第 2章 優(yōu) 化 設(shè) 計主 要 內(nèi) 容 ： 了 解 優(yōu) 化 設(shè) 計 ； 會 建 立 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 ； 了 解 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 知 識 ； 掌 握 一 維 優(yōu) 化 方 法 ； 了 解 多 維 優(yōu) 化 方 法 。2.1 概 述2.1.1 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 概 念 優(yōu) 化 設(shè) 計 是 借 助 最 優(yōu) 化 數(shù) 值 計 算 方 法 和 計算 機 技 術(shù) ， 求 取 工 程 問 題 的 最 優(yōu) 設(shè) 計 方 案 。 即 ： 進 行 最 優(yōu) 化 設(shè) 計 時 ， 首 先 必 須 將 實 際問 題 加 以 數(shù) 學 描 述 ， 形 成 一 組 由 數(shù) 學 表 達 式 組成 的 數(shù) 學 模 型 ， 然 后 選 擇 一 種 最 優(yōu) 化 數(shù) 值 計 算方 法 和 計 算 機 程 序 ， 在 計 算 機 上 運 算 求 解 ， 得到 一 組 最 佳 的 設(shè) 計 參 數(shù) 。2.1.2 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 一 般 過 程機 械 設(shè) 計 的 全 過 程 一 般 可 分 為 ：1.設(shè) 計 問 題 分 析2.建 立 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 。3.選 擇 適 當 的 優(yōu) 化 方 法 。4.編 寫 計 算 機 程 序 ， 計 算 擇 優(yōu) 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型1、 建 立 數(shù) 學 模 型 的 基 本 原 則 數(shù) 學 模 型 的 建 立 要 求 確 切 、 簡 潔 的 反 映工 程 問 題 。2、 數(shù) 學 模 型 的 三 要 素 設(shè) 計 變 量 、 目 標 函 數(shù) 、 約 束 條 件 。1） 設(shè) 計 變 量 應(yīng) 注 意 各 設(shè) 計 變 量 應(yīng) 相 互 獨 立 ， 否 則 會給 優(yōu) 化 帶 來 困 難 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 設(shè) 計 變 量 是 指 在 設(shè) 計 過 程 中 可 以 進 行 調(diào) 整和 優(yōu) 選 的 獨 立 參 數(shù) 。 （ 1） 設(shè) 計 變 量 的 選 擇 ： 應(yīng) 該 選 擇 那 些 與 目 標 函 數(shù) 和 約 束 函 數(shù) 密 切相 關(guān) 的 ， 能 夠 表 達 設(shè) 計 對 象 特 征 的 基 本 參 數(shù) 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型（ 2） 設(shè) 計 變 量 的 分 類 連 續(xù) 變 量 可 以 在 實 數(shù) 范 圍 內(nèi) 連 續(xù) 取 值 的 變 量 。 離 散 變 量 只 在 給 定 數(shù) 列 或 集 合 中 取 值 的 變 量 。 1） 設(shè) 計 變 量2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型1） 設(shè) 計 變 量（ 3） 設(shè) 計 空 間 若 n個 設(shè) 計 變 量 x1,x2,xn相 互 獨 立 ， 則 由 它們 形 成 的 向 量 X=x1,x2,xnT的 全 體 集 合 構(gòu) 成 的一 個 n維 實 歐 氏 空 間 ， 稱 為 設(shè) 計 空 間 ， 記 Rn。 設(shè) 計 變 量 的 個 數(shù) n稱 為 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 維 數(shù) 。 1） 如 n=2就 是 二 維 設(shè) 計 問 題 ， 可 用 平 面 直 角坐 標 來 表 示 ； 2） 如 n=3就 是 三 維 設(shè) 計 問 題 ， 可 用 空 間 直 角坐 標 來 表 示 ； 3） 如 n大 于 3就 是 超 越 空 間 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型1） 設(shè) 計 變 量（ 3） 設(shè) 計 空 間 二 維 設(shè) 計 平 面 三 維 設(shè) 計 空 間2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù) 目 標 函 數(shù) 是 通 過 設(shè) 計 變 量 來 表 示 的 設(shè) 計 所追 求 目 標 的 數(shù) 學 表 達 式 ， 又 稱 為 標 量 函 數(shù) 。 （ 1） 目 標 函 數(shù) 的 意 義 目 標 函 數(shù) 值 的 大 小 是 衡 量 設(shè) 計 方 案 優(yōu) 劣 的定 量 標 準 。 目 標 函 數(shù) 的 值 越 小 ， 對 應(yīng) 的 設(shè) 計 方案 越 好 。 因 此 ， 目 標 函 數(shù) 的 最 小 值 及 其 對 應(yīng) 的 設(shè) 計變 量 的 取 值 稱 為 設(shè) 計 問 題 的 最 優(yōu) 解 。目 標 函 數(shù) 的 一 般 表 示 式 為 ：),()( 21 nxxxfXf 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù) （ 2） 目 標 函 數(shù) 的 選 擇 必 須 針 對 具 體 問 題 ， 選 擇 主 要 的 技 術(shù) 指 標作 為 設(shè) 計 的 目 標 函 數(shù) ， 如 ： 利 潤 、 體 積 、 重 量 、功 率 等 。（ 3） 等 值 面 和 等 值 線 對 于 簡 單 的 問 題 ， 可 用 等 值 線 或 等 值 面 來 描述 函 數(shù) 的 變 化 趨 勢 ， 還 可 以 直 觀 地 給 出 極 值 點 的位 置 。 目 標 函 數(shù) 等 值 線 （ 面 ） ， 其 數(shù) 學 表 達 式 為 ：f（ X） =c。 在 這 種 線 或 面 上 所 有 點 的 函 數(shù) 值 均 相 等 ， 因此 ， 這 種 線 或 面 稱 為 函 數(shù) 的 等 值 線 或 等 值 面 。 