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1、摘 要 無限長脈沖數(shù)字濾波器的設計方法只考慮了幅度特性，沒有考慮相位特性，所設的濾波器一般是某種確定的非線性相位特性。有限脈沖響應（FIR）濾波器在保證了幅度特性滿足技術要求的同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性。 本課題利用MATLAB軟件實現(xiàn)。MATLAB是“矩陣實驗室”（MATrix LABoratoy）的縮寫，是一種科學計算軟件，它使用方便，輸入簡捷，運算高效，內(nèi)容豐富，因此利用MATLAB軟件，通過一系列較為系統(tǒng)的函數(shù)法，根據(jù)已知的技術指標，就可以設計出滿足要求的濾波器。 關鍵詞：MATLAB；窗函數(shù)；FIR帶阻數(shù)字濾波器；線性相位

2、 目 錄 1課題描述 1 2 MATLAB簡介 2 3 窗函數(shù)設計法原理 2 3.1線性相位 5 3.2 基本窗函數(shù) 5 3.2.1 矩形窗函數(shù) 5 3.2.2 三角窗函數(shù) 6 3.2.3漢寧窗函數(shù) 7 3.2.4 哈明窗函數(shù) 7 3.2.5 布萊克曼窗函數(shù) 8 3.2.6 凱塞窗 8 4 方案設計與分析 10 4.1方案設計程序 10 4.2分析 12 5 總結與體會 14 6 參考文獻 1 課程設計說明書（論文） 1課題描述 現(xiàn)代圖像、語聲、數(shù)據(jù)通信對線性相位的

3、要求是普遍的。正是此原因，使得具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器得到大力發(fā)展和廣泛應用。 在實際進行數(shù)字信號處理時，往往需要把信號的觀察時間限制在一定的時間間隔內(nèi)，只需要選擇一段時間信號對其進行分析。這樣，取用有限個數(shù)據(jù)，即將信號數(shù)據(jù)截斷的過程，就等于將信號進行加窗函數(shù)操作。而這樣操作以后，常常會發(fā)生頻譜分量從其正常頻譜擴展開來的現(xiàn)象，即所謂的“頻譜泄漏”。當進行離散傅立葉變換時，時域中的截斷是必需的，因此泄漏效應也是離散傅立葉變換所固有的，必須進行抑制。而要對頻譜泄漏進行抑制，可以通過窗函數(shù)加權抑制DFT的等效濾波器的振幅特性的副瓣，或用窗函數(shù)加權使有限長度的輸入信號周期延拓后在邊界上盡量減少

4、不連續(xù)程度的方法實現(xiàn)。而在后面的FIR濾波器的設計中，為獲得有限長單位取樣響應，需要用窗函數(shù)截斷無限長單位取樣響應序列。另外，在功率譜估計中也要遇到窗函數(shù)加權問題。由此可見，窗函數(shù)加權技術在數(shù)字信號處理中的重要地位。 第 13 頁 共 15頁 2 MATLAB簡介 MATLAB是“矩陣實驗室”（MATrix LABoratoy）的縮寫，是一種科學計算軟件，主要適用于矩陣運算及控制和信息處理領域的分析設計，它使用方便，輸入簡捷，運算高效，內(nèi)容豐富，因此很多專家在自己擅長的領域用它編寫了許多專門的MATLAB工具包，由于MATLAB功能的不斷擴展，所以是科學研究中最常用必不可少的工具。

5、 MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數(shù)和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標準界面，人機交互性更強，操作更簡單。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯(lián)機查詢、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環(huán)境提供了比較完備的調試系統(tǒng)，程序不必經(jīng)過編譯就可以直接運行，而且能夠及時地報告出現(xiàn)的錯誤及進行出錯原因分析。 MATLAB一個高級的矩

6、陣/陣列語言，它包含控制語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結構、輸入和輸出和面向對象編程特點。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執(zhí)行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復雜的應用程序（M文件）后再一起運行。新版本的MATLAB語言是基于最為流行的C＋＋語言基礎上的，因此語法特征與C＋＋語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數(shù)學表達式的書寫格式。使之更利于非計算機專業(yè)的科技人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強，這也是MATLAB能夠深入到科學研究及工程計算各個領域的重要原因。 3 窗函數(shù)設計法原理 數(shù)字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法，將代表輸入信號的數(shù)字時間序列轉化為代表輸出信號的數(shù)字時間

