各地名校試題解析分類匯編(一)理科數(shù)學:9直線、圓、圓錐曲線
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1、各地解析分類匯編: 直線、 圓錐曲線 4 3 1.【山東省實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】已知兩條直線y = ax — 2和3x — (a + 2)y + l = 0互 相平行,則。等于( ) A. 1或-3 B. -1或3 C.1或3 D,-1或3 【答案】A 【解析】因為直線—2的斜率存有且為“,所以—(〃 + 2)0,所以3x —(〃 + 2)y+ 1 = 0的斜截式 3 1 3 1 方程為y = -x + ——,因為兩直線平行,所以一=。且——。一2,解得。=—1或。=3,選A. a + 2 。+ 2 。+ 2 。+ 2 2 .【山東
2、價實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】已知P(x, y)是直線人:+y + 4 = 0(4>0)上一動點, PA, PB是圓C: 一 +/一2), = 0的兩條切線,a、B是切點,若四邊形PACB的最小面積是2,則攵的值為 () A. 3 B. — C. 2ME D. 2 2 【答案】D 【解析】由圓的方程得r+(),- 1)2=1,所以圓心為(0,1),半價為廠=1,四邊形的而枳S = 2S/8C, 所以若四邊形PACB的最小面積是2,所以S/BC的最小值為1,而S/8C = ;r|P8|,即盧耳的最小值 為2,此時1Pq最小為同心到直線的距離,此時4=/1==彳百=6,即r
3、=4,因為%>0, yjk2 +\ 3 .【山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試理】一已知傾斜角為。的直線/與直線x — 2y + 2 = 0平 行,則tan 2a的值為 3 C.一 2 D.- 4 4 A. - B.一 5 3 2tana _ 2>
4、如圖所示的平面直角坐標系xoy. (I )求以A、B為焦點,且過C、D兩點的橢圓的標準方程: (H)過點P (0, 2)的直線/交(I )中橢圓于M, N兩點,是否存有直線/,使得弦MN為直徑的圓恰好 過原點?若存有,求出直線/的方程;若不存有,說明理由. 7分 【答案】解:(I)由題意可得點A, B. C的坐標分別為(一及,0),(&,0),(、屹1). 2 2 設橢圓的標準方程是二十二=1(。> 〃 > 0). cr y 則 2a = AC+ BC = 7(72-(-^))2+(1-0)2 + +(1-0)2 = 4 > 2、笈,二 a = 2 2 分 :
5、,h2=a2-c2=4-2 = 2. 2 2 ???橢圓的標準方程是—+ —= 1. 4分 4 2 (II)由題意直線的斜率存有,可設直線/的方程為y = Zx+2(攵工0).……5分 聯(lián)立方程: y = kx+ 2 x2 +2y2 =4 設M,N兩點的坐標分別為區(qū),必),(工2,、2)? 消去y整理得,(1 + 2女2)入2+8匕:+4 = 0 八 8k 4 有3+為 = - = T - 1 + 2攵2 -1 + 2爐 若以MN為直徑的圓恰好過原點,則3彳,麗,所以玉々+%為=, 所以,xxx2 +(k百 +2)(te +2) = 0 , 即(1 + k )
6、x^2 + 2k(% + x2) + 4 = 0 所以, 俗->。 ??9分 得 k? =2,k=土也. 所以直線/的方程為y = yf2x + 2,或y = — + 2 11分 所在存有過P(0, 2)的直線/: y = JIr + 2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?!?2分 錐曲線 1【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】橢圓的中心在原點,焦距為4, 一條準線為x = -4, 則該橢圓的方程為() 5? ?>) /> 0 A. —H = 1 B. —t = 1 C. 1 = 1 D. — + — = 1 16 12 12 8 8 4 12 4 【
7、答案】C 2 【解析】因為橢圓的焦距是4,所以2c = 4,c = 2又準線為x = t,所以焦點在x軸且一 = -4,解得 c /=8,所以〃=〃2_。2=8_4 = 4,所以橢圓的方程為二十二=1,選C. 8 4 2【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】已知拋物線方程為f=4x,直線/的方程為 工_),+ 4 = 0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為4, P到直線/的距離為則4+4的最小 值( ) 八 5>/2 個 56、 「5>/2 c 、5右、 A. 卜 2 B. F1 C. - 2 D. - 1 2 2 2 2 【答案】D 【解析】因為拋