當 c取 一 系 列 不 同 的 常 數(shù) 值 時 ， 可 以 得 到 一 組形 態(tài) 相 似 的 等 值 線 或 等 值 面 ， 稱 為 函 數(shù) 的 等 值 線簇 或 等 值 面 簇 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù) a） 當 n=2時 ， 該 點 集 是 設(shè) 計 平 面 中 的 一 條直 線 或 曲 線 ； b） 當 n=3時 ， 該 點 集 是 設(shè) 計 空 間 中 的 一 個平 面 或 曲 面 ； c） 當 n大 于 3時 ， 該 點 集 是 設(shè) 計 空 間 中 的一 個 超 曲 面 。（ 3） 等 值 面 和 等 值 線 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù)目 標 函 數(shù) f（ X） 一 60 x1一 120 x2的 等 值 線 簇 。（ 3） 等 值 面 和 等 值 線 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù)函 數(shù) ：f（ X） xl2十 x22一 4x1十 4的 圖 形 (旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 )。用 平 面 f（ X） c切 割 該 拋物 面 所 得 交 線 在 設(shè) 計 空 間 中的 投 影 ， 就 是 目 標 函 數(shù) 的 等值 線 。（ 3） 等 值 面 和 等 值 線 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型2） 目 標 函 數(shù)約 束 條 件 的 作 用 ： 就 是 對 設(shè) 計 變 量 的 取 值 加 以 限 制 。 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件 對 任 何 設(shè) 計 都 有 若 干 不 同 的 要 求 和 限 制 ，將 這 些 要 求 和 限 制 表 示 成 設(shè) 計 變 量 的 函 數(shù) 并 寫成 一 系 列 不 等 式 和 等 式 表 達 式 ， 就 構(gòu) 成 了 設(shè) 計的 約 束 條 件 ， 簡 稱 設(shè) 計 約 束 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件 ),2,1(0)( ),2,1(0)( nppvXh muXgvu （ 1） 約 束 條 件 的 分 類 a） 約 束 條 件 根 據(jù) 形 式 不 同 分 為 不 等 式約 束 和 等 式 約 束 。 一 般 表 示 為 ： b） 根 據(jù) 性 質(zhì) 不 同 分 為 邊 界 約 束 和 性 能 約 束 。 邊 界 約 束 ： 考 慮 了 設(shè) 計 變 量 變 化 的 范 圍 ， 是對 設(shè) 計 變 量 本 身 所 加 的 直 接 限 制 。 比 如 ： ai-xi 0 xi-bi 0 性 能 約 束 ： 是 根 據(jù) 設(shè) 計 性 能 或 指 標 要 求 而 定的 一 種 約 束 條 件 。 是 對 設(shè) 計 變 量 加 的 間 接 變 量 。 例 如 ： 零 件 的 強 度 條 件 ， 剛 度 條 件 ， 穩(wěn) 定 性 條 件均 屬 于 性 能 約 束 。2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件（ 1） 約 束 條 件 的 分 類 約 束 邊 界 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件 （ 2） 可 行 域 每 一 個 不 等 式 或 等 式 約 束 都 將 設(shè) 計 空 間 分 為兩 個 部 分 ， 滿 足 所 有 約 束 的 部 分 形 成 一 個 交 集 ，該 交 集 稱 為 此 約 束 問 題 的 可 行 域 ， 記 作 D。 可 行 域 就 是 滿 足 所 有 約 束 條 件 的 設(shè) 計 點 的 集合 ， 因 此 ， 可 用 集 合 式 表 示 如 下 ： ),2,1,2,1(,0)(0)(| pvmuXhXgXDvu ；，2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件036049),( 36049),( 21211 21211 xxxxg xxxxg 0300103),( 300103),( 21212 21212 xxxxg xxxxg 020054),( 20054),( 21213 21213 xxxxg xxxxg 0),( 0),( 0),( 0),(2215 2215 1214 1214 xxxg xxxg xxxg xxxg （ 2） 可 行 域 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件此 約 束 的 可行 域 是 由 約束 邊 界 線 圍成 的 封 閉 五邊 形 ：OABCD （ 2） 可 行 域 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型優(yōu) 化 設(shè) 計 問 題 的 的 數(shù) 學 模 型 一 般 數(shù) 學 表 達 式 為 ：1,2,.,1,2,.,u mv p n ( ) 0( ) 0uvg xh x min. .st )(Xf nRX 3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 例 1： 有 一 塊 邊 長 為 6m的 正 方 形 鋁 板 ， 四 角 各裁 去 一 個 小 的 正 方 塊 ， 做 成 一 個 無 蓋 的 盒 子 。 試確 定 裁 去 的 四 個 小 正 方 塊 的 邊 長 ， 以 使 做 成 的 盒子 具 有 最 大 的 容 積 。 解 ： 設(shè) 裁 去 的 四 個 小 正 方 塊 的 邊 長 為 x， 則 盒 子的 容 積 可 表 示 成 x的 函 數(shù)F（ X） x(6-2x)2 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型變 量 x 設(shè) 計 變 量 f（ X） x(6-2x)2 目 標 函 數(shù) g1（ X） x 0 g2（ X） x 3 約 束 條 件使 容 積 最 大 ， 即 使 f（ X） = -x(6-2x)2 最 小 3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型min f（ X） = -x(6-2x)2 s.t. g1（ X） -x 0 g2（ X） x 3 RX 例 2： 平 面 連 桿 機 構(gòu) 的 優(yōu) 化 設(shè) 計 曲 柄 搖 桿 機 構(gòu) 再 現(xiàn) 已 知 運 動 規(guī) 律 的 優(yōu) 化 設(shè) 計3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型1） 設(shè) 計 變 量 的 確 定 決 定 機 構(gòu) 尺 寸 的 各 桿 長 度 ， 以 及 當 搖 桿 按 已知 運 動 規(guī) 律 開 始 運 動 時 ， 曲 柄 所 處 的 位 置 角 0 為 設(shè) 計 變 量 。