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1、1.5.3 定 積 分 的 概 念觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當

2、 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關

3、系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 觀 察 下 列 演 示 過 程 ， 注 意 當 分 割 加 細 時 ，矩 形 面 積 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關 系 求 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)對 應 的 曲 邊 梯 形 面 積 的

4、方 法 (2)取 近 似 求 和 :任 取 xixi-1, xi， 第 i個 小 曲 邊 梯 形 的 面 積 用高 為 f(xi)而 寬 為 Dx的 小 矩 形 面 積f(xi)Dx近 似 之 。 (3)取 極 限 :， 所 求 曲 邊 梯 形 的面 積 S為 取 n個 小 矩 形 面 積 的 和 作 為 曲 邊 梯形 面 積 S的 近 似 值 ：xi y=f(x) x yO ba xi+1xi xD1lim ( )n in iS f xx = D 1 ( )n iiS f xx= D (1)分 割 :在 區(qū) 間 0,1上 等 間 隔 地 插 入 n-1個 點 ,將 它 等 分 成n個 小 區(qū)

5、 間 : 每 個 小 區(qū) 間 寬 度 x b an-= 1 1 2 1 1, , , , , , , , ,i i na x x x x x x b- - 一 、 定 積 分 的 定 義 1 1( ) ( )n ni ii i b af x f nx x= = -D = 小 矩 形 面 積 和 S=如 果 當 n時 ， S 的 無 限 接 近 某 個 常 數 ，這 個 常 數 為 函 數 f(x)在 區(qū) 間 a, b上 的 定 積 分 ， 記 作 baf (x)dx， 即 baf (x)dx = = ni 10limf (x i)Dxi。 從 求 曲 邊 梯 形 面 積 S的 過 程 中 可

6、以 看 出 ,通 過 “ 四 步曲 ” :分 割 -近 似 代 替 -求 和 -取 極 限 得 到 解 決 .1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即定 積 分 的 定 義 ：定 積 分 的 相 關 名 稱 ： 叫 做 積 分 號 ， f(x) 叫 做 被 積 函 數 ， f(x)dx 叫 做 被 積 表 達 式 ， x 叫 做 積 分 變 量 ， a 叫 做 積 分 下 限 ， b 叫 做 積 分 上 限 ， a, b 叫 做 積 分 區(qū) 間 。 1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即 O a b xy

7、 )(xfy = =ba Idxxf )( iini xf D= )(lim 10 x被積函數 被積表達式 積分變量積 分 下 限積 分 上 限 S=ba f (x)dx； 按 定 積 分 的 定 義 ， 有 (1) 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x) (f(x)0) ， 直 線 x=a、 x=b及 x軸所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 為 (2) 設 物 體 運 動 的 速 度 v=v(t)， 則 此 物 體 在 時 間 區(qū) 間a, b內 運 動 的 距 離 s為 s=ba v(t)dt。 定 積 分 的 定 義 ：O a b( )v v t= tv1( ) lim ( )n in

8、i b af x dx fn x = -= ba即1 1 20 0 1( ) 3S f x dx x dx= = = 根 據 定 積 分 的 定 義 右 邊 圖 形 的 面 積 為 1 x yO f(x)=x2 13S =1SD 2SD 2( ) 2v t t= - +Ov t12 ggg g gg3SD jSD nSD1n 2n 3n jn 1n n-4SD 1 1 20 0 5( ) ( 2) 3S v t dt t dt= = - = 根 據 定 積 分 的 定 義 左 邊 圖 形 的 面 積 為baf(x)dx = baf (t)dt = baf(u)du。 說 明 ： (1) 定 積

9、 分 是 一 個 數 值 , 它 只 與 被 積 函 數 及 積 分 區(qū) 間 有 關 ， 而 與 積 分 變 量 的 記 法 無 關 ， 即（ 2） 定 義 中 區(qū) 間 的 分 法 和 xi的 取 法 是 任 意 的 . ba f(x)dx = baf (x)dx -(3)(2)定 積 分 的 幾 何 意 義 ：O x y a b y=f (x)baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 x=a、 x=b與 x軸 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 。 當 f(x)0時 ， 積 分 dxxfba )( 在 幾 何 上 表 示 由 y=f (x)、 特 別 地 ，

10、當 a=b 時 ， 有 baf (x)dx=0。 當 f(x)0時 ， 由 y=f (x)、 x=a、 x=b 與 x 軸 所 圍 成 的 曲邊 梯 形 位 于 x 軸 的 下 方 ， x yOdxxfS ba )(-=-，dxxfba )( a b y=f (x) y=-f (x)dxxfS ba )(-=baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-S上 述 曲 邊 梯 形 面 積 的 負 值 。 定 積 分 的 幾 何 意 義 ：積 分 baf (x)dx 在 幾 何 上 表 示 baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-Sa b y=

11、f (x)O x y ( )y g x=探 究 :根 據 定 積 分 的 幾 何 意 義 ,如 何 用 定 積 分 表 示 圖 中 陰 影 部 分 的面 積 ? a 1 )baS f d x= 1 2 ( ) ( )b ba aS S S f xdx g xdx= - = - 2 ( )baS g x dx=三 : 定 積 分 的 基 本 性 質 性 質 1. dx)x(g)x(fba = ba ba dx)x(gdx)x(f性 質 2. ba dx)x(kf = ba dx)x(fk三 : 定 積 分 的 基 本 性 質 定 積 分 關 于 積 分 區(qū) 間 具 有 可 加 性 = bccab

12、a dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性 質 3. = 21 21 cc bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f O x ya b y=f (x)性 質 3 不 論 a， b， c的 相 對 位 置 如 何 都 有a b y=f(x)baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f (x)dx =caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f (x)dx =ca f (x)dxbc f (x)dx。 cO x ybaf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 例 1： 利 用 定 積 分 的 定 義 ,計 算 的 值 . 1 30 x d x 作 業(yè) ： 組 （ ） 組 練 習 ： - 組 ， 組 ， ，