7、序列，并在轉化過程中，使信號按預定的形式變化。數(shù)字濾波器有多種分類，根據(jù)數(shù)字濾波器沖激響應的時域特征，可將數(shù)字濾波器分為兩種，即無限長沖激響應（iir）濾波器和有限長沖激響應（fir）濾波器。iir數(shù)字濾波器具有無限寬的沖激響應，與模擬濾波器相匹配。所以iir濾波器的設計可以采取在模擬濾波器設計的基礎上進一步變換的方法。fir數(shù)字濾波器的單位脈沖響應是有限長序列。它的設計問題實質上是確定能滿足所要求的轉移序列或脈沖響應的常數(shù)問題，設計方法主要有窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法等。 因此設計FIR濾波器的方法之一可以從時域出發(fā)，截取有限長的一段沖擊響應作為H(z)的系數(shù)，沖擊響應長度N就

8、是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的階數(shù)。只要N足夠長，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。一般這種時域設計、頻域檢驗的方法要反復幾個回合才能成功。要設計一個線性相位的FIR數(shù)字濾波器，首先要求理想頻率響應。是w的周期函數(shù)，周期為，可以展開成傅氏級數(shù)： ＝ （3-1） 其中是與理想頻響對應的理想單位抽樣響應序列。但不能用來作為設計FIR DF用的h(n)，因為一般都是無限長、非因果的，物理上無法實現(xiàn)。為了設計出頻響類似于理想頻響的濾波器，可以考慮用h(n)來近似。 窗函數(shù)的基本思想：先選取一個理想濾波器（它的單位抽樣響應是非因果、無限長的），再截?。ɑ蚣哟埃?/p>

9、它的單位抽樣響應得到線性相位因果FIR濾波器。這種方法的重點是選擇一個合適的窗函數(shù)和理想濾波器。 設x(n)是一個長序列，w(n)是長度為N的窗函數(shù)，用w(n)截斷x(n)，得到N點序列xn(n)，即 xn(n) = x(n) w(n) （3-2） 在頻域上則有 （3-3） 由此可見，窗函數(shù)w(n)不僅僅會影響原信號x(n)在時域上的波形，而且也會影響到頻域內(nèi)的形狀。 MATLAB信號工具箱主要提供了以下幾種窗函數(shù)，如表下所示：

10、 表1 MATLAB窗函數(shù) 窗 窗 函 數(shù) 矩形窗 Boxcar 三角窗 Barlett 布萊克曼窗 Blackman 哈明窗 Hamming 漢寧窗 Hanning 凱塞窗 Kaiser 切比雪夫窗 Chebwin 加矩形窗后的頻譜和理想頻譜可得到以下結論： 加窗使過渡帶變寬，過渡帶的帶寬取決于窗譜的主瓣寬度。矩形窗情況下的過渡帶寬是。N越大，過渡帶越窄、越陡； 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰，肩峰的兩側形成起伏振蕩。肩峰幅度取決于窗譜主瓣和旁瓣面積之比。矩形窗情況下是8.95％，與N無關。工程上習慣用相對衰耗來描述濾波器，相對衰耗定義為

11、 （3-4） 這樣兩個肩峰點的相對衰耗分別是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）對應的點的值定義為阻帶最小衰耗。 以上的分析可見，濾波器的各種重要指標都是由窗函數(shù)決定，因此改進濾波器的關鍵在于改進窗函數(shù)。 窗函數(shù)譜的兩個最重要的指標是：主瓣寬度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定義為： 旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) （3-5） 為了改善濾波器的性能，需使窗函數(shù)譜滿足： 主瓣盡可能窄，以使設計出來的濾波器有較陡的過渡帶； 第一副瓣面積相對主瓣面積盡可能小，即能量盡可能集中

12、在主瓣，外泄少，使設計出來的濾波器的肩峰和余振小。 但上面兩個條件是相互矛盾的，實際應用中，折衷處理，兼顧各項指標。 3.1線性相位 一個單一頻率的正弦信號通過一個系統(tǒng)，假設它通過這個系統(tǒng)的時間需要t，則這個信號的輸出相位落后原來信號wt的相位。從這邊可以看出，一個正弦信號通過一個系統(tǒng)落后的相位等于它的w*t；反過來說，如果一個頻率為w的正弦信號通過系統(tǒng)后，它的相位落后delta，則該信號被延遲了delta/w的時間。在實際系統(tǒng)中，一個輸入信號可以分解為多個正弦信號的疊加，為了使得輸出信號不會產(chǎn)生相位失真，必須要求它所包含的這些正弦信號通過系統(tǒng)的時間是一樣的。因此每一個正弦信