3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 TT llllxxxxxX 0432154321 2） 目 標 函 數(shù) 的 建 立 目 標 函 數(shù) 可 根 據(jù) 已 知 的 運 動 規(guī) 律 與 機 構(gòu) 實際 運 動 規(guī) 律 之 間 的 偏 差 最 小 為 指 標 來 建 立 ， 即3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 mi iiXf 1 20 min)()( 3） 約 束 條 件 的 確 定（ 1） 曲 柄 搖 桿 機 構(gòu) 滿 足 曲 柄 存 在 的 條 件3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型0)( 0)( 0)( 0)( 0)( 0)(42316 43215 32414 413 312211 llllXg llllXg llllXg llXg llXg llXg（ 2） 若 要 求 最 小 傳 動 角 應(yīng) 在 和 間 ， 可 得min max3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 0ll2 llllXg 32 21423227 max)(arccos)( 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型3） 約 束 條 件 的 確 定 0ll2 llllXg32 21423228 )(arccos)( max設(shè) 計 變 量 的 確 定 考 慮 到 機 構(gòu) 的 桿 長 按 比 例 變 化 時 ， 不 會 改變 其 運 動 規(guī) 律 ， 因 此 在 計 算 時 常 取 l1=1 ， 而 其他 桿 長 按 比 例 取 為 l1 的 倍 數(shù) 。3、 優(yōu) 化 設(shè) 計 數(shù) 學 模 型 建 立 實 例 2.1.3 優(yōu) 化 設(shè) 計 的 數(shù) 學 模 型 TT llllxxxxxX 0432154321 1、 按 是 否 包 含 有 約 束 條 件 分 ： 無 約 束 優(yōu) 化 問 題 和 約 束 優(yōu) 化 問 題 。 、 按 設(shè) 計 變 量 的 多 少 可 分 ： 單 變 量 優(yōu) 化 和 多 變 量 優(yōu) 化 。 、 按 目 標 函 數(shù) 和 約 束 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 可 分 ： 線 性 規(guī) 劃 和 非 線 性 規(guī) 劃 。 2.1.4 優(yōu) 化 問 題 的 分 類1、 圖 解 法 ： 用 直 接 作 圖 的 方 法 來 求 解 優(yōu) 化 問 題 。 在 設(shè) 計 平 面 作 出 約 束 可 行 域 ， 畫 出 目 標 函 數(shù)的 一 簇 等 值 線 ， 根 據(jù) 等 值 線 與 可 行 域 的 相 互 關(guān)系 確 定 出 最 優(yōu) 點 的 位 置 。 特 點 ： 優(yōu) 點 ： 直 觀 。 缺 點 ： 一 般 僅 限 于 求 解 n 2的 低 維 優(yōu) 化 問 題 。 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 圖 解 法 數(shù) 學 解 析 法 數(shù) 值 迭 代 法1） 圖 解 法 的 求 解 的 步 驟 （ 1） 確 定 設(shè) 計 空 間 ； （ 2） 作 出 約 束 可 行 域 ； （ 3） 畫 出 目 標 函 數(shù) 的 一 簇 等 值 線 ； （ 4） 最 后 判 斷 確 定 最 優(yōu) 點 。 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法目 標 函 數(shù) ： f（ X） 一 60 x1一 120 x22） 圖 解 法 的 求 解 實 例約 束 條 件 ： 036049)(211 xxXg 0300103)( 212 xxXg 020054)( 213 xxXg 0)( 0)( 25 14 xXg xXg 生 產(chǎn) 甲 產(chǎn) 品 一 件 獲 利 60元 ， 生 產(chǎn) 乙 產(chǎn) 品 一件 獲 利 120元 ， 受 條 件 約 束 ， 如 何 安 排 生 產(chǎn) 可 獲最 大 利 潤 ？此 約 束 的 可行 域 是 由 約束 邊 界 線 圍成 的 封 閉 五邊 形 ：OABCD可 行 域 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例目 標 函 數(shù) f（ X） 一 60 x1一 120 x2的 等 值 線 簇 。 其 可 行 域 與目 標 函 數(shù) 的 等 值線 圖 疊 加 在 一 起 。 求 解 得 ： 每 天 生 產(chǎn) 甲產(chǎn) 品 20件 ， 乙 產(chǎn)品 24件 ， 可 獲 最大 利 潤 4080元 。2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例0)( 01)( 02)(. 44)(min 13 2212 211 12221 xXg xxXg xxXgts xxxXf2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例 2RX f（ X） xl2十 x22一 4x1十 4等 值 面 和 等 值 線 目 標 函 數(shù) 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例0)( 01)( 02)(. 44)(min 13 2212 211 12221 xXg xxXg xxXgts xxxXf2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例0)( 01)( 02)(. 44)(min 13 2212 211 12221 xXg xxXg xxXgts xxxXf2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2） 圖 解 法 的 求 解 實 例 圖 解 法 只 適 用 于 一 些 很 簡 單 的 優(yōu) 化 問 題 ，所 以 實 用 意 義 不 強 。 