《含參變量無窮積分的一致收斂性》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《含參變量無窮積分的一致收斂性（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、含參變量無窮積分的一致收斂性 論文摘要：本文通過含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間的關(guān)系，歸納總結(jié)了 含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準(zhǔn)則、魏爾斯特拉 斯判別法、狄利克雷判別法等)及其性質(zhì)? 關(guān)鍵詞：含參變量無窮積分一致收斂判別法 七0 oO 無窮積分.f(x)dx與級數(shù)V Un的斂散概念、斂散判別法及其性質(zhì)基本上 a n ■bo 00 是平行的，不難想到，含參變量無窮積分.f(x,y)dx與函數(shù)級數(shù)Un x之間 a 心 亦應(yīng)如此，為了討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)，我們在收斂區(qū)域I上提 出了更高的要求，引進(jìn)了一致收斂的概念，同樣，在討論含參變量無窮積分所確

2、定的函數(shù)的分析性質(zhì)時，一致收斂同樣也起著重要的作用.因此，含參變量無窮 積分的一致收斂性是《數(shù)學(xué)分析》中非常重要的知識點(diǎn)，也是學(xué)生不容易掌 握的難點(diǎn)，從而，我試著類比、總結(jié)得出含參變量無窮積分的一致收斂性的判 別法及其性質(zhì)，以便使學(xué)生對此有一個更為系統(tǒng)和深刻的了解 ? 1.含參變量無窮積分一致收斂的判別法 我們很自然的可以想到運(yùn)用定義來證明 -bo 定義 設(shè)- y ?區(qū)間I ,無窮積分 f x, y dx收斂,若- ；? 0 , TA（通 a ?r A r 用）>0, -A>Ao,有| f（x,y）dx- f （x, y） dx |=| f （x,y）dx | ：：；,則稱無窮積

3、分 a a A -bo f x,y dx在區(qū)間I 一致收斂. a 用定義證明一致收斂的關(guān)鍵在于尋找只與 ■:有關(guān)的共同的Ao，方法常常 是采取適當(dāng)放大的方法 "bo 例1 1證明：無窮積分 ye」ydx在區(qū)間［a，+二］（a>0） —致收斂，而 0 在（0，+ ）上非一致收斂. 證明 Py e (0,畑)，Jy dx 令 t = xy e」dt ln1 對一；0,解不等式e判」，有A 一- y ln1 ,取 A。二一-，則- A A0，有 y -bo Jye^dx v名，因此, A -bo .ye^dx在（0, +二）是收斂的，但不能斷定是一致

4、 A 收斂的，因?yàn)槲覀兯业降腁0不僅跟；有關(guān)，而且與 廠（0,=）有關(guān). -bo 事實(shí)上，.ye^dx在廠（0,七）是非一致收斂的，只需取 A —，-A 0, 2e 彳 取 A =2A〉A(chǔ),y = — e (0^)，貝 U [ y e^ d^ = e^^ = e^ > ^0， 2A -bo 但 ye^ydx A 在［a,畑）一致收斂（其中a> ），由不等式：y啟a,有e"yEe"a,解不等式  e"a In1 :::;,有 A - 一= a 1 In — 于是取Ao二 y A Ao時，對一切y la^? V,有 Jye」ydx =

5、 e」y空止c s所以, A ■bo ye^ydx在 y ? [a, ?：：）（其中 a 0）一致收斂. A -bo 此題中，我們還可以計(jì)算出.ye」ydx在（0, ?：：）上的收斂值.事實(shí)上，對 0 匕 任意 y （0,r），都有 ye^dx^l-eJ ， 0 所以,lim yeydx = lim （1 - ）=1， "_0 -bo 即.ye^dx在（0， +：：）收斂于1. 0 ■fao 定理1 2（（柯西一致收斂準(zhǔn)則）無窮積分.f （x,y）dx在區(qū)間I 一致收斂 a =- ；0, A0 . 0, -A1 A0 與 A2 A0，-y I,有 A2

6、Jf （x, y）dx < 豈. A 定理2 31 （魏爾斯特拉斯 M判別法）若 B?0,-x ?B,-* I，有 f（x,y）?。▁,y）. f x,y dx在區(qū)間I 一致收斂. a 且無窮積分 F x, y dx收斂，則無窮積分 a 該定理是判別某些無窮積分一致收斂性的很簡便的判別法， 但這種方法 有一定的局限性：凡能用定理2判別無窮積分是一致收斂，此無窮積分必然 是絕對收斂；如果無窮積分時候一致收斂，同時又是條件收斂，那么就不能 用定理2來判別。對于這種情況，我介紹如下定理： 定理32丨若函數(shù)f (x, y)在 區(qū)間D(a _ x ：；心，y I), (a 0)連續(xù)

