《巴特沃斯濾波器設計》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《巴特沃斯濾波器設計（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、鞍山科技大學電信學院電子教研室 第五章IIR數(shù)字濾波器設計電子教案 二、巴特沃斯（Butterworth）低通濾波器的設計 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為 （5-8） 其中C為一常數(shù)參數(shù)，N為濾波器階數(shù)，為歸一化低通截止頻率, 。 式中N為整數(shù)，是濾波器的階次。 N=4 N=10 N=2 1 0.707 圖5-5 巴特沃斯低通濾波器的振幅特性 巴特沃斯低通濾波器在通帶內(nèi)具有最大平坦

2、的振幅特性，這就是說，N階低通濾波器在處幅度平方函數(shù)的前2N-1階導數(shù)等于零，在阻帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的。巴特沃斯低通濾波器的振幅特性如圖5-5所示。 濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。當N增加時，濾波器的特性曲線變得更陡峭，這時雖然由（5-8）式?jīng)Q定了在處的幅度函數(shù)總是衰減3dB，但是它們將在通帶的更大范圍內(nèi)接近于1，在阻帶內(nèi)更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形頻率特性。濾波器的振幅特性對參數(shù)N的依賴關系如圖5-5所示。 設歸一化巴特沃斯低通濾波器的歸一化頻率為，歸一化傳遞函數(shù)為，其中，則由（5-6）式和（5-8）式得： 由于 1 圖5-6 巴特沃斯低通濾波器指標

3、 （5-9） 所以巴特沃斯濾波器屬于全極點濾波器。 1、常用設計巴特沃斯低通濾波器指標 ：通帶截止頻率； ：通帶衰減，單位：dB； ：阻帶起始頻率； ：阻帶衰減，單位：dB。 說明： （1）衰減在這里以分貝（dB）為單位；即 （2）當時為通常意義上的截止頻率。 （3）在濾波器設計中常選用歸一化的頻率，即 2、巴特沃斯低通濾波器設計實質(zhì) 根據(jù)設計指標要求，，，確定歸一化巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)中的待定系數(shù)C及濾波器的階數(shù)N；然后再根據(jù)幅度平方函數(shù)確定巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)。 （1

4、）將實際頻率歸一化得，，再根據(jù)已知的，，幅度平方函數(shù) 確定C和N。 （2） 求C和N 由并帶入 ，，，得 即 因為，所以 由兩邊取對數(shù)得： 其中 這樣可以求出C和N。 注意：當時，，即C=1，此時巴特沃斯濾波器只剩下一個參數(shù)N。 （3）確定巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)H(p)。 由于 由，解得極點為： 將p左半平面的極點賦予即 其中 為了便于設計，工程上已將當時，各階巴特沃斯低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)設計成表格供查閱，該表如表5-1所示。在表5-1中的函數(shù)被稱為歸一化巴特沃斯原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 表5-1 歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器系統(tǒng)函

5、數(shù)表 階次 歸一化系統(tǒng)函數(shù) 1 2 3 4 5 （4）去掉歸一化影響 上面設計中采用歸一化的頻率即，而實際中截止頻率為，所以要進行如下的變量代換： 即 綜上，歸納出設計巴特沃斯低通濾波器的方法如下： （1）計算歸一化頻率，。 （2） 根據(jù)設計要求按照和其中計算巴特沃斯濾波器的參數(shù)C和階次N；注意當時 C=1。 （3）利用N查表獲得歸一化巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)； （4）令中的得到截止頻率為的巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 例5-2 已知濾波器的3dB截止頻率為50H

6、z，試求一個二階巴特沃斯低通濾波器的實現(xiàn)方案。 解： 根據(jù)題義，濾波器設計指標為：截止頻率；階數(shù)N=2；查表得歸一化低通巴特沃斯原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： rad/s，代入得： 例5-3 試設計一個巴特沃斯低通濾波器，要求截止頻率，通帶最大衰減，阻帶起始頻率，阻帶最小衰減。 解：已知，，， （1）計算歸一化頻率，。 （2）計算出巴特沃斯濾波器的階次N及C 則 選擇N=5。 （3）利用N查表獲得歸一化巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)； （4）去掉歸一化影響 三、切比雪夫（Chebyshev）濾波器設計 0 N為奇數(shù) (a) 1 0 N為偶數(shù)

