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1、函數極限的運算規(guī)則 前面已經學習了數列極限的運算規(guī)則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規(guī)則與數列極限的運算規(guī)則相似。 ⑴、函數極限的運算規(guī)則 若已知x→x0(或x→∞)時，. 則： 推論： 在求函數的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數化為若干個簡單的函數來求極限。 例題：求 解答： 例題：求 此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現此函數的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。 解答： 注：通過此例題我們可以發(fā)現：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，

2、應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。[來源:] 函數極限的存在準則 學習函數極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。 我們先來看一個例子： 例：符號函數為 對于這個分段函數,x從左趨于0和從右趨于0時函數極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。 定義：如果x僅從左側(x＜x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的左極限.記：[來源:] 如果x僅從右側(x＞x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的右極限.記： 注：只有當x→x0時，函數的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限 函數極限的存在準則

3、 準則一：對于點x0的某一鄰域內的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數的一切x)有≤≤，且， 那末存在，且等于A[來源:] 注：此準則也就是夾逼準則. 準則二：單調有界的函數必有極限. 注：有極限的函數不一定單調有界 兩個重要的極限 一： 注：其中e為無理數，它的值為：e=2.718281828459045... 二： 注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明. 注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經常用到它們. 例題：求 解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞， 則 注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，

4、若用t代換1/x，則t→0. 無窮大量和無窮小量 無窮大量 我們先來看一個例子： 已知函數，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設有函數y=，在x=x0的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可找到正數δ，當 時，成立，則稱函數當時為無窮大量。 記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當x→∞時，無限趨大的定義：設有函數y=，當x充分大時有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可以找到正數M，當時，成立，則稱函數當x→∞時是無窮大量，記為： 無窮小量 以零為極限的變量稱為無窮小量。 定義：

5、設有函數，對于任意給定的正數ε(不論它多么小)，總存在正數δ(或正數M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應的函數值滿足不等式，則稱函數當(或x→∞)時 為無窮小量. 記作：(或) 注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數關系的. 關于無窮小量的兩個定理 定理一：如果函數在(或x→∞)時有極限A，則差是當(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。 定理二：無窮小量的有利運算定理 a)：有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量； b)：有限個

6、無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數與無窮小量的積也是無窮小量. 無窮小量的比較 通過前面的學習我們已經知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。 定義：設α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領域內不為零， a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮??； b)：如果，則稱α和β是同階無窮小； c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價) 例：因為，所以當x→0時，x與3x是同階無窮??； 因為，所以當x→0時，x2是3x的高階無窮小； 因為，

7、所以當x→0時，sinx與x是等價無窮小。[來源: ] 等價無窮小的性質 設，且存在，則. 注：這個性質表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質來簡化求極限問題。 例題：1.求 解答：當x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故： 例題： 2.求 解答： 注： 注：從這個例題中我們可以發(fā)現，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。 函數的一重要性質——連續(xù)性 在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續(xù)性 在定義函數的連續(xù)性之前我們先

8、來學習一個概念——增量 設變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可負. 我們再來看一個例子：函數在點x0的鄰域內有定義，當自變量x在領域內從x0變到x0+△x時，函數y相應地從變到，其對應的增量為： 這個關系式的幾何解釋如下圖： 現在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當△x趨向于零時，函數y對應的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數在點x0處連續(xù)。 函數連續(xù)性的定義： 設函數在點x0的某個鄰域內有定義，如果有稱函數在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數的的連續(xù)點. 下面我們結合著函數左、右極限的

9、概念再來學習一下函數左、右連續(xù)的概念：設函數在區(qū)間(a,b]內有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在點b左連續(xù).設函數在區(qū)間[a,b)內有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在點a右連續(xù). 一個函數在開區(qū)間(a,b)內每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內連續(xù)，則稱為連續(xù)函數。 注：一個函數若在定義域內某一點左、右都連續(xù)，則稱函數在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù). 注：連續(xù)函數圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過上面的學習我們已經知道函數的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數在某一點要是不連續(xù)

10、會出現什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數的間斷點 函數的間斷點 定義：我們把不滿足函數連續(xù)性的點稱之為間斷點. 它包括三種情形： a)：在x0無定義； b)：在x→x0時無極限； c)：在x→x0時有極限但不等于； 下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型： 例1： 正切函數在處沒有定義，所以點是函數的間斷點，因，我們就稱為函數的無窮間斷點； 例2：函數在點x=0處沒有定義；故當x→0時，函數值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數的振蕩間斷點； 例3：函數當x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現在點x=0時，函數值產生跳躍現象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下: 間斷點的分類 我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點. 可去間斷點 若x0是函數的間斷點，但極限存在，那末x0是函數的第一類間斷點。此時函數不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。