13、號的相位分別落后，w1*t，w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于頻率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于頻率w。從系統(tǒng)的頻率響應來看，就是要求它的相頻特性是一條直線。在FIR濾波器的設計中，為了得到線性相位的性質，通常利用實偶對稱序列的相頻特性為常數(shù)0和實奇對稱序列為相頻特性為常數(shù)90度的特點。因此得到的是對稱序列，不是因果序列，是不可實現(xiàn)系統(tǒng)，為了稱為物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，需要將它向右移動半個周期，這就造成了相移特性隨時間的變化，同時也是線性變化。 單位脈沖響應h(n)（為實數(shù)）具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位特性。 數(shù)字濾波器中，IIR數(shù)字濾波器方便

14、簡單，但它相位的非線性，要求采用全通網(wǎng)絡進行相位校正，且穩(wěn)定性難以保障。FIR濾波器具有很好的線性相位特性，使得它越來越受到廣泛的重視。 3.2 基本窗函數(shù) 數(shù)字信號處理領域中所用到的基本窗函數(shù)主要有：矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)和漢寧窗函數(shù)，哈明窗函數(shù)布萊克窗函數(shù)，凱塞窗函數(shù)等。下面就對這些窗函數(shù)展開介紹。 3.2.1 矩形窗函數(shù) 矩形窗(Rectangular Window)函數(shù)的時域形式可以表示為： （3-2-1） 它的頻域特性為

15、 （3-2-2） Boxcar函數(shù)：生成矩形窗 調用方式w = boxcar (N)：輸入?yún)?shù)N是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。從功能上講，該函數(shù)又等價于w = ones(n,1)。 3.2.2 三角窗函數(shù) 三角窗是最簡單的頻譜函數(shù)為非負的一種窗函數(shù)。三角窗函數(shù)的時域形式可以表示為： 當n為奇數(shù)時 （3-2-3） 當n為偶數(shù)時

16、 （3-2-4） Bartlett函數(shù)：生成巴特利特窗 調用方式w = bartlett(n)： (1) 輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度； (2) 輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (3) 三角窗也是兩個矩形窗的卷積。 三角窗函數(shù)的首尾兩個數(shù)值通常是不為零的。當n是偶數(shù)時，三角窗的傅立葉變換總是非負數(shù)。 3.2.3漢寧窗函數(shù) 漢寧窗函數(shù)的時域形式可以表示為： （3-2-5） 它的頻域特性為： （3-2-

17、6） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍，為8π/N。 hanning函數(shù)：生成漢寧窗 調用方式 (1) w = hanning(n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 注意：此函數(shù)不返回是零點的窗函數(shù)的首尾兩個元素。 (2) w = hanning(n,symmetric)：與上面相類似。 (3) w = hanning(n,periodic)：此函數(shù)返回包括為零點的窗函數(shù)的首尾兩個元素。 3.2.4 哈明窗函數(shù) 海明窗函數(shù)的時域形式可以

18、表示為 （3-2-7） 它的頻域特性為 （3-2-8） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 海明窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度是一樣大的。 Hamming函數(shù)：生成海明窗 調用方式 (1) w = hamming(n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (2) w = hamming(n,sflag)：參數(shù)sflag用來控制窗函數(shù)首尾的兩個元素值；其取值為symmetric

19、或periodic；默認值為symmetric。 3.2.5 布萊克曼窗函數(shù) 布萊克曼窗函數(shù)的時域形式可以表示為 (3-2-9) 它的頻域特性為 （3-2-10） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 布萊克曼窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低57dB，但是主瓣寬度是矩形窗函數(shù)的主瓣寬度的3倍，為12π/N。 Blackman函數(shù)：生成海明窗 調用方式 (1) w = blackman (n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (2) w = blackman (n,sflag)：參數(shù)sflag

20、用來控制窗函數(shù)首尾的兩個元素值；其取值為symmetric或periodic；默認值為symmetric。 3.2.6 凱塞窗 上面所討論的幾種窗函數(shù)，在獲得旁瓣抑制的同時卻增加了主瓣的寬度。而凱塞窗定義了一組可調的窗函數(shù)，它是由零階貝塞爾函數(shù)構成的，其主瓣能量和旁瓣能量的比例是近乎最大的。而且，這種窗函數(shù)可以在主瓣寬度和旁瓣高度之間自由選擇它們的比重，使用戶的設計變得非常靈活。 凱塞窗函數(shù)的時域形式可表示為 (3-2-11) 其中，是第1類變形零階貝塞爾函數(shù)，是窗函數(shù)的形狀參數(shù)，由下式確定：

21、 （3-2-12） 其中，為凱塞窗函數(shù)的主瓣值和旁瓣值之間的差值(dB)。改變β的取值，可以對主瓣寬度和旁瓣衰減進行自由選擇。β的值越大，窗函數(shù)頻譜的旁瓣值就越小，而其主瓣寬度就越寬。 Kaiser函數(shù)：生成凱塞窗 調用方式w = kaiser(n,beta)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸入?yún)?shù)beta用于控制旁瓣的高度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。n一定時，beta越大，其頻譜的旁瓣就越小，但主瓣寬度相應的增加；當beta一定時，n發(fā)生變化，其旁瓣高度不會發(fā)生變化。 4 方案設計與分析 用窗函數(shù)法設計一個FIR帶阻濾波