7、 (b) 1 圖5-7 切比雪夫I型濾波器的振幅特性 （a）N=3，2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 （b）N=4，2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 0 N為奇數(shù) (a) 1 0 N為偶數(shù) (b) 1 圖5-8 切比雪夫II型濾波器的振幅特性 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內(nèi)還是阻帶內(nèi)都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此，當通帶的邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有裕量。所以，更有效的設計方法應該是將精確度均勻的分布在整個通帶或阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)。這樣就可用較低階數(shù)的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。 切比雪夫濾波器的振幅特性就

8、具有這種等波紋特性。它有兩種類型：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的稱為切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖5-7和圖5-8分別畫出了N為奇數(shù)、偶數(shù)時的切比雪夫I、II型濾波器的頻率特性。 1、切比雪夫I型濾波器的基本特點 現(xiàn)在介紹切比雪夫I型濾波器的設計，切比雪夫歸一化濾波器的幅度平方函數(shù)為 （5-11） 為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)振幅波動的程度。越大，波動也越大。為對截止頻率的歸一化頻率，為截止頻率，也是濾波器的通帶帶寬（注：切比雪

9、夫濾波器的通帶帶寬并不一定是3dB帶寬）。是N階切比雪夫多項式，定義為 （5-12） 表5-2 切比雪夫多項式展開式 其中為反余弦函數(shù)；為雙曲余弦函數(shù)；為反雙曲余弦函數(shù)；它們的定義如（5-13）式和（5-14）式所示 N 0 1 x 2 3 4 （5-13） （5-14） （5-12）式可展開為多項式的形式如表5-2所示： 由表5-2可歸納出各階切比雪夫多項式的遞推公式為 （5-15） 圖5-9示出了N=0，4，5時切比雪夫多項式的特

10、性。由圖5-9可見： 1. 切比雪夫多項式的零值在的間隔內(nèi)。 1 -1 1 x 圖5-9 切比雪夫多項式曲線 2. 當x<1時，，且具有等波紋幅度特性。 3. 在的區(qū)間外，是雙曲余弦函數(shù)，隨著x而單調(diào)增加。 再看函數(shù)，是小于1的實數(shù)，的值在之內(nèi)，將在0至之間改變。而的函數(shù)值在之內(nèi)，將在1至之間改變。然后將取倒數(shù)，即可得（5-11）式的切比雪夫I型濾波器幅度平方函數(shù)。 根據(jù)以上所述，在，在接近1處振蕩，其最大值為1，最小值為。在此范圍之外，隨著增大，，則很快接近于零。圖5-7畫出了切比雪夫I型濾波器振幅特性曲線，從中可以看出：振幅特性的起伏為1～，因，所以在時，，即切比雪夫I

11、型濾波器的截止頻率并不對應3dB的衰減。 2、切比雪夫I型濾波器設計方法 由（5-11）式可知，要確定切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)，需要確定三個參數(shù)：及N。下面研究如何確定這三個參數(shù)，具體步驟如下： (1) 將實際頻率歸一化得 ， 再根據(jù)已知的，，幅度平方函數(shù) 確定和N。 (2)確定和N。 定義通帶波紋(即通帶衰減)（以分貝為單位）為： 代入 ，，，得 即 因為，，所以 則 其中 這樣可以求出和N，其中。 在已知、、的情況

12、下，就可以根據(jù)幅度平方函數(shù)求出濾波器的零點和極點，從而確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 表5-3 歸一化切比雪夫原型濾波器分母多項式設計系數(shù) n 波紋（） 1 2.8627752 2 1.5162026 1.4256245 3 0.7156938 1.5348954 1.2529130 4 0.3790506 1.0254553 1.7168662 1.1973856 5 0.17892340 0.7525181 1.3095747 1.9373675 1.1724909 波紋（）