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法2、 數(shù) 學 解 析 法 ： 把 優(yōu) 化 對 象 用 數(shù) 學 模 型 描 述 出 來 后 ， 用 微分 等 方 法 求 出 最 優(yōu) 解 數(shù) 學 解 析 法 也 只 適 用 于 一 些 維 數(shù) 較 少 ， 易于 求 導(dǎo) 的 優(yōu) 化 問 題 。 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 例 1： 有 一 塊 邊 長 為 6m的 正 方 形 鋁 板 ， 四 角 各裁 去 一 個 小 的 正 方 塊 ， 做 成 一 個 無 蓋 的 盒 子 。 試確 定 裁 去 的 四 個 小 正 方 塊 的 邊 長 ， 以 使 做 成 的 盒子 具 有 最 大 的 容 積 。 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法1） 數(shù) 學 解 析 法 求 解 實 例 min f（ X） = -x(6-2x)2 s.t. g1（ X） -x 0 g2（ X） x 0 g（ X） x x0 x=1 為 所 求 解 。2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法1） 數(shù) 學 解 析 法 求 解 實 例 3、 數(shù) 值 迭 代 法 ： 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 工 程 優(yōu) 化 問 題 的 目 標 函 數(shù) 和 約 束 條 件 比較 復(fù) 雜 ， 數(shù) 值 迭 代 法 是 優(yōu) 化 設(shè) 計 問 題 的 基 本解 法 。 數(shù) 值 迭 代 法 的 基 本 思 路 ： 進 行 反 復(fù) 的 數(shù)值 計 算 ， 尋 求 函 數(shù) 值 不 斷 下 降 的 可 行 計 算 點 ，直 到 最 后 獲 得 足 夠 精 度 的 近 似 解 。3、 數(shù) 值 迭 代 法 ： 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 沿 某 個 搜 索 方 向 S（ k） 以 適 當 的 步 長 （ k） 實現(xiàn) 對 X（ k） 的 修 正 。 )0()0()0()1( SXX )()( )0()1( XfXf )1()1()1()2( SXX )()( )1()2( XfXf )()()()1( kkkk SXX )()( )()1( kk XfXf 1） 尋 求 極 值 點 的 搜 索 過 程 3、 數(shù) 值 迭 代 法 ： 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 1） 尋 求 極 值 點 的 搜 索 過 程 迭 代 法 要 解 決 的 問 題 ： （ 1） 選 擇 搜 索 方 向 （ 2） 確 定 步 長 因 子 （ 3） 給 定 終 止 準 則3、 數(shù) 值 迭 代 法 ： 2.1.5 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學 模 型 的 求 解 方 法 2） 迭 代 計 算 的 終 止 準 則 (1)點 距 足 夠 小 準 則(2)函 數(shù) 值 下 降 量 足 夠 小 準 則 )()1( kk XX )()( )()1( kk XfXf(3)函 數(shù) 梯 度 充 分 小 準 則 )( )1(kXf2.2.1 二 次 型 與 正 定 矩 陣 2.2 優(yōu) 化 方 法 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ)CXBAXXXf TT 21)(1. 二 次 型 函 數(shù) 二 次 函 數(shù) 是 最 簡 單 的 非 線 性 函 數(shù) ， 可 以寫 成 以 下 向 量 形 式 ：AXXT A 稱 為 二 次 型 矩 陣稱 為 二 次 型2、 正 定 與 負 定 的 判 斷 1） 對 所 有 非 0 向 量 X, 若 ： XTAX 0， 則 稱 矩 陣 A 是 正 定 矩 陣 ； XTAX 0， 則 稱 矩 陣 A 是 半 正 定 矩 陣 ； XTAX 0， 則 稱 矩 陣 A 是 負 定 矩 陣 ； XTAX 0， 則 稱 矩 陣 A 是 半 負 定 矩 陣 ； XTAX = 0， 則 稱 矩 陣 A 是 不 定 矩 陣 。2.2.1 二 次 型 與 正 定 矩 陣 2、 正 定 與 負 定 的 判 斷 2） 若 ： 矩 陣 A 的 各 階 主 子 式 均 大 于 零 ， 2.2.1 二 次 型 與 正 定 矩 陣 即 : 一 階 主 子 式 二 階 主 子 式 n 階 主 子 式 0 則 矩 陣 A 是 正 定 的 。 011 a 02221 1211 aa aa2、 正 定 與 負 定 的 判 斷 2） 若 ： 矩 陣 A 的 各 階 主 子 式 負 正 相 間 ， 2.2.1 二 次 型 與 正 定 矩 陣 即 : 一 階 主 子 式 二 階 主 子 式 即 ： 奇 數(shù) 階 主 子 式 小 于 0， 偶 數(shù) 階 主 子 式 大于 0， 則 矩 陣 A 是 負 定 的 。 011 a 02221 1211 aa aa3、 正 定 二 次 函 數(shù) 具 有 以 下 性 質(zhì) ： 1） 正 定 二 次 函 數(shù) 的 等 值 線 或 等 值 面 是 一 簇 同心 橢 圓 或 同 心 橢 球 ， 其 中 心 就 是 該 二 次 函 數(shù) 的 極小 值 。 2） 非 正 定 二 次 函 數(shù) 的 極 小 值 附 近 的 等 值 線 或等 值 面 近 似 于 橢 圓 或 橢 球 。2.2.1 二 次 型 與 正 定 矩 陣 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 討 論 函 數(shù) 在 一 點 P沿 某 一 方 向的 變 化 率 問 題 ),( yxfz 引 射 線內(nèi) 有 定 義 ， 自 點 的 某 一 鄰 域在 點 設(shè) 函 數(shù) lPyxP ),( ),( yxfz ),(,l yyxxP lx +/上 的 另 一 點為 并 設(shè)為 的 轉(zhuǎn) 角軸 正 向 到 射 線設(shè) 1） 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 1） 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義| PP ,)()( 22 yx 且),(),( yxfyyxxfz .),(),(lim0 yxfyyxxflf 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 。