22、器。指示如下： 下通帶截至頻率 ； 上通帶截止頻率 ； 阻帶下限頻率 ； 阻帶上限頻率 通帶最大衰減 阻帶最小衰減 = 4.1方案設計程序 6中窗函數(shù)的基本參數(shù)如下 窗函數(shù)類型 旁瓣峰值 /dB 過渡帶寬度 阻帶最小衰減 /dB 近似值 精確值 矩形窗 -13 4/N 1.8/N -12 三角窗 -25 8/N 6.1/N -25 漢寧窗 -31 8/N 6.2/N -44 哈明窗 -41 8/N 6.6/N -53 布萊克曼窗 -57

23、12/N 11/N -74 凱塞窗 -57 10/N -80 因為阻帶最小衰減=,所以選擇布萊克曼窗或凱塞窗都可以設計，先以布萊克窗進行設計。程序步驟如下： wlp=0.2*pi; wls=0.35*pi; wus=0.65*pi; wup=0.8*pi; wc=[(wlp+wls)/2/pi,(wus+wup)/2/pi]; B=wls-wlp; N=ceil(12*pi/B)-1;

24、 n=0:N-1; window=kaiser(N); [h1,w]=freqz(window,1) subplot(2,2,1) stem(window,.); xlabel(n); title( kaiser窗函數(shù)); subplot(2,2,2) plot(w/pi,20*log(abs(h

25、1)/abs(h1(1)))); grid; xlabel(w/pi); ylabel(幅度(dB)); title( kaiser窗函數(shù)的頻譜); hn = fir1(N-1,wc,stop); [h2,w]=freqz(hn,1,512); subplot(2,2,3) stem(n,

26、hn,.); xlabel(n); ylabel(h(n)); title( kaiser窗函數(shù)的單位脈沖響應); subplot(2,2,4) plot(w/pi,20*log(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel(w/pi); ylabel(幅度

27、(dB)); title( kaiser帶阻濾波器的幅度特性); 運行圖形如下： 4.2分析 由kaiser窗函數(shù)程序可知，N-1=80,所以N=81，通過圖形“kaiser帶阻濾波器的幅度特性”可知通帶內(nèi)最大衰減約為0，小于1。滿足指標要求。當用凱賽窗時，只需在程序中調用函數(shù)blackman(N)即可。其圖形如下： 由兩圖可得，兩種設計都符合要求，但要綜合過渡帶寬度，選擇凱塞窗其寬度最小。 5 總結與體會 設計帶通濾波器時首先要計算出過渡帶，然后查表得到不同窗

28、函數(shù)所需要的階數(shù)，不同的窗函數(shù)所設計的濾波器的形狀各有差異，尤其在主瓣寬度、旁瓣的形狀以及主瓣與旁瓣的高度差上有比較明顯得差別，實際應用中應根據(jù)實際情況，折衷處理，兼顧各項指標。 為了這次課程設計，自己自學了數(shù)字信號處理領域中窗函數(shù)的有關知識。實際中遇到的離散時間信號總是有限長的，因此不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截斷問題。而在信號處理中，對離散序列的數(shù)據(jù)截斷是通過序列與窗函數(shù)相乘來實現(xiàn)的。而且，有關濾波器的設計、功率譜估計等基本概念也要用到窗函數(shù)。本次課程設計對經(jīng)常用到的下面6窗函數(shù)：矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)、漢寧窗函數(shù)、哈明窗函函數(shù)、布萊克曼窗函數(shù)、凱塞窗函窗，先是做了基本概念上的闡釋，然后對其MA

29、TLAB實現(xiàn)函數(shù)做出了說明，最后又結合具體的實例，對這些窗函數(shù)的頻域特性等進行了介紹。 通過這次學習，我不但掌握了FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)的基本知識及其實際應用的技巧了，還提高了自己的編程和寫報告的能力，收獲頗多。 6 參考文獻 [1]《數(shù)字信號處理》（第三版），丁玉美，高西全.西安電子科技大學出版社，2000. [2]《MATLAB及在電子信息課程中的應用》，陳懷堔，吳大正，高西全.電子工業(yè)出版社，2006. [3]《MATLAB 7.0從入門到精通》，求是科技.人民郵電出版社，2006. [4]《數(shù)字信號處理（第三版）》學習指導，高西全，丁玉美.西安科技大學出版社，2001.