13、1 1.9652267 2 1.1025103 1.0977343 3 0.4913067 1.2384092 0.9883412 4 0.2756276 0.7426194 1.4539248 0.9528114 5 0.1228267 0.5805342 0.9743961 1.6888160 0.9368201 波紋（） 1 1.3075603 2 0.6367681 0.8038164 3 0.3268901 1.0221903 0.7378216 4

14、 0.2057651 0.5167981 1.2564819 0.7162150 5 0.0817225 0.4593491 0.6934770 1.4995433 0.7064606 為了設計方便，工程上已將截止頻率的切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設計為表格供設計時查閱。歸一化原型切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如（5-18）式所示，設計表格如表5-3所示。 （5-18） 再次強調(diào)，表5-3是歸一化的結果，對于具體的，其系統(tǒng)函數(shù)可由（5-19）式得到。 （5-19） 綜上所述，設計切比

15、雪夫低通濾波器的基本步驟如下： （1）計算歸一化頻率，。 （2）根據(jù)通帶波紋（通帶衰減）db，按照式計算； （3）根據(jù)阻帶起始頻率，阻帶衰減和。按照其中式計算濾波器的階數(shù)N； （4）根據(jù)濾波器階數(shù)N，查表得歸一化原型切比雪夫濾波器系統(tǒng)函數(shù)；根據(jù)的低頻特性求出待定系數(shù)，注：當N為偶數(shù)時，；當N為奇數(shù)時，。 （5）去掉歸一化影響 根據(jù)截止頻率，按照式計算切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)； 例5-4 已知通帶波紋為1db，截止頻率，阻帶截止頻率，阻帶衰減大于15db，試設計滿足上述性能指標的切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。 解：已知，，， （1）計算歸一化頻率，。 （2）計算。 （3）計

16、算濾波器的階數(shù)N； 選定 N=3。 （4）根據(jù)濾波器階數(shù)N，查表得歸一化原型切比雪夫濾波器系統(tǒng)函數(shù)； 因為當N為奇數(shù)時， 即 所以 （5）去掉歸一化影響 5.3其它各型濾波器設計 一、 模擬高通濾波器設計 由于濾波器的幅頻特性都是偶函數(shù)，所以模擬低通濾波器和模擬高通濾波器的幅頻特性如圖5-10（a）和（b）所示。 1 1 圖（a） 模擬低通濾波器的幅頻特性 圖（b） 模擬高通濾波器的幅頻特性 圖5-10 模擬高通濾波器設計 其中：和分別是模擬低通濾波器和高通濾波器的歸一化頻率； 表5

17、-4 和間的關系 觀察圖5-10（a）和（b）可知模擬低通濾波器和高通濾波器的歸一化頻率存在如下關系如表5-4所示。從而有： 0 （5-20） 通過式5-20可將高通濾波器的歸一化頻率轉化為低通濾波器的歸一化頻率，同時通帶和阻帶衰減和保持不變。 若令高通濾波器和低通濾波器的傳遞函數(shù)分別為和，其中，則 即 由于是偶函數(shù)所以 上式即為將模擬低通濾波器變換為高通濾波器的變換關系。 在經(jīng)過去歸一化得 （5-21） 這樣即得到模擬高通濾波器

18、的傳遞函數(shù)。 由模擬低通濾波器變換為高通濾波器的方法歸納如下： 1、將頻率歸一化； 2、將高通濾波器的指標映射為低通濾波器的指標； 3、根據(jù)低通濾波器的指標設計低通濾波器； 4、根據(jù)求高通濾波器的傳遞函數(shù)。 例5-5 設計一高通模擬濾波器，要求，，，，用巴特沃斯濾波器設計。 解 1、 先將頻率歸一化，得， 2、 利用作頻率轉化將高通濾波器的指標映射為低通濾波器的指標，得 ， 由已知知 ， 3、 根據(jù)上述低通濾波器的指標設計低通巴特沃斯濾波器，得 C=1，N=5，查表可得歸一化轉移函數(shù)為 4、 根據(jù)求高通濾波器的傳遞函