8、物線的方程為V=4x,所以焦點坐標戶(1,。),準線方程為工=一1。因為點P到)軸的距 離為4,所以到準線的距離為4 + 1,又4 + 1 =。/,所以4+%=4 + 1+4-1 =。/+4-1,焦點到 直線的距離d = =提=空,而PF+d2Nd = W^,所以4+4 =尸產(chǎn)+4—12拽一1, \/2 2 2 2 選D. 3【云南師大附中2013屆高三高考適合性月考卷(三)理科】若在曲線f (x, y)=0上兩個不同點處的切 線重合,則稱這條切線為曲線f(x, y)=0的“自公切線”。下列方程:①/一),2 = 1;②丁 = /_|工|, ③y = 3sinx + 4cosx
9、:④Ixl+1 =占二7r對應的曲線中存有“自公切線”的有
B.②③
C. <4)
D.③④
【答案】B 【解析】畫圖可知選B.①f-yW是一個等軸雙曲線,沒有自公切線:
/ _ 1 t 2 _ 1
F 工 1 1 1
②y - 1x1 二,
,在X」和X二-工處的切線都是行-』,故②有自公切線.
「1 2 2 4
)一百
(3)y = 3sinx + 4cosx=5sin (x+ 10、2 x1+y-3=0,結合圖象可得,此曲線沒有自公切線.
故答案為B.
4【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】已知點K,F(xiàn),分別是雙曲線二一二=1(。>0力>0)的
~ cr b.
左、右焦點,過巴且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A , B兩點,若AA8A是鈍角三角形,則該雙曲線
離心率的取值范圍是()
A. (-\/2 — l,+oo) B. (?>/?+1,+℃) C. (1 + >/T,+oo) D. (1,1 + 5/2)
【答案】C
【解析】由題設條件可知△ABC為等腰三角形,只要NAFoB為鈍角即可,所以有 —>2c,即〃 >2〃c, a
所以c2—c5> 11、2ac,解得+ 選C.
5【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】在拋物線),= /+a.5(。工0)上取橫坐標為$ =-4,受=2
的兩點,過這兩點引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5/+5,V =36相切,則拋
物線頂點的坐標為( )
A. (-2,-9) B. (0,-5) C. (2,-9) D. (1-6)
【答案】A
1 1 - 4a - 9^4-1
【解析】解:兩點坐標為(Y,ll - 44),(2,2a — l),兩點連線的斜率k-3 二
- 4 - 2
對于y =工2 +。工一5(。WO), y = 2x + a ?
/? 2x+a= 12、a - 2 解得工二-1
在拋物線上的切點為(—1,—4 — 4),切線方程為(a —2)x — y—6=0
直線與圓相切,圓心(0, 0)到直線的距離二圓半徑,即〒 摩
J(v2)^5
解得"4或0 (0舍去),所以拋物線方程為),=/+4工一5頂點坐標為(-2,-9),故選A.
2 2
6【山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試理】已知雙曲線二-二=1(。> 0力> 0)的兩條漸近線
CT 獷
均與C: / +),2 -6x + 5 = 0相切,則該雙曲線離心率等于
3小 系 3 小
A. B. C. - D.
5 2 2 5
【答案】A
【 13、解析】圓的標準方程為(x — 3)2 + y2=4,所以圓心坐標為C(3,0),半徑r=2,雙曲線的漸近線為
y = -x,不妨取y = 即以一 ay = O,因為漸近線與圓相切,所以圓心到直線的距離
7【山東省實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】已知橢圓二+二=1(。>〃>0)的左、右焦點分別
cr b-
為6( - c,0),居(c,0),若橢圓上存有點P使一一^7^=. 二 L,則該橢圓的離心率的取值范圍為 smZPr1F2 sinN 尸后寫
A. (0, y/2, — 1)
B.,爭)
C. (0,2
2
D. (V2-1, 1)
【答案】D
【解析 14、】根據(jù)正弦定理得-」”― -=一,所以由 ——-——=——-—— 可得 sin /PFR sin /PF?F、 sin /Pg sin
Mi閥「即黑所以
又
\PF\ = e\PF^ 戶用+ |P同=40局+歸用=盧用(6 + 1) = 2
即叫=當’因為…<|”|<"+不(不等式兩邊不能取等號,否則分式中的分母為。,無意義)
所以 〃-c v 二fL v〃 + c,即 1 一<=^<1 + 上,所以 1一6<
e+\ a e+\ a
e+\
(1—e)(l + e)v2
, ,所以
2<(l + e)2
1 —< 2 l l
_ ,解得應— Ivevl,即(衣—1,1 15、),選D.
