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1、《經(jīng)濟數(shù)學》線性代數(shù)學習輔導及典型例題解析 第1-2章 行列式和矩陣 　?、绷私饩仃嚨母拍?，熟練掌握矩陣的運算。 矩陣的運算滿足以下性質(zhì) 　　⒉了解矩陣行列式的遞歸定義，掌握計算行列式（三、四階）的方法；掌握方陣乘積行列式定理。 是同階方陣，則有： 若 是 階行列式， 為常數(shù)，則有： 　?、沉私饬憔仃?，單位矩陣，數(shù)量矩陣，對角矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，初等矩陣的定義及性質(zhì)。 　　⒋理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。 若 為 階方陣，則下列結(jié)論等價 可逆 滿秩 存在 階方

2、陣 使得 　?、凳炀氄莆涨竽婢仃嚨某醯刃凶儞Q法，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。 用初等行變換法求逆矩陣： 用伴隨矩陣法求逆矩陣： （其中 是 的伴隨矩陣） 可逆矩陣具有以下性質(zhì)： 　　⒍了解矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。 將矩陣用初等行變換化為階梯形后，所含有的非零行的個數(shù)稱為矩陣的秩。 典型例題解析 例1 設 均為3階矩陣，且 ，則 。 解：答案：72 因為 ，且 所以 例2 設 為 矩陣， 為 矩陣，則矩陣運算（ ）有意義。 解：答案：A 因為 ，所以A可進行。 關于B，因為矩陣 的列數(shù)不等于矩陣 的行數(shù)，所

3、以錯誤。 關于C，因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣，所以錯誤。 關于D，因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣，所以錯誤。 例3 已知 求 。 分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解。 解：因為 得 。 例4 設矩陣 求 。 解：方法一：伴隨矩陣法 可逆。 且由 得伴隨矩陣 則 = 方法二：初等行變換法 注意：矩陣的逆矩陣是唯一的，若兩種結(jié)果不相同，則必有一個結(jié)果是錯誤的或兩個都是錯誤的。 例4 設矩陣 求 的秩。 分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。 解： 。 例5若 是 階矩陣，且

4、，試證 證明： 注意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論。 第三章 線性方程組 一、本章主要內(nèi)容 主要概念：齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 一般解 通解（全部解） 特解 基礎解系 自由元（自由未知量） 維向量 線性組合（線性表出）線性相關 線性無關 極大線性無關組 向量組的秩 向量空間 向量空間的基和維數(shù) 主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì) 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 主要定理： 線性方程組的理論 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 非齊次

5、線性方程組解的結(jié)構(gòu) 向量組線性相關性的有關定理（教材中第三章第三節(jié)）定理1、2、3及有關推論； 極大無關向量組的有關定理（教材中第三章第四節(jié)）定理1、2、3 主要方法：高斯消元法 齊次線性方程組解的情況判別 非齊次線性方程組解的情況判別 基礎解系的求法 通解的求法 向量組線性相關（無關）的判別法 極大線性無關組的求法 二、本章重點：向量組相關性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。

6、 三、典型例題解析 例1 向量組，若向量組線性相關則= 。 解：答案：2 因為由有關定理，向量組線性相關的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個數(shù)，所以 求向量組的秩，決定的取值，使其秩數(shù)小于3。具體解法是 當時，，故向量組線性相關。 例2 設向量組為 求它的一個極大無關組，并判斷向量組的相關性。 分析： 解： 是向量組的一個極大無關組，，此向量組線性相關。 例3 線性方程組 當為何值時方程組有解，有解時解的情況如何？ 分析：因為增廣矩陣的秩與的取值有關，所以選擇的值，使 解 時，有，方程組有解且有無窮多解。 例4 設線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換后化為 求方程組的通解。 分析：將階梯形矩陣繼續(xù)化為行簡化階梯形矩陣，求出方程組的一般解，然后求特解，相應齊次方程組的基礎解系，寫出方程組的通解。 解： 得到方程組的一般解為 （其中是自由元） 令，得的一個特解 再由相應齊次方程組的一般解 （其中是自由元） 令，得的一個解向量 令，得的另一個解向量 是的一個基礎解系，于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)。