19、數(shù)，其中帶入上式得 二、帶通濾波器設計 模擬帶通濾波器的四個頻率參數(shù)分別是，，，。其中，分別是通帶下限和上限截止頻率。，分別是阻帶的下限、上限頻率，下面進行歸一化處理。 定義通帶帶寬，并以該頻率為參考頻率對軸作歸一化處理，即 ，，， 再定義阻帶中心頻率，歸一化為：。 歸一化頻率的帶通濾波器幅頻特性如圖5-11（b）所示，低通濾波器的幅頻特性如圖5-11（b）所示。 (a) 低通濾波器的幅頻特性 （b）帶通濾波器的幅頻特性 圖5.2.2 帶通濾波器的幅頻特性 表5-5 和間的關系 表5-5給出了和間的關系 0 0

20、 由上圖可知： 1、 由于在軸上有即，也就是說在軸上關于的對稱點為；則在之間的任意一點關于的對稱點應為； 2、在之間的任意一點映射為軸上的對應點在之間的，映射為，于是得到和間的對應關系為： 由于，，所以有 參見表(5-22) 從而實現(xiàn)帶通濾波器與低通濾波器講的頻率變換。我們利用低通濾波器的指標，，，，可以設計出低通濾波器的傳遞函數(shù)。并設帶通濾波器的傳遞函數(shù)為，其中，，則 即 去掉歸一化影響得 所以 這樣，

21、所求的帶通濾波器的傳遞函數(shù)就可以求出。注意，N階低通濾波器轉換到帶通后，階次變?yōu)?N。 現(xiàn)歸納模擬帶通濾波器設計方法如下： 1、將頻率歸一化； 2、將帶通濾波器的指標映射為低通濾波器的指標； 3、根據(jù)低通濾波器的指標設計低通濾波器； 4、根據(jù)求帶通濾波器的傳遞函數(shù)。 例5-6 設計一切比雪夫帶通濾波器，要求帶寬為200HZ，中心頻率為1000HZ，通帶衰減不大于1dB，在頻率小于830 HZ或大于1200 Hz衰減不小于15 dB。 解 由題意可知，，，，，。 1、將頻率歸一化，有，，，有和，可求出，。 2、利用求低通濾波器的指標，參見圖7.2.2的對應關系，得

22、 ， ， 注意： （1）可以直接給出不需要計算，這是由變換方法本社決定的。 （2）在一般情況下，和會稍有些不同，我們可以取的絕對值較小者，即，至此我們得到了設計低通濾波器的全部指標，即，，，。 3、根據(jù)上述指標設計切比雪夫低通濾波器，得 注意： 取。根據(jù)N及查表得歸一化切比雪夫低通濾波器為 因為當N為奇數(shù)時即 所以 即 4、求帶通傳遞函數(shù) 5.3 從模擬濾波器設計數(shù)字濾波器的方法 從模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器

23、就是要由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進一步求得。歸根結底是一個由s平面到z平面的變換。這個變換應遵循兩個基本的目標。 (1) H(z)的頻響必須要模仿的頻響，也即s平面的虛軸jΩ應該映射到z平面的單位圓上。 (2) 的因果穩(wěn)定性，通過映射后仍應在所得到的H(z)中保持，也即s平面的左半平面應該映射到z平面單位圓以內(nèi)。 從模擬濾波器映射(變換)成數(shù)字濾波器有四種方法：(1)微分-差分變換法；(2)脈沖響應不變變換法；(3)雙線性變換法；(4)匹配z變換法。由于(1)，(4)兩種方法都有一定的局限性，工程上常用的是脈沖響應不變變換法和雙線性變換法兩種。 圖5-10 脈沖響應

24、不變法示意圖 一、脈沖響應不變變換法 1. 變換原理 脈沖響應不變變換法又稱為標準z變換法。它是保證從模擬濾波器變換所得的數(shù)字濾波器的單位取樣響應h(n)是相應的模擬濾波器的單位脈沖響應的等間隔取樣值，即 (5-20) 如圖5-10所示，這T為取樣周期。 的拉氏變換為 h(nT)的z變換即為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 z變換和拉氏變換之間的關系可知 （5-21） 即時域的取樣，使連續(xù)時間信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸周期延拓，然后再經(jīng)過的映射關系，將映射到z平面上，即得H(z)。 第二章討論的映射關