42<\ + e
8【山東省聊城巾東阿一中2013屆高三上學期期初考試】過橢圓二+二=1 的左焦點寫作X
cr b-
軸的垂線交橢圓于點P,
F2為右焦點,若以號Pg =60。,則橢圓的離心率為
B.
D. 1
【答案】B
【解析】由題意知點
P的坐標為(-c,一 a
),或(-6-一),因為NKP3 = 6(r,那么 a
E = V?.t 2ac = >/3b ? b-
這樣根據(jù)a, b,c的關系式化簡得到結論為無,選B
3
Y2 V2
9【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(理)】設月、入分別為雙曲線/-廬=1(。>0,〃>0)
的 16、左、右焦點.若在雙曲線右支上存有點P,滿足|PR| = |百6|,且尸2到直線尸的距離等于雙曲線
的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為
A. 3x4y = 0
B. 3x5y = 0
C. 5x4y = 0
D. 4x3y = 0
【答案】D
【解析】依題意IPF2ITF1F2I,可知三角形P6巴是一個等腰三角形,F(xiàn)2在直線PFi的投影是其中點,由勾 股定理知可知|尸甲=244c2—4cJ =4b,根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a?+b2
整理得3b2 - 4ab=0,求得且 a 3
4
」.雙曲線漸進線方程為y = 4x,即4x3y = 17、 0。故選D.
2 2
10【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(理)】橢圓5+5=1的焦點為",鳥,點尸在橢
圓上,若IPI=4, 用的小大為
【答案】120
【解析】橢圓9 2 的/=9,〃 = 3, b2=2.c2=a2-b2=7,所以c = ",因為戶周=4,所以
附 |+|*=2〃 = 6
所 以 |尸國=6-4 = 2
cos F}PF2 =
一1,所以 N"PA=120, 2
附「+閥「-出用142+22-(2"尸
2\PFx\\PF2\ - 2x4x2
11【山東省實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】若焦點在x軸上的橢圓二十 18、二=1的離心率為L , 2 m 2
貝|J加=.
3
【答案】-
2
【解析】因為焦點在x軸上。所以0vmv2.所以/=2萬=肛/=/一從=2_* 橢圓的離心率為
3 解得〃7 = -。
2
12【山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試理】已知點P是拋物線f=4x上的動點,點P在y軸
上的射影是X,點A的坐標是(4, a),則當lal>4時,I P4I+ 1 PM I的最小值是
【答案】7779-1
【解析】當x = 4時,),2=4x4 = 16,所以),=4,即卜| = 4,因為lal>4,所以點A在拋物線的外側(cè),
由拋物線的定義可知
|PN| = | 19、0根+ 1=|夕尸|,當,三點A,P,F共線時,IPAI + IPFI最小,此時為IR4I + IP-l=|AF|, 又焦點坐標為尸(1,0),所以|A目= J(4_l)2+〃2 =的+力,即pM| +1 + |以|的最小值為JcJ+9 , 所以|尸根+|。4|的最小值為十9 -1 0
13【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】過橢圓左焦點尸,傾斜角為三的直線交橢圓于4, 8兩 3
2
點,若歸曰=2|尸q,則橢圓的離心率為
,設橢圓的左準線為1,過A點作ACL1于C,過點B作
BD_L1于D,再過B點作BGLAC于G,
直角AAEG中,ZBAG=60 ,所以AB=2AG,… 20、①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得:已里, AC BD
VFA=2FB, ,AC = 2BD
直角梯形ABDC中,AG=AC - BDjAC…② 2
①、②比較,可得AB二AC,
2
又??? af/ab ,已望望/ 故所求的離心率為. 憾 31W e AC AB 3 ,
14【云南師大附中2013屆高三高考適合
性月考卷(三)理科】如圖4,橢圓的中心在坐標原點,F(xiàn)為左焦點,A, B
分別為長軸和短軸上的一個頂點,當FBLAB時,此類橢圓稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可
推出“焚金雙曲線”的離心率為.