沿 方 向則 稱 這 極 限 為 函 數(shù) 在 點 在 ，時 ， 如 果 此 比 的 極 限 存趨 于沿 著當 之 比 值 ，兩 點 間 的 距 離與 函 數(shù) 的 增 量 lPP/lPP/P 記 為 ),(),( yxfyyxxf 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 1） 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 22 y x2） 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算 定 理 如 果 函 數(shù) ),( yxfz= 在 點 ),( yxP 是 可 微 分的 ， 那 么 函 數(shù) 在 該 點 沿 任 意 方 向 l的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都存 在 ， 則 有 其 中 為 x 軸 到 方 向 l 的 轉(zhuǎn) 角 。 sincos yfxflf 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 對 于 三 元 函 數(shù) ),( zyxfu = ， 它 在 空 間 一 點),( zyxP 沿 著 方 向 l 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 可 定 義為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推 廣 可 得 三 元 函 數(shù) 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義222 )()()( zyx 其 中 同 理 ： 當 函 數(shù) 在 此 點 可 微 時 ， 那 么 函 數(shù) 在 該 點沿 任 意 方 向 L 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 ， 且 有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè) 方 向 l 的 方 向 角 為 ,cosx ,cosy ,cosz2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 推 導(dǎo) 出 n元 函 數(shù) f（ X） 在 點 X(k)處 沿 任 意 給 定方 向 S的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 表 達 式 為 ： nkkkk XfXfXfXf cosx )(cosx )(cosx )(S )( n )(22 )(11 )()( 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度1、 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 1） 梯 度 的 定 義 函 數(shù) 在 點 X(k)的 梯 度 是 由 函 數(shù) 在 該 點 的 各 個一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 組 成 的 向 量 。2） 梯 度 的 表 達 式Tn kkkk xXfxXfxXfXf )(,)(,)()( )(2 )(1 )()(2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 nkkkk XfXfXfXf cosx )(cosx )(cosx )(S )( n )(22 )(11 )()( 2） 梯 度 的 表 達 式 2 )(1 )()( )( )()( xXf xXfXf kkk2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 212 )(1 )( 22 )(11 )()( coscosx )(x )( cosx )(cosx )(S )( kk kkk XfXf XfXfXf 21coscosS2） 梯 度 的 表 達 式2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 cos)()(S )( )()()( SXfSXfXf kTkk 1coscos2212 S 22 )(21 )()( )()()( xXfxXfXf kkk 函 數(shù) 在 某 點 的 梯 度 是 這 樣 一 個 向 量 ， 它 的方 向 與 取 得 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向 一 致 , 而 它 的 模 為方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 。 梯 度 的 模 為結(jié) 論 222121 xfxfxxgradf ),(2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 cos)()(S )( )()()( SXfSXfXf kTkko2x 1x221 ),( cxxf 1),( cyxf cxxf ),( 21 等 高 線),( 21 xxgradf梯 度 為 等 高 線 上 的 法 向 量P 函 數(shù) 在 某 點 的 梯 度 是 這 樣 一 個 向 量 ， 它 的方 向 與 取 得 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向 一 致 , 而 它 的 模 為方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 。 梯 度 的 模 為結(jié) 論 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 與 梯 度 成 銳 角 的 方 向 是 函 數(shù) 值 上 升 的 方 向 ，而 與 梯 度 成 鈍 角 的 方 向 則 是 函 數(shù) 值 下 降 的 方 向 。 2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 1coscoscos 22212 nS SXfSXf Tkk )()( )()( 2)(22 )(21 )()( )()()()( n kkkk xXfxXfxXfXf2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2、 梯 度 例 1 求 函 數(shù) f(X) (x1 2)2十 (x2 1)2在 點 X(1) 3,2T和 X( 2) 2,2 T的 梯 度 并 作 圖 表 示 。