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1、 福師12秋《復變函數(shù)》練習題 注： 1、本課程練習題所提供的答案僅供學員在學習過程中參考之用，有問題請到課程論壇提問。 一、單項選擇題 1．2sini=( ) A． B. C． D． 答案：D 2．函數(shù)在復平面上( ) A．處處不連續(xù) B.處處連續(xù)，處處不可導 C.處處連續(xù)，僅在點z=0可導 D.處處連續(xù)，僅在點z=0解析 答案：C 3．設C是繞點的正向簡單閉曲線，則 ( ) A． B． C． D．0 答案：C 4．,分別是正向圓周與,則 ( ) A． B．cos2 C．

2、0 D．sin2 答案：D 二、填空題 1. 設，則________。 考核知識點：復數(shù)代值。 2．設是解析函數(shù)．若，則______． 考核知識點：解析函數(shù)的導數(shù)。 3. 設C為正向圓周，則 . 考核知識點：柯西積分公式。 4．冪級數(shù)的收斂半徑為_________. 考核知識點：冪級數(shù)的收斂半徑。 5. = . 考核知識點：復數(shù)的乘冪。 提示： 6．設為的極點，則____________________． 考核的知識點：函數(shù)的極點。 7. 設，則的零點個數(shù)為 . 考核知識點：零點的定義。

3、 8. 函數(shù)在點處的留數(shù)為______________. 考核知識點：留數(shù)的定義。 9.方程z5+4z3-1=0在單位圓|z|<1內(nèi)有________個根. 考核知識點：復數(shù)根的求法。 三、判斷題（正確的在括號內(nèi)打“√”，錯的打“”） 1．互為共軛的兩個復數(shù)的模相等.（ ） 答案：√ 2．sin z的周期為.（ ） 答案： 3．若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 答案：√ 4．若是的階零點，則是的階極點.（ ） 答案：√ 5．函數(shù)在可去奇點處的留數(shù)為0.（ ） 答案： 四、完成下列各題 1.

4、計算． 考核知識點：對數(shù)函數(shù)。 2. 函數(shù)是否為解析函數(shù)？求出其導數(shù). 考核知識點：解析函數(shù)。 提示：不是解析函數(shù)，因為滿足C-R條件的只有兩個點，不成區(qū)域。 3. 已知u=，求出相應的解析函數(shù)f(z)=u+iv. 考核知識點：解析函數(shù)。 提示：利用柯西-黎曼方程來求解。 4. 將在以內(nèi)展開為羅朗級數(shù). 考核知識點：解析函數(shù)的洛朗展式。 5. 已知，求. 考核知識點：柯西積分公式。 提示： 6. 求在處的泰勒展開式. 考核知識點：泰勒展式。 7. 討論函數(shù)f(z)=的奇點（包括無窮遠點）及其類型. 考核的知識點：函數(shù)的奇點的類型。 提示：令可得，故它為的

5、孤立奇點． 為的一級零點。 8. 求. 考核知識點：柯西積分公式。 9. 設是的共軛調(diào)和函數(shù)，問是不是的共軛調(diào)和函數(shù)？判斷并給出理由. 考核知識點：共軛調(diào)和函數(shù)的定義。 五、用留數(shù)計算積分：. 考核知識點:用留數(shù)計算積分。 提示：函數(shù)在的圓周內(nèi)只有一階極點。 六、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換，使. 考核知識點：分式線性變換。 提示：由，分式線性變換把變到。 七、證明：若積分路徑不經(jīng)過，則 考核知識點：柯西定理。 提示： 積分路徑繞過，由柯西定理知： 福師12秋《復變函數(shù)》輔導課件知識點和例題整理 第一講 知識點： 第一章

6、復數(shù)與復變函數(shù) 復數(shù)的三種表示、(主)輻角、復數(shù)的運算(乘方、開方) 第二章 解析函數(shù) 解析、初等多值函數(shù) 在復平面上處處連續(xù)、0處可導、無解析性 柯西-黎曼條件 第三章 復積分的簡單概念和性質(zhì) 1.柯西積分定理：若函數(shù)在復平面的單連通區(qū)域內(nèi)解析，則函數(shù)在該連通區(qū)域內(nèi)的任意圍線上的積分等于零。 2.重要積分：a為圍線c(c可以是圓周也可以是任意圍線)內(nèi)部的一點 3.柯西積分公式：函數(shù)f(z)在區(qū)域D上解析，在區(qū)域D及邊界C所成的閉域上連續(xù)，則在邊界C上