【答案】芋
【解析】由圖知‘("心面+H,整理得即入1=。, 21、解得”竽
1 +有 e = ?
2
15.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(理)】(本小題滿分14分)
已知橢圓C:二十==1(。>。> 0)的離心率為—,橢圓短軸的一個端點與兩個焦 cr 3
點構成的三角形的面積為些. 3
(I)求橢圓C的方程;
(II)已知動直線y = A:(x + l)與橢圓C相交于A、B兩點.①若線段A8中點的橫坐標為一 2
7
斜率大的值;②若點M(——,0),求證:為定值.
3
【答案】解:(I )因為二十二=1(〃>人>0)滿足。2=6+/, = " 2分
cr \r a 3
= x〃x2c =空。解得,尸=5, 22、〃=2,則橢圓方程為 2 3 3
(II) (1)將y = A(x + l)代入上+匚=1中得
5 J
3
(1 + 3 公)/+6入 + 3公- 5 = 0
△ = 36%,- 4(3公 +1)(3公 - 5) = 48公 + 20 > 0
玉+/ =
6k?
3k2+ 1
7分
因為A3中點的橫坐標為-L,所以 2
6% 2
3k?+1
1 八
解得%=Z 9分
6k2
(2)由(1)知*+x)=-R-- ? 3K+1
3公一 5
V2 = 3FTT
7 7 7 7
所以 MA?MB =(內(nèi) + 鼻,乃)(々 + 7,K)=(X + -) 23、(^2 + -)+ >i >2
11分
7 7 、
=(* + -)(^2 + Q)+ ?。╔ + 1)*2 + 1)
= (1 + Zr2)x1x2 +(1 + &2)(玉 +x2) + — + k2
=(1 + 二)
3尸-5
3k2+ \
7
+《+公)(—
+ 42
9
14分
一3廿一 16k2 - 5 49 逢 4
3r+ 1 9 9
16.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】(本題12分)如圖所示,己知橢圓G和拋物線。2
有公共焦點尸(1,0), G的中心和G的頂點都在坐標原點,過點M(4,0)的直線/與拋物線C2分別相交于
A,8 24、兩點
(1)寫出拋物線C)的標準方程: (2)若病=1而,求直線/的方程;
一 2
(3)若坐標原點。關于直線/的對稱點尸在拋物線。2上,直線/與橢圓G有公共點,求橢圓G的長軸長
的最小值.
【答案】解:(1) 丫 -4"⑵設 4 4
AM=yMB (4_?,一乃)二;(^十年)2)
陽為=-16
1 {尸2二4五 .■?G1+72 =4附
? ?修 - x = +4 :. y2 - Amy -16=0 - 2yY = y2
_72
二為二-2屈馮二4虎…m —
(3)
1+—溶(1+,)
2 2
橢圓設為,
消元整(2/ -1)72十式1 25、 一 1)丁一一十17川- 16 = 0
x y y
+匚"+/1
匕2 兀=、+4
A >。斯之年.長軸長的最小值為西
2 2
17 .【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】(本小題滿分12分)已知橢圓二十二=1上任一點 4 9
P,由點P向X軸作垂線段PQ,垂足為Q,點M在PQ上,且PA/ = 2M0,點M的軌跡為C.
(I)求曲線C的方程;
4
(II)過點D (0, -2)作直線1與曲線C交于A、B兩點,設N是過點((),-m)且平行于x軸的直線
上一動點,滿足碗= 05 +礪(0為原點),問是否存有這樣的直線1,使得四邊形0ANB為矩形?