25、系表明:s平面上每一寬為的條帶，都將重疊地映射到整個z平面上。而每一條帶的左半部分映射在z平面單位圓以內(nèi)，條帶的右半部分映射到單位圓外。s平面的虛軸映射到單位圓上，但是軸上的每一段的虛軸，都對應于繞單位圓一周。所以按照脈沖響應不變變換法，從s平面到z平面的映射不是單值關系，千萬不可錯誤地認為經(jīng)過的簡單代數(shù)變換即可由得到 H(z)。這里除了這一變換之外，還同時含有將以為周期對作周期圖5-11 脈沖響應不變法s平面與z平面關系 延拓的過程。脈沖響應不變變換法s平面與z平面的映射關系如圖5-11所示。 由(5-21)式可得數(shù)字濾波器與模擬濾波器頻率響應之間關系為 即數(shù)字濾波器的頻率響應是模

26、擬濾波器頻率響應的周期延拓。如果模擬濾波器的頻響是限帶于折疊頻率之內(nèi)的，即 圖5-12 脈沖響應不變法中的頻率混疊現(xiàn)象 這時才使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)，重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應而不產(chǎn)生混疊失真。 但是任何實際的模擬濾波器，都不是帶寬絕對有限的，因此，通過脈沖響應不變變換法所得的數(shù)字濾波器就不可避免地要出現(xiàn)頻譜的混疊失真，如圖5-12所示。只有當模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減很大，混疊失真很小時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能滿足精度的要求。 應該注意，在設計中，當濾波器的指標用數(shù)字域頻率給定時，不能用減小T的辦法解決混疊問題。如設計一截止頻率為的低通濾

27、波器，則要求相應模擬濾波器的截止頻率為，T減小時，只有讓同倍數(shù)的增大，才能保證給定的不變。T減小使帶域加寬了，但也同倍數(shù)加寬，所以如果在帶域外有非零的值，即，則不論如何減小T，由于與T成同樣倍數(shù)變化，總還是，不能解決混疊問題； 2. 模擬濾波器的數(shù)字化 在脈沖響應不變變換法設計中，由一個較為復雜的模擬系統(tǒng)函數(shù)(或脈沖響應)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)(或單位取樣響應)是一個很麻煩的變換過程。因為乘積的z變換并不等于各部分變換的乘積，所以在這里不宜采用級聯(lián)分解。但各項和的z變換是線性關系，因而用部分分式表達系統(tǒng)函數(shù)，特別適合于對復雜模擬系統(tǒng)函數(shù)的變換?，F(xiàn)實的系統(tǒng)通常是分母的階數(shù)N高于分子的階數(shù)M，

28、這時系統(tǒng)若只有單極點(若不是單極點情況，則求逆拉氏變換要復雜一些)，則可將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表達為如下的部分分式形式 (5-22) 相應的單位脈沖響應是 式中是單位階躍響應。根據(jù)脈沖響應不變變換法的意義，數(shù)字濾波器的單位取樣響應是 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)則為 (5-23) 將上式與(5-22)式相比可見，由至間的變換關系為 （5-24） (5-24)式說明： (1)與H(z)的各部分分式的系數(shù)是相同的均為； (2

29、)極點是以的關系進行映射的。的極點變成了H(z)的的極點； (3)與H(z)間的零點沒有一一對應的關系，一般說來，它是由極點和各系數(shù)決定的一個函數(shù)關系。 3. 脈沖響應不變法的修正 由（5-21）時可知：時域取樣后的頻譜幅值是原來信號頻譜特性幅值的1/T倍，頻率將以為周期進行延拓。由于取樣時間一般很小，會造成1/T較大，即取樣后的信號頻譜幅值過大，為了修正這一問題，雷道和戈爾德提出在進行時域取樣時取，這樣(5-23)式修正為 （5-24） 根據(jù)以上分析可知，脈沖響應不變變換法的設計步驟可以不必再經(jīng)歷的過

