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中考數(shù)學復習專題 代數(shù)式

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1、 中考數(shù)學復習專題 代數(shù)式 一. 教學目標: 1. 復習整式的有關概念,整式的運算 2. 理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法,能把簡單多項式分解因式。 3. 掌握分式的概念、性質,掌握分式的約分、通分、混合運算。 4. 理解平方根、立方根、算術平方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根、立方根和算術平方根。會求實數(shù)的平方根、算術平方根和立方根,了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念,會辨別最簡二次根式和同類二次根式。掌握二次根式的性質,會化簡簡單的二次根式,能根據(jù)指定字母的取值范圍將二次根式化簡;掌握二次根式的運算法

2、則,能進行二次根式的加減乘除四則運算,會進行簡單的分母有理化。 二. 教學重點、難點: 因式分解法在整式、分式、二次根式的化簡與混合運算中的綜合運用。 三.知識要點: 知識點1 整式的概念 (1)整式中只含有一項的是單項式,否則是多項式,單獨的字母或常數(shù)是單項式; (2)單項式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)之和; 多項式的次數(shù)是多項式中最高次項的次數(shù); (3)單項式的系數(shù),多項式中的每一項的系數(shù)均包括它前面的符號 (4)同類項概念的兩個相同與兩個無關: 兩個相同:一是所含字母相同,二是相同字母的指數(shù)相同; 兩個無關:一是與系數(shù)的大小無關,二是與字母的順序無關

3、; (5)整式加減的實質是合并同類項; (6)因式分解與整式乘法的過程恰為相反。 知識點2 整式的運算 (如結構圖) 知識點3 因式分解 多項式的因式分解,就是把一個多項式化為幾個整式的積.分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止.分解因式的常用方法有: (1)提公因式法 如多項式 其中m叫做這個多項式各項的公因式,m既可以是一個單項式,也可以是一個多項式. (2)運用公式法,即用 寫出結果. (3)十字相乘法 對于二次項系數(shù)為l的二次三項式 尋找滿足ab=q,a+b=p的a,b,如有,則對于一般的二次三項

4、式尋找滿足 a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,則 (4)分組分解法:把各項適當分組,先使分解因式能分組進行,再使分解因式在各組之間進行. 分組時要用到添括號:括號前面是“+”號,括到括號里的各項都不變符號;括號前面是“-”號,括到括號里的各項都改變符號. (5)求根公式法:如果有兩個根x1,x2,那么。 知識點4 分式的概念 (1)分式的定義:整式A除以整式B,可以表示成的形式。如果除式B中含有字母,那么稱為分式,其中A稱為分式的分子,B為分式的分母。 對于任意一個分式,分母都不能為零。 (2)分式的約分 (3)分式的通分

5、知識點5 分式的性質 (1)(2)已知分式,分式的值為正:a與b同號;分式的值為負:a與b異號;分式的值為零:a=0且b0;分式有意義:b0。 (3)零指數(shù) (4)負整數(shù)指數(shù) (5)整數(shù)冪的運算性質 上述等式中的m、n可以是0或負整數(shù). 知識點6 根式的有關概念 1. 平方根:若x2=a(a>0),則x叫做a的平方根,記為。 注意:①正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù);②0的平方根是0;③負數(shù)沒有平方根; 2. 算術平方根:一個數(shù)的正的平方根叫做算術平方根; 3. 立方根:若x3=a(a>0),則x叫做a的立方根,記為。 4. 最簡二次根式 被

6、開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù),因式是整式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,叫做最簡二次根式。 5. 同類二次根式:化簡后被開方數(shù)相同的二次根式。 知識點7 二次根式的性質 ①是一個非負數(shù); ② ③ ④ ⑤ 知識點8 二次根式的運算 (1)二次根式的加減 二次根式相加減,先把各個二次根式化成最簡二次根式,再把同類二次根式分別合并. (2)二次根式的乘法 二次根式相乘,等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術平方根,即 二次根式的和相乘,可參照多項式的乘法進行. 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有

7、二次根式,那么這兩個二次根式互為有理化因式. (3)二次根式的除法 二次根式相除,通常先寫成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根號化去(或分子、分母約分).把分母的根號化去,叫做分母有理化. 例題精講 例1. 如果單項式與的和①為0時,a、m、n各為多少? ②仍為一個單項式,a、m、n各為多少? 解:① ② a為有理數(shù) 例2. 因式分解:(1) (2) (3)-2x2+5xy+2y2   解:①原式=m(2x+3y)(2x-3y) ②原式 ③令 ∴ ∴ 原式=-2