若存有,求 26、出直線的方程:若不存有說明理由
解,(I )設M (x, y)是曲線C上任一點.因為PMlx軸,兩=2磁,所以點P的 坐標為(又,3y)。
點P在橢圓十乙三1上,所以《十竺匚=1,,
A 9 A 9
因此曲線C的方程是= 1
4
(II)當直線/的斜率不存在時,顯然不滿足條件"
所以設直線,的方程為產(chǎn)粒-2與橢圓交于A (九,川),B (摩,”),經(jīng)N點平行乂軸的
y = kx- 2
直助程為尸二十由歸+小期十研xf 23
16 上 12
/ "西=17^’
由△=[『肥-48(1+軟漪V >之即“正或左.追, .…8分~
【答案】p 4 2 2
因為麗=次+而, 27、所以四邊形OANB為平行四邊形,
假設存有矩形OANB,則萬{?麗=0
即匹/ +必為=xixi +%2再必-2k(X] +x2) + 4 = (\ + k2)xlx2 - 2A(再 + x2) + 4 = 0 ,
所以(1 + 6)? 12二一2八 16A;+4 = o,即即=4從=2, io 分
1+4K 1+4K
4
即N點在直線y = -一 ,
設N(x。,外),由麗=礪+方,得
/ 16k2 . -4 4
y0 = y[ +)1 = k(x. + xJ -4 = 7-4 = 7 = 一一,
U . 1 . 1 +軟 2 1 + 軟2 17
所以存有四邊形0AN 28、B為矩形,直線1的方程為y = 2x-2
18 .【云南師大附中2013屆高三高考適合性月考卷(三)理科】(本小題滿分12分)
設拋物線C的方程為/ =4y, X為直線2: y=一m(m>0)上任意一點,過點M作拋物線C的兩 條切線MA, MB,切點分別為A, B.
< I)當M的坐標為(0, -1)時,求過M, A, B三點的圓的標準方程,并判斷直線]與此圓的位置 關系:
(H)當m變化時,試探究直線1上是否存有點M,使MA_LMB?若存有,有幾個這樣的點,若不存有, 請說明理由,
【答案】解:(I )當必的坐標為(0, -1)時,
設過必點的切線方程為)=履-1,代入/ =4 29、),,整理得丁-44+4 = 0,①
令A = (4")2-4x4 = 0,解得4=1,
代入方程①得x = 2,故得A(2, 1), B(-2, 1).
因為必到四的中點(0, 1)的距離為2,
從而過M, A, 8三點的圓的標準方程為/+(丫_1)2=4.
易知此圓與直線1:產(chǎn)-1相切. (6分)
(II)設切點分別為A , y)、B(x2 , y2) 9直線1上的點為M(小,一),
過拋物線上點A(x , X)的切線方程為=k(x - X),因為x:=4V], % =乜, 2
從而過拋物線上點4%, %)的切線方程為)」凹=g(x-X),又切線過點月),
2
所以得先 30、 =,xq ~-y > 即 X; -2" +4% =0.
同理可得過點B(x2 , y2)的切線方程為x; -2x0.y2 + 4%=0 , (8分)
因為勺川=寸,% =于且% , %是方程『-2入內(nèi)+ 4% = 0的兩實根,
從而,上+“2小,
[xw = 4yo,
所以M =彳、『二% ,
乙 乙
當yo=-I,即小=1時,
直線/上任意一點M均有物_L陽, (10分)
當先hT,即加戶1時,.3與歷不垂直.
綜上所述,當切二1時,直線/上存有無窮多個點M使物U區(qū) 當。#1時,直線1
上不存有滿足條件的點 " (12分)
19 .【山東省濟南外國語學校2013 31、屆高三上學期期中考試理科】(本小題滿分12分)
如圖,直線I : y=x+b與拋物線C : x2=4y相切于點A.
(1)求實數(shù)b的值:
(11)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.
【答案】(I)由《
y = x + b
X=4v
得 /一4X一4。= 0
因為直線/與拋物線C相切,所以A = (-4尸—4x(—4〃) = 0,解得力=一1 4分
(II)由 ⑴ 可知8 = - 1,故方程(*)即為/-4工+ 4 = 0,解得了=2,將其代入/=4),,得y=l,故點A(2,".
因為圓A與拋物線C的準線相切,所以圓心A到拋物線C的準線y=-l的距離等于圓A的半徑r,即r=| 1-(-1) | =2, 所以圓A的方程為“一2尸+(y — l)2 =4 12分
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