7、，且 x F(x,y)二 f(t,y)dt 在 D 有界，即 C 0,-(x,y) D, a 有 F (x, y) x J f (t, y)dt

8、魏爾斯特拉斯M判別法有如下定理： ■bo 定理4 4設(shè) g(x, y)dx在區(qū)間I 一致收斂，有存在 L 0,使當(dāng)x —a與 a y引 時，恒有f (x, y)|蘭Lg(x, y)成立，且當(dāng) > a時，對任意y",f(x,y)均 -bo 關(guān)于x在a,上可積，則.g(x, y)dx關(guān)于時y在I 一致收斂且絕對收斂. a 例3設(shè)a >0, p >1,又存在L > 0，使當(dāng)x A a, y乏I時，恒有f (x, y)蘭- x 成立，且當(dāng) a時，對任意y I, f (x,y)均關(guān)于x在〔a,丨上可積，試證 -bo f (x, y)dx在區(qū)間I上一致收斂且絕對收斂 a 證明 只

9、需注意此時 4收斂即可 aXP 5 # 關(guān)于含參量無窮積分一致收斂性與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系有 下述定理: 定理5 3含參量無窮積分.f (x,y)dx在區(qū)間I上一致收斂的充要條件 a 是：對任一趨于的遞增數(shù)列；4品(其中A^c)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù) # .1 f(x,y)dx Un(y)在區(qū)間 I 上一致收斂? n An n 呂 -bo 在知道無窮積分.f(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上的收斂值:y時，可應(yīng)用下 a 述定理: "bo 定理 6 4丨.f (x, y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于:y的充要條件是 a 鄴滬卩

10、，Jf (x, y)dx-伽 -bo 判斷 Jdx關(guān)于y在［c, =),(c 0)上和(0「：)內(nèi)的一致收斂 +x y -bo y Jl 顯然 「dx關(guān)于y在(0「：)內(nèi)收斂于一? o1 +x y 2 任y 陀叩計(jì)河2 JI dx — 2 JI =四,匕卩2 - arctan y : y K c lim (— - arctanc )=0 ,而 y dx - 2「2 2 f -arctan y : y 0 = 兀 n =駭 sup〔2 -be 由定理6,得 Jdx關(guān)于y在［0,=)上一致收斂于一，在(0「：)內(nèi)非一 o^x y 2 致

11、收斂. "bo 定理7 f (x, y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于(y)的充要條件是: a 對任意 「n nm n =：,亦：yn I(n =1,2,) lim nT說 .f (x, yn)dx -(yn) a 二 0. 7 # -bo 例5試證 /石dx關(guān)于y在(0,=)內(nèi)非一致收斂. ；(x + y) -bo 證明 顯然 Jdx關(guān)于y在(0, ?：：)內(nèi)收斂于^ (0, ：：)(n=1,2,),但 是 1(x+y) 1 + y 取 二=n, yn= n(n =1,2,…)，貝U n^J =畑，y. n r yn lim

12、 F(x + yn) 2dx「1ynyn yn ^lim^1 n— # # -bo 由定理7, 一 dx關(guān)于y在0「：內(nèi)非一致收斂. 1 x y 與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，有 31 定理8 (狄利克雷判別法)設(shè) (i )對一切實(shí)數(shù)N ? 0，含參變量無窮積分 N f x,y dx c 對參變量y在a,b 1上一致有 界，即存 在正數(shù)M，對一切N c及一切 y a,b 1,都有 N 〕f(x,y dx 蘭 M ; c (ii )對每一個y b,b 1，函數(shù)g x, y關(guān)于x是單調(diào)遞減且當(dāng)x-?小時，對 參變量y，g x, y 一

13、致地收斂于0, 則含參變量無窮積分 -bo f x, y g x, y dx c 在a,b 上 一致收斂. 定理9 (阿貝爾判別法)設(shè) -bo (i ) f x, y dx在a,b】上一致收斂； c (i )對每一個y a,b】，函數(shù)g x, y為x的單調(diào)函數(shù)，且對參變量y，g x, y 在a,b 上 一致有界， 則含參變量無窮積分 8 -bo f x,y g x, y dx c 在a,b 1上一致收斂. 例6證明含參變量無窮積分 0 沁 dx 在 0,d 1上 x 9 # ■be . 證明由于無窮積分 沁dx收斂，（當(dāng)

