《含參量反常積分的一致收斂性判別法》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《含參量反常積分的一致收斂性判別法(10頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、3.含參量的反常積分一致收斂性判別法
Weierstrass 判別法 設函數f(x,t)定義在
D -「(x,t): a _x 5心,t T R:
中,若
(a) 對于每個A a, f (x, t)在x:二[a, A]上為r-可積的;
-bo
(b) 存在:(x),使得 (x)dx收斂,且
a
f(x,t)蘭半(x), xE[a,+o);
-bo -bo
則反常積分 f(x,t)dx關于t^T絕對一致收斂,亦即,反常積分 f(x,t)dx關于t^T 一致
a a
收斂.
我們稱定理中的 (x)為f (x,t)的優(yōu)函數.
Abel判別法 設函數f (x,t)、g (x
2、,t)定義在
D X(x,t): a zx : ::, t T R;
中,若
-bo
(a) 若反常積分f f(x,t)dx關于t^T 一致收斂;
a
(b) g(x, t)是x的單調函數,且存在常數 L 0 (與[a, ?::)、t T無關),使得
g(x,t)el ;
-bo
則反常積分[f (x,t)g(x,t)dx關于t T 一致收斂.
a
Dirichlet 判別法 設函數f (x,t)、g(x,t)定義在
D - \(x,t): a _ x :: ::, t T R:
中,若
A
(a)對于每個A a, f (x, t)在[a, A]上為R-可積的,且
3、積分.f(x,t)dx關于t T
a
一致有界,亦即, M?0 (與A、t無關),使得
A
J f (x,t)dx 乞 M ;
a
(b) g(x, t)是x的單調函數,且
xlim g(x,t) =0
x廠:
關于t T 一致成立;
-be
則反常積分 f (x,t)g(x,t)dx關于t三T 一致收斂.
a
:: 2 -
補充例9 試證反常積分
u三.0,亠「]一致收斂.
e」-sin x dx,二匸0為常數,關于
0
? 丿 -ox
sin x Ee
一 X, u
〔0,::,
(*)
e-xdx—亠掙
a
=1 收斂,故由 Wei
4、erstrass判別法知反常積分
Ct
?F 2
-u ■■■ x . .
e sinx dx
0
關于u三0,:一致收斂;
補充例10 試證反常積分
-bC -
0
sinx du, - - 0為常數,關于x- .0,亠「]一致收斂.
證* - 0,由
-bo
-bo
fu4x
‘ sin x du
=
—ox ? 「 ―u x .
e sin x Je du
A
A
作變量代換t = x u,
上式右邊成為
sin x
(** )
注意到
/xs in x
xim x
Pm乎才x=0
-bo
.
5、e42
xA
dt
.2
e dt
-bo
t2
積分e~ dt :-
0
TT
—是著名的歐拉積分,我們將在下面計算它
2
于是,對于(**), Vs >0 , ^> a0,當 xw (0,6 )時,有
2;
進而,- A 0, x三[0,,有
乂 2亠、
2飛" bi nxdu
=
-bo _u2 x i e sin x Je du
A
A
顯然,x=0上述不等式也成立,因此,對于 -A . 0、x:= |0,、:時,
fe)xsinxdu
A
另一方面,_x :三匕,亠「],由
-be -be
與 er"du收斂(歐拉型積
6、分),故由Weierstrass判別法,知反常積分 e
0 0
xsinxdu在
一x :二1:,::中一致收斂.聯(lián)合關于x 1.0^ 與x:二山,:;心];的結果,補充例10得證.
補充例11 試證反常積分
Jsinx
0
dx關于u「〔0,= —致收斂.
x
竺仝dx收斂,因此關于u:= Io, —致收斂;
0 x
另一方面,
g x,u =e"u 關于x 〔0, ?二單調遞減,且在 x, u 1-0, ?:: 1-0 ?::中
一致有界
x u
0 -e - 1 ,
Abel判別法便證明了例11.
補充例12 試證反常積分
esinx sin2x
7、dx關于;-三〔0,亠「[一致收斂.
0
5
1 1
證 由g X, 當Xr"時單調遞減且g x, 0 ;另一方面,
X九 XA
A
A
si nA
「si nx 」
[e sin 2x dx
=2
.si nx ? i
[e sin x cosx dx
=2
[t et dt
0
0
0
只 ? . si nA sin A , . _
=2 sin A e -e +1 蘭 6 e ;
Dirichlet判別法證明了補充例 12 .
.1
1 sin -
補充例13 設-:::::p ::: ?::,考慮反常積分 | pX
8、 dx,試證
、xp 0
(1)
(2)
-:::::p ::: 1絕對收斂、當1 < p ::: 2非絕對收斂、當2乞p ::: ?::發(fā)散;
pD0,2-「一致收斂,其中、:.0、當p"0,2 非一致收斂?
