為銳角．同理，∠ABC、∠ACB也是銳角． 綜上所述，該幾何體的面中共有三個(gè)直角三角形． (3)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD， ∴△ACD也是直角三角形． ∴該幾何體的面中共有四個(gè)直角三角形.