8、(x-)(x-) 例3. (1)已知的結果中不含項,求k的值; (2)的一個因式是,求k的值; 解:(1)a2的系數(shù)為:3k-2=0 ∴k= (2)當a=-1時(-1)3-(-1)2+(-1)+k=0 ∴k=3 例4. 利用簡便方法計算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的值, 你能確定積的個位數(shù)是幾嗎? 解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =264-1 ∵264的個位數(shù)為6 ∴積的個位數(shù)字為5 例5. x為何值時,下列分式的值為0?無意義? (1) (2)

9、 解:當①x=2 ②x=1 時為零 當③x=-2 ④x=2,x=-1時分式無意義 例6. 分式的約分與通分 1. 約分: 2. 通分,, 解:①原式= ②,, 例7. 先化簡后再求值:,其中 原式=+ =+= 當x=+1時,原式=1 例8. 若最簡二次根式是同類二次根式,求a的值。 解:1+a=4a2-2=0, a1=1 , a2=- 例9. 已知:a=,求值 解:∵a= ∴a=2-<1 原式=+1 =-(a-1)+1 =-a+1+1=-a+2 當a=時,a=2-, ∴原式=-2--2++2=-2

10、例10. 把根號外的因式移到根號內: (1); (2); (3); (4) 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 例11. 觀察下列各式及其驗證過程 2。驗證: 3。驗證: 根據(jù)上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想4的變形結果并進行驗證。 針對上述各式反映的規(guī)律,寫出用n(n為任意自然數(shù),且n≥2)表示的等式,并給出證明。 解:(1) (2) 課后練習 一. 選擇題 1. 下列運算正確的是( ) A. B. C. D. 2. 把a2-a-6分解因式,正確的是( ) A

11、. a(a-1)-6 B. (a-2)(a+3) C. (a+2)(a-3) D. (a-1)(a+6) 3. 設(x+y)(x+2+y)-15=0,則x+y的值是( ?。? A. -5或3 B. -3或5 C. 3 D. 5 4. 不論a為何值,代數(shù)式-a2+4a-5的值(  ) A. 大于或等于0 B. 0 C. 大于0 D. 小于0 5. 化簡二次根式的結果是( ) A. B. C. D. 6. 下列命題:(1)任

12、何數(shù)的平方根都有兩個(2)如果一個數(shù)有立方根,那么它一定有平方根(3)算術平方根一定是正數(shù)(4)非負數(shù)的立方根不一定是非負數(shù),錯誤的個數(shù)為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 當1

13、 10. 若x2+kx-6有一個因式是(x-2),則k的值是 ; 11. 的平方根是 ,9的算術平方根是 , 是-64的立方根。 12. 的倒數(shù)是 ;的絕對值是 。的有理化因式是 ,的有理化因式是 。 三. 計算與解答題 13. 三角形某一邊等于,第二邊比第一邊小(),而第三邊比第一邊大(),這個三角形周長為多少? 14. a、b、c為⊿ABC三邊,利用因式分解說明b2-a2+2ac-c2的符號 15. 實數(shù)范圍內因式分解 (1)x2-2x-4  ?。?)4x2+8x-

14、1  ?。?)2x2+4xy+y2 16. 已知 x2-5xy+6y2=0 求的值 17. 試求函數(shù)t=2-的最大值和最小值。 練習答案 試題答案 一. 選擇題。 1~5 CCADB 6~7DC 二. 填空題。 8. 3x+5 9. 是原來的 10. 1 11. , 3,-4 12. 三. 解答題 13. 2a+b-()=2a+ 2a+b+()=2a+ (2a+b)+(2a+b-2)+(2a+)=6a+3b-4 14. 原式=b2-(a-c)2=(b+a-c)(b-a+c)>0 15. (1)原式=(x-1-)(x-1+) (3)原式=2(x-)(x-) (2)原式=4(x-)(x-) 16. 解:(x-2y)(x-3y)=0 ∴x=2y或x=3y 當x=2y時, 當x=3y時, 17. 解:t=2 ∵ 0≤-3(x-2)2+3≤3 ∴t最大值=2,t最小值= page 7 of 7

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