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1、張洲博劉浩宇22 高考數(shù)學試題分類匯編圓錐曲線 一． 選擇題： 1.（福建卷11)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為B A.(1,3) B. C.(3,+) D. 2.（海南卷11）已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ A ） A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月

2、球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子： ①; ②; ③; ④＜. 其中正確式子的序號是B A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④ 4.（湖南卷8）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( B ) A.(1,2) B.(2,+) C.

3、(1,5) D. (5,+) 5.（江西卷7）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是C A． B． C． D． 6.（遼寧卷10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ A ） A． B． C． D． 7.（全國二9）設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ） A． B． C． D． 8.（山東卷(10)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為A （A

4、） (B) (C) (D) 9.（陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ） A． B． C． D． 10.（四川卷12）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為( B ) （Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ） 11.（天津卷（7）設橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為B （A） （B）　 （C） （D） 12.（浙江卷7）若雙曲線的兩個焦點到

5、一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是D （A）3 （B）5 （C） （D） 13.（浙江卷10）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是B （A）圓 （B）橢圓 （C）一條直線 （D）兩條平行直線 14.（重慶卷(8)已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為C （A）－=1 (B) (C) (D) 二． 填空題： 1.（海南卷14）過雙曲線的右頂

6、點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為_______ 2.（湖南卷12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 . 3.（江蘇卷12）在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ． 4.（江西卷15）過拋物線的焦點作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側(cè)），則 ． 5.（全國一14）已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點

7、的三角形面積為 ．2 6.（全國一15）在中，，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 ． 7.（全國二15）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設，則與的比值等于 ． 8.（浙江卷12）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=______________。8 三． 解答題： 1.（安徽卷22）．（本小題滿分13分） 設橢圓過點，且著焦點為 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上 解 (1)由題意： ，解得，

8、所求橢圓方程為 (2)方法一 設點Q、A、B的坐標分別為。 由題設知均不為零，記,則且 又A，P，B，Q四點共線，從而 于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2） 又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得 即點總在定直線上 方法二 設點，由題設，均不為零。 且 又 四點共線，可設,于是 （1）

9、 （2） 由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程 整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即點總在定直線上 2.（北京卷19）．（本小題共14分） 已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1． （Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程； （Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值． 解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為． 因為四邊形為菱形，所以． 于是可設直線的方程為． 由得． 因為在橢圓上， 所以，解得． 設兩點坐標分別為， 則，，，． 所以．所以的中點坐標為．由四邊形為菱形可知，點在直線上， 所以，解得．所以

10、直線的方程為，即． （Ⅱ）因為四邊形為菱形，且， 所以．所以菱形的面積． 由（Ⅰ）可得，所以． 所以當時，菱形的面積取得最大值． 3.（福建卷21）（本小題滿分12分） 　　　如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點. 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； 　?。á颍┰O過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍. 本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分. 解法一：(Ⅰ)設M，N為

11、短軸的兩個三等分點， 因為△MNF為正三角形， 所以, 即1＝ 因此，橢圓方程為 (Ⅱ)設 (ⅰ)當直線 AB與x軸重合時， (ⅱ)當直線AB不與x軸重合時， 設直線AB的方程為： 整理得 所以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立.

12、 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mR恒成立. 當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以a0, 解得a>或a<(舍去)，即a>, 綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x

13、軸時， x=1代入=1. 因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1, 解得a>或a<(舍去)，即a>. （ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x1,y1）, B（x2,y2）. 設直線AB的方程為y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故x1+x2= 因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (

14、x2-1)=(1+k2) x1x2-k2 (x1+x2)+ k2 =(1+k2). 由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對kR恒成立. ①當a2- a2 b2+b2>0時，不合題意； ②當a2- a2 b2+b2=0時，a=; ③當a2- a2 b2+b2<0時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a. 綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）. 4.（廣東卷18）．（本小題滿分14分） 設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已

15、知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點． （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）． A y x O B G F F1 圖4 【解析】（1）由得， 當?shù)?，G點的坐標為，，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為， 即，即橢圓和拋物線的方程分別為和； （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個， 同理 以為直角的只有一個。 若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和，

16、。 關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解， 即以為直角的有兩個， 因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。 5.(湖北卷19).（本小題滿分13分） 如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點. （Ⅰ）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線的方程； （Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、. 若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分） （Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面

17、直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線. 設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c， 則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲線C的方程為. 解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線. 設雙曲線的方程為＞0，b＞0）. 則由　 解得a2=b2=2, ∴曲線C的方程為 (Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的

18、方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， ∴ 　　∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝ ＝而原點O到直線l的距離d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有 ③ 綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ). 解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C

19、相交于不同的兩點E、F， ∴ 　　 .∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得 ｜x1-x2｜= ③ 當E、F在同一去上時（如圖1所示）， S△OEF＝當E、F在不同支上時（如圖2所示）. S△ODE=綜上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面積不小于2 ?、? 綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）. 6.（湖南卷20）.（本小題滿分13分） 若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與

20、 x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”.已知當x>2時，點P（x,0） 存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2. （I）證明：點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標相同； (II) 試問：點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由. 解: （I）設AB為點P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是 （x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2, 兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20. 設直線AB

21、的斜率是k，弦AB的中點是M（xm, ym）,則 k=.從而AB的垂直平分線l的方程為 又點P（x0,0）在直線上，所以 而于是故點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中， 整理得 （）則是方程（）的兩個實根，且 設點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則 因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設t=,則t(0,4x0-8). 記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當t=2(x0-3),即=2(x0-3)時, l有最大值2(x0-1). 若23時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值 為2（x0-1）；當2< x03時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值. 8