30、程，而是直接將寫成許多單極點的部分分式之和的形式，然后將各個部分分式用(5-24)式的關系進行替代，即可得所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 脈沖響應不變法設計步驟 1、按照給定的數(shù)字濾波器的設計指標，利用模擬濾波器設計技術設計原型模擬濾波器，得。（如果是非低通濾波器則需進行變換） 2、把分解成部分分式求和形式，其中：是系統(tǒng)極點。（求出極點和系數(shù) ） 3、用變換式：對進行變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 例5-7 已知模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試使用脈沖響應不變法將上述傳遞函數(shù)轉變?yōu)閿?shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 解； 1、將化成部分因式和的形式： 2、系統(tǒng)的極點為： ，

31、 3、根據(jù)（5-24）式可知脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 例5-8已知數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz。要求所設計的低通數(shù)字濾波器的3dB截止頻率為50Hz。試采用脈沖響應不變法設計一個二階數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。 解： 1、 根據(jù)題義，數(shù)字濾波器設計指標為：截止頻率50Hz；階數(shù)N=2；采樣頻率500Hz。選擇濾波器逼近函數(shù)為Butterworth二階函數(shù)； 查表得： ，代入得： 2、求系統(tǒng)的極點：，將 部分分式展開得： 3、，得和代入變換式，進行變換得： 4、整理成標準形式得： 4. 脈沖

32、響應不變法的優(yōu)缺點 脈沖響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變化是線性的，即。因此，如果模擬濾波器的頻響是限帶于折疊頻率以內(nèi)的話，則通過變化后所得的數(shù)字濾波器的頻響可以不失真的反映原頻率響應的關系 脈沖響應不變法最大缺點是有頻譜周期延拓效應，因此只能用于限帶的頻響特性，如衰減特性較好的低通或帶通濾波器的設計。對于高通、帶通濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，當一定要追求頻率響應線性而采用脈沖響應不變法時，必須先對模擬高通、帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再轉變?yōu)閿?shù)字濾波器以避免混疊失真。 二、雙線性變換法 1. 變換原理 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與

33、模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法。為了克服脈沖響應不變法的多值映射這一缺點，我們首先把整個s平面壓縮變換到某一中介的平面的一橫帶里（寬度為，即從到），然后再通過上面討論過的標準變換關系將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面與z平面是一一對應的關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，基本原理如圖5-13所示。 將s平面整個平面壓縮到平面的到，可采用以下的變換關系 （5-25） 圖5-13 雙線性變換法的映射關系 其中C為常數(shù)；這樣經(jīng)（5-25）式變?yōu)椋優(yōu)?，可將上式寫? 令，則可得

34、 （5-26） 再將平面通過以下標準變化關系映射到z平面 （5-27） 這樣（5-26）式可表示為 （5-28） （5-29） 2. 變換常數(shù)C的選擇 為了使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應關系，即在低頻處有，當較小時有 由（5-25）式可知 因而得 （5-30） 則（5-28）和（5-29）式可重新寫成：

35、 （5-31） 即 （5-32） 3. 逼近情況 雙線性變換具備模擬域到數(shù)字域映射變換的總要求，現(xiàn)分析如下： （1）將代入到(5-32)式則得 或 （5-34） 由上式可見，當時，；當時，；當時，。這就是說雙線性變換把s左半平面映射在單位圓的內(nèi)部；把s平面的整個軸映射成單位圓，把s右半平面映射在單位圓的外部。 (2)令，，則由(5-32)式得 圖5-14 雙

36、線性變換的頻率間非線性關系 所以 由此得出模擬濾波器的頻率和數(shù)字濾波器頻率的關系式為 (5-35) 這一公式的關系如圖5-14所示。可以看出，當時，，當時，,當時，。這就是說：s平面的原點映射為z平面(1，0)點，而s平面的正虛軸和負虛軸分別映射成z平面單位圓的上半圓和下半圓。 由上所述，可得如下結論： a．模擬濾波器中最大和最小值將保留在數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器的通帶或阻帶。 b．如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。

