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含參量反常積分的一致收斂性判別法

上傳人:小** 文檔編號:30284267 上傳時間:2021-10-10 格式:DOC 頁數:10 大?。?92.50KB
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1、3.含參量的反常積分一致收斂性判別法 Weierstrass 判別法 設函數f(x,t)定義在 D -「(x,t): a _x 5心,t T R: 中,若 (a) 對于每個A a, f (x, t)在x:二[a, A]上為r-可積的; -bo (b) 存在:(x),使得 (x)dx收斂,且 a f(x,t)蘭半(x), xE[a,+o); -bo -bo 則反常積分 f(x,t)dx關于t^T絕對一致收斂,亦即,反常積分 f(x,t)dx關于t^T 一致 a a 收斂. 我們稱定理中的 (x)為f (x,t)的優(yōu)函數. Abel判別法 設函數f (x,t)、g (x

2、,t)定義在 D X(x,t): a zx : ::, t T R; 中,若 -bo (a) 若反常積分f f(x,t)dx關于t^T 一致收斂; a (b) g(x, t)是x的單調函數,且存在常數 L 0 (與[a, ?::)、t T無關),使得 g(x,t)el ; -bo 則反常積分[f (x,t)g(x,t)dx關于t T 一致收斂. a Dirichlet 判別法 設函數f (x,t)、g(x,t)定義在 D - \(x,t): a _ x :: ::, t T R: 中,若 A (a)對于每個A a, f (x, t)在[a, A]上為R-可積的,且

3、積分.f(x,t)dx關于t T a 一致有界,亦即, M?0 (與A、t無關),使得 A J f (x,t)dx 乞 M ; a (b) g(x, t)是x的單調函數,且 xlim g(x,t) =0 x廠: 關于t T 一致成立; -be 則反常積分 f (x,t)g(x,t)dx關于t三T 一致收斂. a :: 2 - 補充例9 試證反常積分 u三.0,亠「]一致收斂. e」-sin x dx,二匸0為常數,關于 0 ? 丿 -ox sin x Ee 一 X, u 〔0,::, (*) e-xdx—亠掙 a =1 收斂,故由 Wei

4、erstrass判別法知反常積分 Ct ?F 2 -u ■■■ x . . e sinx dx 0 關于u三0,:一致收斂; 補充例10 試證反常積分 -bC - 0 sinx du, - - 0為常數,關于x- .0,亠「]一致收斂. 證* - 0,由 -bo -bo fu4x ‘ sin x du = —ox ? 「 ―u x . e sin x Je du A A 作變量代換t = x u, 上式右邊成為 sin x (** ) 注意到 /xs in x xim x Pm乎才x=0 -bo .

5、e42 xA dt .2 e dt -bo t2 積分e~ dt :- 0 TT —是著名的歐拉積分,我們將在下面計算它 2 于是,對于(**), Vs >0 , ^> a0,當 xw (0,6 )時,有 2; 進而,- A 0, x三[0,,有 乂 2亠、 2飛" bi nxdu = -bo _u2 x i e sin x Je du A A 顯然,x=0上述不等式也成立,因此,對于 -A . 0、x:= |0,、:時, fe)xsinxdu A 另一方面,_x :三匕,亠「],由 -be -be 與 er"du收斂(歐拉型積

6、分),故由Weierstrass判別法,知反常積分 e 0 0 xsinxdu在 一x :二1:,::中一致收斂.聯(lián)合關于x 1.0^ 與x:二山,:;心];的結果,補充例10得證. 補充例11 試證反常積分 Jsinx 0 dx關于u「〔0,= —致收斂. x 竺仝dx收斂,因此關于u:= Io, —致收斂; 0 x 另一方面, g x,u =e"u 關于x 〔0, ?二單調遞減,且在 x, u 1-0, ?:: 1-0 ?::中 一致有界 x u 0 -e - 1 , Abel判別法便證明了例11. 補充例12 試證反常積分 esinx sin2x

7、dx關于;-三〔0,亠「[一致收斂. 0 5 1 1 證 由g X, 當Xr"時單調遞減且g x, 0 ;另一方面, X九 XA A A si nA 「si nx 」 [e sin 2x dx =2 .si nx ? i [e sin x cosx dx =2 [t et dt 0 0 0 只 ? . si nA sin A , . _ =2 sin A e -e +1 蘭 6 e ; Dirichlet判別法證明了補充例 12 . .1 1 sin - 補充例13 設-:::::p ::: ?::,考慮反常積分 | pX