14、然，對于參變量y，它在b,dl 0 x 致收斂），函數(shù)g x,y二ey對每一個x ? 0, d 1單調(diào)，且對任何0乞y乞d , x _ 0， 都有 g(x, y)= e」y| <1， 故由阿貝爾判別法即得含參變量無窮積分 0 沁dx 在 0,d 1上 x 定理10 設(shè)對任意? ? a， f x, y dx均關(guān)于y在c點(diǎn)左（或右）連 a -bo -bo 續(xù)，但.f x,c dx發(fā)散，則對任意 0 ， f x, y dx關(guān)于 a a y在（c- ,c）（或（CQ ））y在c— ,c （或CQ ）內(nèi)非一致收斂. 推論 設(shè)存在 0 0，使f X, y 在、X, y :

15、 x — a, c -。：：： y乞c 或 -ba -bo c乞y ：：： c ? 0 匚上連續(xù)，但.f x,c dx發(fā)散，則對任意 ? 0， . f x, y dx a a 關(guān)于y在c - ,c 或c, c〕內(nèi)非一致收斂. E 證明 對任意 a，由已知及含參變量無窮積分的性質(zhì)，.fx, ydx都 關(guān)于y在c - 0 1或C,c ? 上連續(xù)，當(dāng)然在點(diǎn)左(或右)連續(xù)，再由已 -bo 知及定理10，對任意 ? 0 , f x,y dx關(guān)于y在c - , c 或c,c亠，-]]內(nèi) a 非一致收斂. 節(jié) COSX 例7試證：對任意H >0 dx關(guān)于G在(1,1)內(nèi)非一致收

16、斂. 1 xa cosxl f 、 證明由于一^在｛ (x,a):^1^ >1 ｝上連續(xù)，但 x 「叱dx發(fā)散，由本推論，易得 1 x 對任意 ? 0， 關(guān)于〉在1,1 內(nèi)非 10 # -be 定理11 】設(shè).f x, y dx關(guān)于y在b,d 1上收斂于「y，‘ y在b,d 1上 a 連續(xù)，又f x, y在,x, y : X_a,c_y—d ｛上連續(xù)，且恒有 f x, y\ ■■■〔或乞 0 -bo 成立，則f x, y dx關(guān)于y在區(qū)間b, d】上一致收斂于:y . a 1 s—1 -bo dx 試證 一J 關(guān)于S在1, ?：

17、：上一致收斂于 e xln x ■be d 證明顯然 -dx-關(guān)于S在1,=上收斂于丄， —在1,=內(nèi)連 e xln x s T s T 續(xù)，又」^在「x,y:x—e,sd上連續(xù)且恒正，由定理11得 xln x -be dx e xlns X 關(guān)于s在1,-:: 致收斂于 s -1 定理12設(shè)當(dāng)x _ a和y I時，恒有 f x,y < g x,y < h x, y -bo -bo 成立，且.f x, y dx與.h x,y dx均關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于:y，則 a a -bO g x,y dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于:y . a 證明對任意

18、a和y ? I，都有 匕 E 匕 f , y dx E g x,y dx E h x,y dx. a a a 因此,不難得出結(jié)論. 本定理與數(shù)列收斂的判別法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩 邊夾定理. 2.含參變量無窮積分一致收斂的性質(zhì) 和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)類似的，含參變量無窮積分也具有如下三條性質(zhì)定理，故 證明過程從略. 定理13 （連續(xù)性）若函數(shù)f x, y在區(qū)域D a乞x豈?：：，〉豈y乞連續(xù)， -bo 且無窮積分 f x,y dx在區(qū)間！一致收斂，則函數(shù)「y在區(qū)間.，「 a -bo -bo 連續(xù)，且 lim f x, y dx 二 lim f x, y dx .