37、 c．由于s平面的整個虛軸映射為z平面上的單位圓，因此雙線性變換法確實消除了脈沖響應不變變換法所存在的混疊誤差，所以逼近是良好的。但由(5-35)式可見，在頻率與間存在嚴重的非線性。 4. 模擬濾波器的數(shù)字化 由于雙線性變換法中，s與z之間有簡單的代數(shù)關系，故可由模擬系統(tǒng)函數(shù)通過代數(shù)置換直接得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。即 (5-36) 可見數(shù)字濾波器的極點數(shù)等于模擬濾波器的極點數(shù)。 頻率響應也可用直接置換得到 (5-37) 這一公式可用于將濾波器的數(shù)字域指標，轉換為模擬域指標。 再者

38、，可在未進行雙線性變換前把原模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)或級聯(lián)子系統(tǒng)函數(shù)，然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別加以雙線性變換。就是說，所有的分解，都可以就模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)來進行，因為模擬濾波器已有大量圖表可供利用，且分解模擬系統(tǒng)函數(shù)比較容易。 5. 優(yōu)缺點 圖5-15 理想微分器經(jīng)雙線性變換后的幅頻響應產(chǎn)生畸變 雙線性變換法的主要優(yōu)點是消除了脈沖響應不變變換法所固有的混疊誤差。這是由于s平面的整個軸單值地對應于z平面單位圓一周的緣故。數(shù)字域頻率與模擬域頻率關系已在(5-35)式中示出，并已畫于圖5-14上。由圖可見，在零頻附近，模擬頻率與數(shù)字頻率的關系接近于線性。T值愈小，即取樣頻率愈

39、高，則成線性關系的頻率范圍愈大。當進一步增大時，增長變慢，二者不再是線性關系了。最后當時，終止在折疊頻率處，從而雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混疊到低頻部分去的現(xiàn)象。這意味著，模擬濾波器全部頻率響應特性被壓縮于等效的數(shù)字頻率范圍之內(nèi)。由圖5-14還可以看出，雙線性變換消除混疊的這個特點是靠頻率的嚴重非線性而得到的。 雙線性變換法的缺點是頻率與間的非線性。這種非線性關系要求被變換的連續(xù)時間系統(tǒng)的幅度響應必須是分段常數(shù)型的(某一段頻率范圍幅度響應近似于某一常數(shù))，不然所映射出的數(shù)字頻率響應相對于原來的模擬頻率響應會產(chǎn)生變形。例如，雙線性變換不能將模擬微分器變換成數(shù)字微分器如圖5-1

40、5所示，但是對于低通、高通、帶通、帶阻模擬濾波器，頻率響應都是分段常數(shù)型的，可采用雙線性變換，只要截止頻率點映射正確，即可消除變換中所帶來的頻率間的非線性畸變。實際解決雙線性變換中的頻率非線性關系的方法有兩種。 （1）在低頻段，模擬與數(shù)字兩濾波器的頻率關系處于近似的線性范圍之內(nèi)，故可忽略非線性影響。 （2）采用補償?shù)霓k法，也可稱為預畸的方法 預畸設計法如圖5-16所示。設所希望的數(shù)字濾波器的四個截止頻率為、、、。利用(5-35)式的頻率變換關系，求出對應的四個模擬截止頻率為，，，，而模擬濾波器就按此畸變了的截止頻率組進行設計。對這個模擬濾波器作雙線性變換，便可得到具有要求的截止頻

41、率、、、的數(shù)字濾波器。 預畸變特征 圖5-16 雙線性變換時頻率的預畸變 模擬與數(shù)字兩域頻率間的非線性關系還會造成變換后濾波器的相位特性失真。對線性相位特性的模擬濾波器進行雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器就不再保持線性相位特性了。 例5-9 已知某模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，使用雙線性變換法將上述傳遞函數(shù)轉換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)，采樣周期T=0.5s 。 解： 例5-10 用雙線性變換法設計一個二階巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=1.2kHz，截止頻率為fC=400Hz。 解： 1. 求數(shù)字頻率 2. 預畸變 3. 查表得歸一化巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 令得 4. 雙變換后為：