解 ： 根 據(jù) 定 義 ， 梯 度 為 22 42/)( /)()( 2121 xxxXf xXfXf則 2222 42)( 2321)1( xxXf 2022 42)( 2221)2( xxXf2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度解 ： 梯 度 的 模 為 ： 2222)( 22)1( Xf 220)( 22)2( Xf單 位 梯 度 的 向 量 為 ： 2/2 2/222221)( )()1( )1()1( Xf XfS 102021)( )( )2( )2()2( Xf XfS2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度 在 設(shè) 計 平 面 x1ox2內(nèi) 標 出 點 (2,2)和 點 (0,2)，并 將 此 兩 點 分 別 與 原 點 相 連 得 到 向 量 2,2T和 0,2T。 將 這 兩 個 向 量 各 自 平 移 至 點 X(1)和 X(2)，所 得 新 的 向 量 就 是 點 X(1)和 X(2)的 梯 度 。2.2.2 函 數(shù) 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 由 高 等 數(shù) 學 知 ， 一 元 函 數(shù) f(x)若 在 點 x（ k）的 鄰 域 內(nèi) n階 可 導(dǎo) ， 則 函 數(shù) 可 在 該 點 的 鄰 域 內(nèi) 作如 下 泰 勒 展 開 ： nkkkkk Rxxxfxxxfxfxf 2)()()()()( )()(!21)()()()( 多 元 函 數(shù) f(x)在 x（ k） 點 也 可 以 作 泰 勒 展 開 ,其 展 開 式 一 般 取 三 項 ,其 形 式 與 一 次 函 數(shù) 的 形 式 的前 三 項 是 相 似 的 . )()(21 )()()()( )()(1, )( )(1 )()( kjjkiinji ji k kiini i kk xxxxxxXf xxxXfXfXf 寫 成 矩 陣 形 式 ： )()(21 )()()()( )()(2)( )()()( kkTk kTkk XXXfXX XXXfXfXf 式 中 2 )(21 )(2 1 )(221 )(2)(2 )(.)( :.: )(.)()()( n kn k nkkk xXfxx Xf xx XfxXfXHXf稱 為 f(x)的 海 森 (H essian)矩 陣 ， 常 用 H(X(k)表 示 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 2 )(21 )(2 1 )(221 )(2)(2 )(.)( :.: )(.)()()( n kn k nkkk xXfxx Xf xx XfxXfXHXff(x)的 海 森 (H essian)矩 陣 ， 常 用 H(X(k)表 示 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 由 于 n元 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 有 n n個 ， 而 偏 導(dǎo) 數(shù)得 值 與 求 導(dǎo) 次 序 無 關(guān) ， 所 以 函 數(shù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 矩 陣是 對 稱 矩 陣 。例 ： 一 般 二 元 二 次 函 數(shù) CXBAXXXf TT 21)( ， 求 H(X)。 解 ： CXBAXXXfXH TT 2222 )()21()()( 222221122111212221 121121 2 xaxxaxaxxaa aaxxAXXT 2221 121122222112211122 )2(21)21( aa aaxaxxaxaAXXT2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 Aaa aaXfXH 2221 12112 )()( 02 C 0)()( 221122 xbxbXBT 22112121 xbxbxxbbXBT 例 ： 一 般 二 元 二 次 函 數(shù) CXBAXXXf TT 21)( ， 求 H(X)。 2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 )()(21 )()()()( )()(2)( )()()( kkTk kTkk XXXfXX XXXfXfXf 式 中 2 )(21 )(2 1 )(221 )(2)(2 )(.)( :.: )(.)()()( n kn k nkkk xXfxx Xf xx XfxXfXHXf 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。解 ： (1)求 函 數(shù) 在 點 X(1)的 函 數(shù) 值 、 梯 度 ：3)( )1( Xf 3063 963)( 11222 121)1( xx xxXf2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 (2)求 得 二 階 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 為 ：而 且 00 012660 066)( 1121)1(2 xxXf 11112121)1( xxxxXX 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 (3)得 到 泰 勒 展 開 式 的 二 次 項 為 ： 212121 )1()1(2)1( )1(61100 0121121 )()(21 xxxxx XXXfXX T 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 )()(21 )()()()( )()(2)( )()()( kkTk kTkk XXXfXX XXXfXfXf 式 中 2 )(21 )(2 1 )(221 )(2)(2 )(.)( :.: )(.)()()( n kn k nkkk xXfxx Xf xx XfxXfXHXf 例 2: 用 泰 勒 展 開 的 方 法 將 函 數(shù) f(X) x13 - x23+3 x12+3 x22- 9x1在 點 X(1)=1,1T 簡 化 成 二 次 函 數(shù) 。