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1、 福建省漳州市薌城中學高中數(shù)學 2三垂線定理教案 新人教A版必修2 授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學目標 1、知識與技能：理解三垂線定理及其逆定理的證明，準確把握“空間三線”垂直關系的實質；掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。 2、過程與方法：通過三垂線定理的證明及應用，體會空間線線、線面垂直關系的轉化。 3、情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生的觀察、猜想和論證能力；培養(yǎng)學生對待知識的科學態(tài)度和辯證唯物主義觀點。 二、教學重點：三垂線定理及其逆定理的證明和初步應用。 難點：三垂線定理中的垂直關系及證明過程。 關鍵

2、：把握住斜線和它在平面上的射影必定同時垂直于平面內的某條直線。 三、教材分析： 1、“三垂線定理”是高中立體幾何中的重要內容之一，它是在研究了空間直線和平面垂直的基礎上研究兩條直線垂直關系的一個重要定理，它既是線面垂直關系的一個應用，又為以后學習面面垂直，研究空間距離、空間角奠定了基礎，同時這節(jié)課也是培養(yǎng)學生空間想象能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。 2、本節(jié)課的教學過程為：猜、證、比、用，即猜想平面內的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理及其逆定理；比較兩個定理；應用定理證題。 由于本節(jié)課安排在立體幾何學習的初始階段，是學生空間觀念形成的

3、關鍵時期，因此要重視讓學生動手做模型，教師演示指導，讓學生直觀地感受到空間線面、線線關系的變化，再在教師的引導下思考線面、線線垂直關系存在的因果關系，逐步推理、猜想命題，論證命題，從而發(fā)現(xiàn)定理，揭示定理的實質，在定理論證中進一步發(fā)展定理，引出逆定理，再進行比較，從而更進一步地把握定理的關鍵。對定理的應用，只要求學生在理解定理的基礎上，理清應用定理證題的一般步驟，學會證明一些簡單問題。 3、本節(jié)課采用啟發(fā)、引導、探索式相結合的教學方法，啟發(fā)、引導學生積極思考，勇于探索，使學生的心理達到一種“欲罷不能”的興奮狀態(tài)，從而產生濃厚的學習興趣，發(fā)揮學生的主觀能動性，體現(xiàn)學生的主體作用。 四、教學過程

4、 （一）復習和引入新課 提問：（1）直線和平面垂直的定義是什么？（直線垂直于平面內的任意一條直線。） （2）直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 （3）如圖，如果PO⊥平面α，PA與平面α交于點A，則PO為平面α的垂線，PA為平面α的斜線，連接垂足O與斜足A的直線OA叫做斜線PA在平面α內的射影。 （二）猜想和發(fā)現(xiàn) 1、揭示問題，引導探究 根據(jù)直線和平面垂直的定義知平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直。 進一步，平面內的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂直？（否） 是否平面內的所有直線都不和平面的一條斜線垂直？

5、 2、模型演示 引導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型（如圖）。 如圖表示平面的斜線（PO）在平面內有垂線（a），且有無數(shù)條。這些直線應具備什么條件，即怎樣判定平面內的直線與平面的一條斜線垂直呢？ 指導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型（如圖），使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導學生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經過實驗，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內的直角邊垂直時，便與斜邊垂直。 3、結論：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 （三）證明定理 實驗得出的結果是否正確還得進行證明。 已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α上的射影，

6、（如圖）。 求證：a⊥PA。 分析：證明兩直線垂直，可轉化為證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，從本題條件看，PO在平面PAO內，只要證明a⊥平面PAO即可。 證明：因為，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。 （四）揭示定理 上面命題反映了平面內一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內的射影這三者之間的垂直關系，這就是著名的三垂線定理，下面請大家根據(jù)已知條件和結論，把三垂線定理完整地表達出來。 三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 三垂線定理的實質是平面內的直線與平面的斜

7、線垂直的判定定理。這個定理之所以著名，不僅在于它給了我們一個證明線線垂直的重要方法，為研究計算空間角、空間距離奠定了基礎，而且這個定理的證明方法——“線面垂直法”，也是一種非常重要的方法。 剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PAO垂直，現(xiàn)在我們再看，由于PA與a總垂直，那么當a與PO垂直時還會有a⊥平面PAO嗎？進一步可得到什么結論？（a⊥AO）這樣我們又得到了一個重要定理： 三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直。 請同學們寫出證明過程，并與原定理進行對比。 （五）原、逆定理的比較 相同點：（1）結構相同

8、：都是由線線垂直推證線線垂直； （2）證明方法相同：都采用了線面垂直法。 不同點：（1）用途不同：原定理是用來證空間兩直線垂直；逆定理是用來證平面上兩直線垂直。 （2）條件與結論不同：原定理：“與射影垂直”“與斜線垂直”；逆定理：“與斜線垂直”“與射影垂直”。 （六）定理的應用 例1：如圖，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，連結PA，求證：BC⊥PA。 分析：PO是平面的垂線，PA是平面的斜線，BC在平面ABC上，所以，欲證BC⊥PA，只需證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。 證明：連結AO并延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影。 又O是△ABC的

9、垂心，所以AD⊥BC，由三垂線定理可得BC⊥PA。 小結：使用三垂線定理證題的一般步驟是： 一定——定平面及平面內的一條直線；二找——找平面的垂線、斜線及射影；三證——證明平面內一直線與射影垂直。 由于逆定理與原定理的實質相同，結構相似，因而使用時也可以按以上步驟進行，這對我們在復雜圖形中使用定理很有好處。 例2：正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證： （1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。 4、探究：如圖，直四棱柱（側面與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，？ 解：連結，因為平面，所以為在平面內的射影，由三

10、垂線定理知，當時，有，即四邊形ABCD的對角線互相垂直時，。 （七）歸納總結 1、本節(jié)課重點學習了三垂線定理及其逆定理，它們是空間兩線垂直的判定與性質定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的區(qū)別與聯(lián)系。 2、學會按“一定、二找、三證”的步驟應用兩個定理證明線線垂直。 （八）布置作業(yè) 1、已知點O是△ABC的BC邊上的高上的任意一點，且OP⊥平面ABC，求證PA⊥BC。 2、如圖，PD⊥平面ABC，AC = BC，D為AB的中點，求證：AB⊥PC。 3、如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，連結PB、PC、PD，指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由。 教學反思： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！