7、有 4. 高階導數(shù)公式：函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，在閉域上連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)與各階導數(shù) 5.在滿足柯西黎曼條件的兩個調(diào)和函數(shù)(二元函數(shù)關于兩個變量的二階偏導的和為零)u、v中，u稱為v的共軛調(diào)和函數(shù)。 從已知解析函數(shù)的實部求虛部 已知調(diào)和函數(shù)，求共軛調(diào)和函數(shù)。 及解析函數(shù) 第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法 一個解析函數(shù)如何在指定點展開成一個冪級數(shù)（牢記幾個基本公式） 解析函數(shù)的零點的級主要通過“求導”和“表示為

8、 的形式”的方法做。 注意與奇點中極點的級的判別的對比、整理。（函數(shù)的零點首先必須是函數(shù)的解析點） 的零點個數(shù)為2。 第五章 解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點 在內(nèi)展開成羅朗級數(shù) 在內(nèi)展開成羅朗級數(shù) 求 的奇點及類型。 且均為一級零點，從而為f(z)的一級極點， 因此無窮遠點是非孤立奇點。 第六 章 留數(shù)理論及其應用 一、基本概念 注意前提——僅在孤立奇點處，并且區(qū)分有限點和無窮遠點，因此，留數(shù)的計算也區(qū)分有限點和無窮遠點。

9、 二、求留 數(shù)的方法（重點） （一）、在孤立奇點為有限點時 1、若a為可去奇點，則留數(shù)為0； 2、若a為本質(zhì)奇點，或者a的類型不明確，則留數(shù)為函數(shù)的羅朗展式中z-a的-1次冪項系數(shù)①(一般方法)； 3、若a為極點，先求極點的級數(shù)： 若為一級極點，則 若為二級極點，則； 若為n>2級極點，則 （這個公式涉及高階導數(shù)公式，并不常用，而更常用一般方法，即①）。 （二）在無窮遠點時 1、當無窮遠點為f(z)的至少二級零點時，留數(shù)為0； 3、一般方法②，即求函數(shù)在無窮遠點的羅

10、朗展式的z的-1次冪項的系數(shù)的相反數(shù)。 （三）留數(shù)和定理 若函數(shù)在擴充復平面上只有有限個孤立奇點(包括無窮遠點在內(nèi))，則函數(shù)在各點的留數(shù)總和為零。 f(z)僅有z=a，z=b及無窮遠點三個孤立奇點， 第二講 知識點： 三、利用留數(shù)求積分（重點） （一）復積分 1、Cauchy留數(shù)定理 f(z)在圍線或復圍線C所圍區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉域上外連續(xù)，則 四、輻角原理及其應用 1、輻角原理：若函數(shù)f(z)在圍線C上解析且不為0，在圍線C內(nèi)部除可能有極點外是解析的，則 2、Rouche定理（又稱

11、零點個數(shù)比較定理）：函數(shù)f(z)與g(z)在圍線C的內(nèi)部均解析且連續(xù)到C，在C上 ,則函數(shù)f(z)與f(z)+g(z)在C的內(nèi)部有同樣多（幾級算幾個）的零點，即 第七章 保形變換 1、求將上半平面保形變換為上半平面的分式線性變換——a、b、c、d均為實數(shù)且ad-bc>0 2、把上半平面保形變換成單位圓內(nèi)部，并把上半z平面的指定的某一點a變?yōu)閣平面單位圓的圓心的分式線性變換 3、把z平面的單位圓保形變換成w平面的單位圓的保形變換，并使指定的z平面的單位圓內(nèi)某一點a變?yōu)閣平面的單位圓圓心的分式線性變換 例題解析： 1、

12、 2、 （二）實積分 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 求把上半z平面變?yōu)樯蟱半平面，且使0,1, 無窮遠點變?yōu)?,無窮遠點和0的分式線性變換。 方法一 設 方法二 由交比不變性 10、 求把單位圓變?yōu)閱挝粓A，使1成為不動點，使1+i變?yōu)闊o窮遠點的分式線性變換。 11、 求將z平面的單位圓變?yōu)閣平面的單位圓的分式線性變換w=f(z), 并滿足： 解