19、 y— L ^^y。 13 定理14 （可微性）若函數(shù)f x, y與fy x,y在區(qū)域 -bo Da_x_ ?：：,：? _y_ :連續(xù)，且無窮積分 討二f x, y dx在區(qū)間匕：1收斂 a ■bo 且無窮積分 f x,y dx在區(qū)間！: J 一致收斂，則函數(shù)「y在區(qū)間、「1 a -bo 可導(dǎo)，且，. fy x,ydx，即 a d 二 f x, y dx f x,y dx. dy a a ：:y 簡稱積分號下可微分. 定理15 （可積性）若函數(shù)f x, y與在區(qū)域D a遼x知3,〉_ y — 連 -bo 續(xù)，且無窮積分f x,y dx在區(qū)間?J 一致收

20、斂，貝U函數(shù):y在區(qū)間 a P -bo P 可積，且.：y dy = dx f x, y dy，即 a a a P -ba -ba P dy . f X,y dx = dx f x,y dy. J. a a 用 定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算和 積分運(yùn)算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分順序可以交換 這三個定理在計(jì)算含參變量無窮積分上有極其廣泛的應(yīng)用 例9 說/ 皿2 計(jì)算 1 a 二 dx a 0 0 x 2 2 -x -ax 解法一 []設(shè) f X, a - ， fa x,a 尸 xe ，  因?yàn)?a 0

21、，有 .x2 . ax2 e -e 烏 +—x—“， .x2 .ax2 e — e 所以，函數(shù)f x, a二 在x,0可連續(xù)開拓。使f x, a與fa x,a在區(qū) x 域 D 0_x_ ?：：,0_a_ ?::連續(xù)，- a ? 0, _0 ； ：：： 1 與■■ 1，使 a 三八，：丨 無窮積分 ■be -( 0 a .x2 -ax2 e 「e x -bo )dx 二 xe^x dx 0 在L,」一致收斂. 事實(shí)上，—a， 2 _ax xe 2 < xe_x -be -be 已知 xe"dx收斂，則 xe’x dx在〔；,」一致收斂. 0 根

22、據(jù)定理14， -a?〔；,」,有 ::- 左 -ax2 I a (- e )dx 0 Qa x -ax ::丄 2a da i 從而 la In a C .令 a = 1， 2a 2 1 I 1 In 1 C = 0，因此，C = 0 , 2 1 于是，_a 0，有 I a =-I na. 2 2 2 、 -x ax 解法二糾由于e e - 已知11 =0，有 ■ 2 xe dt，所以  wh a _tx2 I a ] idx xe dt. 0 1 記 f x,t i=xe以，貝q ■be f x,t在0,亠「j ■ 1, a丨 或0,

23、亠—i ■ la,11 上連續(xù)，且 xe」x dx對一切 0 t?1,al或t a,11上一致收斂，所以 由定理15,得 Jtx2 2 dx a :: I ay idx xe" dt = Jdt xeJx 1 0 a t -Jtx 1 2 亠 a t 0]d：尹 當(dāng)定理15中y的取值范圍為無限區(qū)間 a, ?：：時，則有如下定理: 16 # 定理16設(shè)f x, y在a, ?：：上連續(xù)，若 -bo (i ) f x,y dx關(guān)于y在任何閉區(qū)間C,d】上一致收斂, a -bo f x,y dy關(guān)于x在任何閉區(qū)間a,b】上一致收斂,

24、 a (ii)積分 Jdx』f(x,yjdy 與 Jdy(|f(x,y 忖x (*) a c c a 中只有一個收斂, 則(* )式中另一個積分也收斂，且 -be -bo -be -bo dx f x,ydy = dy f x,y dx. a c c a 同定理15 一樣，滿足定理16中兩個條件的積分也可交換積分順序，其積 分值不變. 3.小結(jié) 本文全面的總結(jié)了含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法和性質(zhì)，并 對某些定理作出了應(yīng)用舉例，然而要熟練掌握以上定理，關(guān)鍵是理解它們各 自應(yīng)用的范圍及其相互聯(lián)系，以趨達(dá)到靈活應(yīng)用. 17 參考文獻(xiàn) [1] 賀自樹 .一致收斂教學(xué)的探討 [J]. 重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） .1998.15 [2] 劉玉璉 .數(shù)學(xué)分析講義 [M]. 北京:高等教育出版社 ,1992 [3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 . 數(shù)學(xué)分析第三版 [M]. 北京:高等教育出版社 ,2001 [4] 呂通慶 .一致連續(xù)與一致收斂 [M]. 北京 :人民教育出版社 ,1982 [5] 劉玉璉 .數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解 [M]. 北京 :高等教育出社 ,1994 ： 414 [6] 錢吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M]. 崇文書局 ,2003:643 18