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2020年九年級數學中考復習專題:胡不歸和阿氏圓問題 學案(無答案)

上傳人:xinsh****encai 文檔編號:29876129 上傳時間:2021-10-08 格式:DOCX 頁數:10 大?。?72.50KB
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1、2020年中考復習專題:“胡不歸”問題 在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值,此類式子一般可以分為兩類問題: (1)胡不歸問題; (2)阿氏圓. 本文簡單介紹“胡不歸”模型 【故事介紹】 從前有個少年外出求學,某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家,根據“兩點之間線段最短”,雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無反顧踏上歸途,當趕到家時,老人剛咽了氣,小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”(“胡”同“何”) 而如果先沿著驛

2、道AC先走一段,再走砂石地,會不會更早到家? 【模型建立】 如圖,一動點P在直線MN外的運動速度為V1,在直線MN上運動的速度為V2,且V1<V2,A、B為定點,點C在直線MN上,確定點C的位置使ACV2+BCV1的值最小 【問題分析】 ACV2+BCV1=1V1BC+V1V2AC,記k=V1V2 ,即求BC+kAC的最小值 【問題解決】 構造射線AD使得sin∠DAN=k,CHAC=k,CH=kAC. 將問題轉化為求BC+CH最小值,過B點作BH⊥AD交MN于點C,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. 【模型總結】 在求形如“PA

3、+kPB"的式子的最值問題中,關鍵是構造與kPB相等的線段,將“PH+kPB”型 問題轉化為“PA+PC”型. 而這里的PB必須是一條方向不變的線段,方能構造定角利用三角函數得到kPB的等線段. 【2019長沙中考】如圖,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于點E,D是線段BE 上的一個動點,則CD+55BD的最小值是 【2019南通中考】如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點,則PB+32PD的最小值等于 【2014成都中考】如圖,已知拋

4、物線y=k8(x+2)(x-4)(k為常數,且k>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點,與y軸交于點C,經過點B的直線y=-33x+b與拋物線的另一交點為D. (1)若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式 (2)在(1)的條件下,設F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止,當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少? 【2018重慶中考】拋物線y=-66x2-233x+6與x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.點P是直線A

5、C上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應線段是O1B1,當PE+12EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應的點O1的坐標。(為突出問題,剛去了兩個小問) 【2019綿陽中考】在平面直角坐標系中,將二次函數y=ax2 (a>0)的圖象向右平移1個單位,再向下半移2個單位,得到如圖所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),OA=1經過點A的一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,△ABD的面積為5. (1)求拋物線和一次函數的

6、解析式; (2)拋物線上的動點E在一次函數的圖象下方,求△ACE面積的最大值,并求出此時點E的坐標; (3)若點P為x軸上任意一點,在(2)的結論下,求PE+35PA的最小值 阿氏圓問題 在前面的“胡不歸”問題中,我們見識了“kPA+PB”最值問題,其中P點軌跡是直線,而當P點軌跡變?yōu)閳A時,即通常我們所說的“阿氏圓”問題 所謂“阿氏圓”,是指由古希臘數學家阿波羅尼奧斯提出的的概念,在平面內,到兩個定點距離之比等于定值(不為1)的點的集合叫做圓 如下圖,已知A、B兩點,點P滿足PA:PB=k(k≠1),則滿足條件的所有的

7、點P構成的圖形為圓 下面給出證明 法一:首先了解兩個定理 (1)角平分線定理:如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的角半分線,則ABAC=DBDC 證明:S△ABDS△ACD=BDCD,S△ABDS△ACD=ABDEACDF=ABAC,即ABAC=DBDC (2)外角半分線定理:如圖,在△ABC中,外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D,則ABAC=DBDC 證明:在BA延長線上取點E使得AE=AC,連接BD,則△ACD?△AED(SAS), CD=DE且AD平分∠BDE,則DBDE=ABAE,即ABAC=DBDC. 接下來開始阿氏圓證明

8、步驟: 如圖,PA:PB=k,作∠APB的角平分線交AB于M點,根據角平分線定理,MAMB=PAPB=k, 故M點為定點,即∠APB的角平分線交AB于定點; 作∠APB外角平分線交直線AB于N點,根據外角平分線定理,NANB=PAPB=k, 故N點為定點,即∠APB外角半分線交直線AB于定點; 又∠MPN=90,定邊對定角,故P點軌跡是以MN為直徑的圓。 法二:建系 不妨將點A、B兩點置于x軸上且關于原點對稱,設A(-m,0),則B(m,0),設P(x,y),PA=kPB,即: 解析式滿足圓的一般方程,故P點所構成的圖形是圓,且圓心與AB共線除了證明之外,我們還需了