2.2.3 多 元 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 代 入 泰 勒 展 開 式 得 簡 化 的 二 次 函 數(shù) ： )()()()( )1()1()1( XXXfXfXf T2121212 )1()1(2)1( 3126)1(663 )()(21 xxxxx XXXfXX T 2.2.4 無 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 *x *x 由 高 數(shù) 知 識 知 ： 任 一 單 值 、 連 續(xù) 可 導(dǎo) 的 一元 函 數(shù) 在 某 點 取 得 極 值 的 條 件 是 ： 函 數(shù) 在 該 點的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 為 0， 當 二 階 導(dǎo) 數(shù) 不 等 于 0。 當 二 階 導(dǎo) 數(shù) 大 于 0， 函 數(shù) 在 該 點 有 極 小 值 ； 當 二 階 導(dǎo) 數(shù) 小 于 0， 函 數(shù) 在 該 點 有 極 大 值 。 多 元 函 數(shù) 在 點 X(k)取 得 極 小 值 的 條 件 是 ：函 數(shù) 在 該 點 的 梯 度 為 零 ， 二 階 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 為 正 定 。 即0)( * Xf正定)( *2 Xf例 1： 試 求 f(x1,x2) 2x12-8x1+2x22-4x2+20 的 極 值 及 極 值 點 。解 ： 由 極 值 點 存 在 的 必 要 條 件 0044 84)( )()( 2121 xxxXf xXfXf得 駐 點 X*=2， 1T, 在 X*點 海 森 矩 陣 為 ： 40 04*)( 222122 212212 x fxx f xx fx fXH2.2.4 無 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 由 于 其 各 階 主 子 行 列 式 為 04 040 04 可 知 在 X*點 海 森 矩 陣 正 定 的 ，所 以 ， X*為 極 小 點 ， 其 極 小 值 為 ：(2,1)(* fXf 10 2014122822 22 例 1： 試 求 f(x1,x2) 2x12-8x1+2x22-4x2+20 的 極 值 及 極 值 點 。2.2.4 無 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 2.2.5 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 2.2.5 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 1.等 式 約 束 的 極 值 條 件 ),.2,1(0)(. )(min nppvXhts Xf v 建 立 拉 格 朗 日 函 數(shù) ： p vv XhXfXL 1 )()(),( p vv XhXf 1 * 0)()( 0),( * XL2.2.5 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 2.不 等 式 約 束 的 極 值 條 件 ),.,2,1(0)(. )(min muXgts Xf u 加 入 松 弛 變 量 ： mu unuu xXgXfXXL 1 2 )()(),( ),.,2,1(0 mux un ),.,2,1(0)(. )(min 2 muxXgts Xf unu 2.2.5 約 束 優(yōu) 化 問 題 的 極 值 條 件 2.不 等 式 約 束 的 極 值 條 件 mu vu XgXf 1 0)()(XL 0),( * XXL 0)(L 2u unu xXg 02xL un unux2.3 ： 就 是 一 元 函 數(shù) 極 小 化 的 數(shù) 值 迭 代 算法 ， 其 求 解 過 程 稱 一 維 搜 索 。 一 維 搜 索 法 是 構(gòu) 成非 線 性 優(yōu) 化 方 法 的 基 本 算 法 ， 因 為 多 元 函 數(shù) 的 迭代 解 法 可 歸 結(jié) 為 在 一 系 列 逐 步 產(chǎn) 生 的 下 降 方 向 上的 一 維 搜 索 。2.3 )()()()1( KKKK SXX 采 用 數(shù) 學 規(guī) 劃 法 求 函 數(shù) 極 值 點 的 迭 代 計 算 ：K+1次 迭 代 的 搜 索 方 向搜 索 的 最 佳 步 長 因 子就 是 求 一 元 函 數(shù) 的 極 值 。稱 為 一 維 搜 索 。 是 優(yōu) 化 搜 索 方 法 的 基 礎(chǔ) 。當 搜 索 方 向 給 定 ， 求 最 佳 步 長)(KS )(K )()(min )()()()()( KKKKK SXfSXf 2.3 1） 確 定 初 始 搜 索 區(qū) 間 ， 該 區(qū) 間 應(yīng) 是 包 括 一 維 函數(shù) 極 小 點 在 內(nèi) 的 單 峰 區(qū) 間 ； 2） 在 搜 索 區(qū) 間 內(nèi) 尋 找 極 小 點 。 在 函 數(shù) 的 任 一 單 峰 區(qū) 間 上 必 存 在 一 個 極 小 點 ，而 且 在 極 小 點 的 左 側(cè) ， 函 數(shù) 呈 下 降 趨 勢 ， 在 極 小 點的 右 側(cè) 函 數(shù) 呈 上 升 趨 勢 。1、 進 退 法 的 定 義 在 某 一 方 向 上 按 一 定 方 式 逐 次 產(chǎn) 生 一 些 探 測點 ， 并 比 較 這 些 探 測 點 上 函 數(shù) 值 的 大 小 ， 就 可 以 找出 函 數(shù) 值 呈 “ 大 -小 -大 ” 變 化 的 三 個 相 鄰 點 ， 其 中兩 端 點 所 確 定 的 閉 區(qū) 間 必 定 包 含 著 極 小 點 ， 這 樣 的區(qū) 間 稱 為 初 始 區(qū) 間 ， 記 作 a,b。 這 種 尋 找 初 始 區(qū)間 的 方 法 稱 為 進 退 法 。2.3.1 2.3.1 2、 進 退 法 確 定 搜 索 區(qū) 間 的 方 法 在 函 數(shù) 的 任 一 單 峰 區(qū) 間 上 必 存 在 一 個 極小 點 ， 而 且 在 極 小 點 的 左 側(cè) ， 函 數(shù) 呈 下 降 趨勢 ， 在 極 小 點 的 右 側(cè) 函 數(shù) 呈 上 升 趨 勢 。 若 已 知 方 向 S(k)上 的 三 點 x1 x2 x3及其 函 數(shù) 值 f(x1)、 f(x2)和 f(x3)， 便 可 通 過 比較 三 個 函 數(shù) 值 的 大 小 估 計 出 極 小 點 所 在 的 位置 。