8、 dx,試證 、xp 0 (1) (2) -:::::p ::: 1絕對收斂、當1 < p ::: 2非絕對收斂、當2乞p ::: ?::發(fā)散; pD0,2-「一致收斂,其中、:.0、當p"0,2 非一致收斂? (1) 將有限區(qū)間X - 當-:::::p :::1 時,令 .1 si n — 0,1 ]上的函數 公的積分化為無限區(qū)間上的積分比較方便 Xp 1 1 t, dX ^dt,x:=〔0,1 丨)t x t .1 1 sin 1 二 Tdx二 0 x :: sint -1dt _ : 2 dt - I 丄 t2 11 t 勢dt. #

9、 于是, -ba :t sint dt「t2〔 dt 1 t 因此當 p -1 時,有 2 - p 1, 垃1 故積分 —- dt的收斂性保證了反常積分 I絕對收斂;因此, 1 t 當< p ::: 1時,積分絕對收斂; 當 1 _ p :: 2,則 0 ::: 2 — p _ 1,積分 sint dt發(fā)散,這是因為 # # sint 嚴 2 sin t 1 -cos2t 1 cos2t ■ —■ t 2t 2t 2t -1 cos2t dt發(fā)散,而 dt收斂;另一方面,由 1 2t 1 2t A

10、Jsint dt = cos1—cosA 蘭2, i 1 t2』 單調遞減趨向于零 因此由 Dirichlet 判別法知,積分I當1 < p ... 2時積分I收斂;綜合, 當1 < p ::: 2時,積分I非絕對收斂; ③當2蘭p v +處,對于p = 2,積分 int 1 t2“ dt = -bo J sint dt 1 發(fā)散;對于p A 2, 積分| = tp si nt dt,故對于每個N,有 i 七c 「兀2兀3兀 2呵 2n7i乜 、 Jtpsi nt dt J+j+J+…+ J + [ +…》tpsi n t dt, 1 J 兀2兀

11、 2n兀 2n兀 J 且 2n「二 2ny J tpsintdtA(2n兀)p, J sintdt=2(2n兀)卩‘ 2n 二 2n二 2n 二 2 二 J tp si nt dt = J (2n 兀 一2兀十 y )psi n(2n 兀 一2兀 +y )dy 2n「:_二 二 2 二 二 p _2 P-2 二 2n二-2二 y sin y dy - - 2n二-u sin u du, 二 o 由 31 0 ii2n二-sinu du :: 2n ■「i cosu 0 =2 2n二 0 得到 n P-2 # P-2 -2 2n 2n二-u sinu du

12、:: 0, 0 故 乂 1 1 :-. 2 二 3 二 2n 二 2n:「. | tp sin t dt 二 1亠1亠1亠亠1亠1亠"2 si nt dt I T V V V 1 1 2?. 2n 二-二 2nd tp^sint dt -2 2二 g 2 2二 2 - -2 2n「:心 2 2n二 心- 1 JI JI 二 tp^si nt dt > i si nt dt - - cost = cosV ;, 1 1 當2空p ::: ?::時,積分發(fā)散. (2) 對于.0,在 ■■■ 2 - - I 中,由 p _ 2 -、: =■ 2 - p _「.

13、,得 1單調遞減趨于零; t「 而積分 一致有界,故據 Dirichlet 判別法, ② 最后, .1 1 sin 積分I -x i p 0 X 我們用反證法,設積分在區(qū)間 s.t. - A A Aq 時,有 A Jsint dt 1 得到積分 I A" =cosl-cosA 冬 2 .1 1 sin 詐dx在p^ ■■■ 2 - -)上一致收斂; x 在 p ,2 非一致收斂. ,2上一致收斂,則對;0 =1, 代二代[,:廣a =1, sint A產 ~p - 2 . 但這不可能,因為若取 A =2k二、 A” h[2k ?

14、1二,則當k充分大時,有 9 # 1 > ; l「2k - 1 ■: 2k 1 二 sint dt . 一2 卻 2k爲 |L;:2k 1 二 當p》2 一時,上式右邊 尸 > 2,得到1二;0 2的矛盾. [(2k+“ 廠 0 補充習題 1、討論積分 ^sinxdx 的收斂性,其中 x ■為實數. -be . c .sin x Sin 2X . al l t ?亠 2、討論積分 -0. e dx的收斂性,其中 0 -bo 3、討論積分I = J x e&Xdx在a e Bo,畑)上的一致收斂性,其中 a。>0. 0 -be . :0 1 . sin : x | 4、討論積分 cosx dx在. 0^- ■上的一致收斂性,其中 o x 1 5、討論積分|二xpJ dx在p := lp0,:;;s ]上的一致收斂性,其中 p0 0. 0 1 6、討論積分I二xpJ ln x dx在亠「[上的一致收斂性,其中 p0 0. 0 #

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