(1)
將有限區(qū)間X -
當-:::::p :::1 時,令
.1 si n —
0,1 ]上的函數 公的積分化為無限區(qū)間上的積分比較方便
Xp
1 1
t, dX ^dt,x:=〔0,1 丨)t
x t
.1
1 sin 1
二 Tdx二
0 x ::
sint -1dt _ :
2 dt - I
丄 t2 11
t
勢dt.
#
9、
于是,
-ba
:t
sint
dt「t2〔 dt
1 t
因此當
p -1 時,有 2 - p 1,
垃1
故積分 —- dt的收斂性保證了反常積分 I絕對收斂;因此,
1 t
當< p ::: 1時,積分絕對收斂;
當 1 _ p :: 2,則 0 ::: 2 — p _ 1,積分
sint
dt發(fā)散,這是因為
#
#
sint
嚴
2
sin t 1 -cos2t 1 cos2t
■ —■
t 2t 2t 2t
-1 cos2t
dt發(fā)散,而 dt收斂;另一方面,由
1 2t 1 2t
A
10、Jsint dt = cos1—cosA 蘭2,
i
1
t2』
單調遞減趨向于零
因此由
Dirichlet 判別法知,積分I當1 < p ... 2時積分I收斂;綜合,
當1 < p ::: 2時,積分I非絕對收斂;
③當2蘭p v +處,對于p = 2,積分
int
1 t2“ dt
=
-bo
J sint dt
1
發(fā)散;對于p A 2,
積分| = tp si nt dt,故對于每個N,有
i
七c 「兀2兀3兀 2呵 2n7i乜 、
Jtpsi nt dt J+j+J+…+ J + [ +…》tpsi n t dt,
1 J 兀2兀
11、 2n兀 2n兀 J
且
2n「二 2ny
J tpsintdtA(2n兀)p, J sintdt=2(2n兀)卩‘
2n 二 2n二
2n 二 2 二
J tp si nt dt = J (2n 兀 一2兀十 y )psi n(2n 兀 一2兀 +y )dy
2n「:_二 二
2 二 二
p _2 P-2
二 2n二-2二 y sin y dy - - 2n二-u sin u du,
二 o
由
31
0 ii2n二-sinu du :: 2n ■「i cosu 0 =2 2n二
0
得到
n
P-2 # P-2
-2 2n 2n二-u sinu du
12、:: 0,
0
故
乂 1
1 :-. 2 二 3 二 2n 二 2n:「. |
tp sin t dt 二
1亠1亠1亠亠1亠1亠"2 si nt dt
I T V V V
1
1 2?. 2n 二-二 2nd
tp^sint dt -2 2二 g 2 2二 2 - -2 2n「:心 2 2n二 心-
1
JI JI
二 tp^si nt dt > i si nt dt - - cost = cosV ;,
1 1
當2空p ::: ?::時,積分發(fā)散.
(2)
對于.0,在 ■■■ 2 - - I 中,由 p _ 2 -、: =■ 2 - p _「.
13、,得
1單調遞減趨于零;
t「
而積分
一致有界,故據
Dirichlet 判別法,
② 最后,
.1
1 sin
積分I -x
i p
0 X
我們用反證法,設積分在區(qū)間
s.t. - A A Aq 時,有
A
Jsint dt
1
得到積分 I
A"
=cosl-cosA 冬 2
.1
1 sin
詐dx在p^ ■■■ 2 - -)上一致收斂;
x
在 p ,2 非一致收斂.
,2上一致收斂,則對;0 =1, 代二代[,:廣a =1,
sint
A產
~p - 2 .
但這不可能,因為若取 A =2k二、
A” h[2k ?
14、1二,則當k充分大時,有
9
#
1
> ;
l「2k - 1 ■:
2k 1 二
sint dt . 一2 卻
2k爲 |L;:2k 1 二
當p》2 一時,上式右邊 尸 > 2,得到1二;0 2的矛盾.
[(2k+“ 廠 0
補充習題
1、討論積分
^sinxdx 的收斂性,其中
x
■為實數.
-be . c
.sin x Sin 2X . al l t ?亠
2、討論積分
-0.
e dx的收斂性,其中
0
-bo
3、討論積分I = J x e&Xdx在a e Bo,畑)上的一致收斂性,其中 a。>0.
0
-be .
:0 1 .
sin : x |
4、討論積分
cosx dx在. 0^- ■上的一致收斂性,其中
o x
1
5、討論積分|二xpJ dx在p := lp0,:;;s ]上的一致收斂性,其中 p0 0.
0
1
6、討論積分I二xpJ ln x dx在亠「[上的一致收斂性,其中 p0 0.
0
#