9、解“阿氏圓”的一些性質: (1)PAPB=MAMB=NANB=k 應用:根據點A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O (2)△OBP∽△OPA,即OBOP=OPOA,變形為OP2=OA?OB. 應用:根據圓心及半徑和A、B其中一點,可求A、B另外一點位置 (3) OPOA=OBOP=PAPB=k 應用:已知半徑及A、B中的其中一點,即可知道PA:PB的值 練習1:已知A、B求圓軌跡 已知在坐標系中,點A(-1,0),點B(3,0),P是平面中一點且PA:PB=3:1,求P點軌跡圓圓心位置 【分析】 既然已經了解的“阿氏圓”的相關內容,不妨直接用上結論. 取M(2,0

10、)滿足MA:MB=3:1,取N(5,0)滿足NA:NB=3:1, P點軌跡即是以MN為直徑,MN中點O為圓心的圓. 練習2:已知圓軌跡反求點A或B 已知在坐標系中,點A(-1,0),P是以點A(72,0)為圓心,32長為半徑的圓。平面中求一點 B使得PA:PB=3:1,求B點坐標. 【分析】 像這樣的問題一般就是“阿氏圓”構圖,已知圓與A點,求另外一點B. 思路1:構造相似三角形。 考慮OP2=OA?OB,將OP=32、OA=92代入可得:OB=12,故B點坐標為(3,0) 思路2:根據“阿氏圓”中的特殊位置 當P點運動到M點位置時,有MA:MB=3

11、:1,考慮到A(-1,0)、M(2,0),可得MB=1, 考慮到A、M、B共線且B點在M點右側, 可得B點坐標為(3,0). 補充:這里的圓O與點A及PA:PB的比值都是配套存在的,思路2雖有投機取巧之嫌,卻是根據“阿氏圓”定義求出的B點,還好用。 那么這個玩意和最值有什么關系呢? 比如可以將練習2稍加修改,即可變成最值問題: 練習2(改):已知在坐標系中,點A(1,0),P是以點(72,0)為圓心,32長為半徑的圓, Q(2,2),求PQ+13PA的最小值. 【分析】 問題中的PQ暫時不用管,先處理好13PA,考感到P點軌是個圓,且要構造13PA,大膽猜測:平面中存

12、在一點B使得P在圓上任意位置,均滿足:PAPB=13,即有PB=13PA. 其實就是逆用“阿氏圓”,這樣的題目一般就是給出圓與A點位置,求另一點B的位置可轉化13PA. 點B求法如上練習2,剩下的求量小值就很簡單了 練習3:關于系數 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3,以點C為圓心,2為半徑作圓,分別交 AC、BC于D、E兩點,點P是圓C上一個動點,則12PA+PB的最小值為 【分析】確定了問題關鍵是構造“12PA",已知了P點所在的,已知了A點,即在平面中找一點M使得“PM=12PA” 思路1:構造相似三角形 點M與A、C共線,且

13、M點必滿足:CP2=CM?CA, 代入CP、CA,即可得:22=4?CM,得:CM=1,即可確定M點位置, 12PA+PB=PM+PB問題轉化為PM+PB最小值,直接連BM即可 【問題剖析】 (1)這里為什么是12PA? 答:因為圓C半徑為2,CA=4,比值是1:2,△CMP與△CPA的相似比為1:2所以構造的是12PA,也只能構造12PA (2)如果問題設計為PA+kPB最小值,k應為多少? 答:根據圓C半徑與CB之比為2:3,k應為23. 【練習1】如圖,在△ABC中,∠ACB=90,BC=12,AC=9,以點C為圓心,6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD,

14、則2AD+3BD的最小值是 問題轉化為DM+DB的最小值,直接連接BM,BM長度的3倍即為本題答案 【練習2】、如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,則PD-12PC的最大值為 【分析】當P點運動到BC邊上時,此時PC=2,根據題意要求構造12PC,在BC上取M,使得此時PM=1,則在點P運動的任意時刻,均有PM=12PC,從而將同題轉化為求PD-PM 連接PD,對于△PDM, PD-PM<DM,故當D、M、P共線時,PD-PM=DM為最大值 【2019山東日照第22題】 如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=-5x+5與x軸、y軸分別交于A、C兩點,拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點,與x軸的另一交點為B. (1)求拋物線解析式及B點坐標; (2)若點M為x軸下方拋物線上一動點,連接MA、MB、MC,當點M運動到某一位置時,四邊形AMBC面積最大,求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積; (3)如圖2,若P點是半徑為2的圓B上一動點,連接PC、PA,當點P運動到某一位置時,PC+12PA的值最小,請求出這個最小值,并說明理由.

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