極 小 點 的 估 計2.3.1 2.3.1 3、 進 退 法 確 定 搜 索 區(qū) 間 的 運 算 步 驟 ： 1） 給 定 初 始 點 a0和 初 始 步 長 h； 2） 確 定 試 算 點 和 對 應(yīng) 函 數(shù) 值 ； 3） 比 較 試 算 點 的 函 數(shù) 值 ， 確 定 搜 索 方 向和 區(qū) 間 ； 若 f(a0) f(a0+h) ，則 說 明 極 小 點 在 試算 點 的 右 側(cè) ； 需 要 進 行 前 進 試 算 ； 若 f(a0) 0.5 845.1,0, ba5.3.2 黃 金 分 割 法20)3(,1)0( 2)、 第 二 輪 ：x1=a+0.382(b-a)=0.708x2=1.146 2131.0)( 0611.0)( 21 xx x2-0=1.1460.51.8540 x x2x1 845.1,0, bax1=a+0.382(b-a)=1.146x2=a+0.618(b-a)=1.8546648.3)( ,2131.0)( 21 xx 146.1,0, ba 5.3.2 黃 金 分 割 法1.1460 xx2x13)、 第 三 輪 ：x1=a+0.382(b-a)= 0.438, x2=0.708 0611.0)( 2082.0)( 21 xx b-x1=1.146-0.4380.5x1=a+0.382(b-a)=0.708x2=1.146 2131.0)( 0611.0)( 21 xx 146.1,0, ba 146.1,438.0, ba5.3.2 黃 金 分 割 法4)、 第 四 輪 ：x1=0.708 x2=a+0.618(b-a)=0.876, 0798.0)( 0611.0)( 21 xxb-x1=1.146-0.7080.5輸 出 ： x*=0.927為 最 優(yōu) 解 ， 最 優(yōu) 值 為 -0.0574。0 1.146 xx1 x2x1=a+0.382(b-a)= 0.438, x2=0.708 0611.0)( 2082.0)( 21 xx 146.1,438.0, ba 5.3.2 黃 金 分 割 法 2.3.3 二 次 插 值 法 二 次 插 值 法 又 稱 拋 物 線 法 ， 它 是 以 目 標 函 數(shù)的 二 次 插 值 函 數(shù) 的 極 小 點 作 為 新 的 中 間 插 入 點 ，進 行 區(qū) 間 縮 小 的 一 維 搜 索 算 法 。 二 次 插 值 的 基 本 思 想 是 ： 利 用 目 標 函 數(shù) 在 不 同3點 的 函 數(shù) 值 構(gòu) 成 一 個 與 原 函 數(shù) f(x)相 近 似 的 二 次多 項 式 p(x)， 以 函 數(shù) p(x)的 極 值 點 作 為 目 標 函 數(shù)f(x)的 近 似 極 值 點 。 2.3.3 二 次 插 值 法 二 次 插 值 的 基 本 思 想 是 ： 利 用 目 標 函 數(shù) 在 不 同3點 的 函 數(shù) 值 構(gòu) 成 一 個 與 原 函 數(shù) f(x)相 近 似 的 二 次多 項 式 p(x)， 以 函 數(shù) p(x)的 極 值 點 作 為 目 標 函 數(shù)f(x)的 近 似 極 值 點 。 2.3.3 二 次 插 值 法 二 次 插 值 法 又 稱 拋 物 線 法 ， 它 是 以 目 標 函 數(shù)的 二 次 插 值 函 數(shù) 的 極 小 點 作 為 新 的 中 間 插 入 點 ，進 行 區(qū) 間 縮 小 的 一 維 搜 索 算 法 。 用 f(x)在 2 或 3 個 點 的 函 數(shù) 值 或 導(dǎo) 數(shù) 值 ， 構(gòu)造 2 次 或 3次 多 項 式 作 為 f(x)的 近 似 值 ， 以 這 多 項式 的 極 小 點 為 新 的 迭 代 點 。 3點 2次 ， 2點 2次 ， 3點 3次 ， 2點 3次 等 以 3點 2次 為 例 ： 取 x 1， x 2， x3， 求 出 f(x1)， f(x2)， f(x3)p(x) 設(shè) 原 目 標 函 數(shù) 的 初 始 單 峰 區(qū) 間 為 x1, x3 。函 數(shù) 在 x1,x2,x33點 處 函 數(shù) 值 分 別 為 f1, f2, f3，通 過 （ x1， f1 ） 、 （ x2， f2 ） 、 （ x3， f3 ） 3點構(gòu) 造 一 個 二 次 插 值 函 數(shù) p(x). 2.3.3 二 次 插 值 法p(x) p(x)= A+ Bx+ Cx2一 階 導(dǎo) 為 0時 ， 極 小 值 點 xp*， xp* = -B /2 C 2.3.3 二 次 插 值 法 321 322222122*211332 21133221 xfxxxfxxxfxx xfxxxfxxxfxxxp 2.3.3 二 次 插 值 法 2.3.3 二 次 插 值 法 2.3.3 二 次 插 值 法 2.3.3 二 次 插 值 法4、 特 點 ： 1） 二 次 插 值 法 的 中 間 插 入 點 包 含 了 函 數(shù)在 三 個 點 上 的 函 數(shù) 值 信 息 ， 因 此 這 樣 的 插 入點 比 較 接 近 函 數(shù) 的 極 小 值 。 2） 當 收 斂 終 止 準 則 成 立 時 ， 把 Xp作 為此 次 一 維 搜 索 的 極 小 點 。 2.3.3 二 次 插 值 法例 ： 用 二 次 插 值 法 求 函 數(shù) f(x)=3x3-4x+2的 極 小值 點 ， 給 定 x0=0, h=1, =0.2。解 ： 1） 確 定 初 始 區(qū) 間21 ff 2)(,0 1101 xffxx 1)(,110 2212 xffhxx由 于 ， 應(yīng) 繼 續(xù) 向 前 探 測 ， 18)(,2 3323 xffhxx 31 ff 由 于 a,b=0,2,可 知 初 始 區(qū) 間 已 經(jīng) 找 到 2.3.3 二 次 插 值 法解 ： 已 經(jīng) 確 定 初 始 區(qū) 間 a,b=0,2, 另 取 一 中 間 點 x2=1。2） 用 二 次 插 值 法 逼 近 極 小 點 相 鄰 三 點 的 函 數(shù) 值 : x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 例 ： 用 二 次 插 值 法 求 函 數(shù) f(x)=3x3-4x+2的 極 小值 點 ， 給 定 x0=0, h=1, =0.2。 2.3.3 二 次 插 值 法2） 用 二 次 插 值 法 逼 近 極 小 點 相 鄰 三 點 的 函 數(shù) 值 : x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18.帶 入 公 式 ： 292.0,555.0 * pp xfx 321 322222122* 211332 21133221 xfxxxfxxxfxx xfxxxfxxxfxxxp 2.3.3 二 次 插 值 法2） 用 二 次 插 值 法 逼 近 極 小 點 相 鄰 三 點 的 函 數(shù) 值 : x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 292.0)(,555.0* pp xfx 2*2* ,)( xxfxf pp 1,0,2 xaba故 新 區(qū) 間 ： 2.3.3 二