《高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)數(shù)學(xué)物理方法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)數(shù)學(xué)物理方法（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(1） 1.計(jì)算 3.設(shè)試用三角形式表示及。 解: １1.設(shè)三點(diǎn)適合條件及試證明是一個(gè)內(nèi)接于單位圓的正三角形的頂點(diǎn)。 證明: 所組成的三角形為正三角形。 為以為圓心,１為半徑的圓上的三點(diǎn)。 即是內(nèi)接于單位圓的正三角形。 .　 17.證明:三角形內(nèi)角和等于。 證明:有復(fù)數(shù)的性質(zhì)得: Z3 y o Z1 Z2 x 　 　 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(２） 7.試解方程。 解:由題意,所以有; ;所以； ;;;. 1２．下列關(guān)系表示的ｚ點(diǎn)的軌跡的圖形是什么？它是不

2、是區(qū)域? 解:此圖形表示一條直線，它不是區(qū)域。 解:即此圖形為的區(qū)域。 解：此圖形為的區(qū)域。 解:此圖形表示區(qū)間輻角在的部分。 解：表示半徑為1的圓的外上半部分及邊界，它是區(qū)域。 解：它表示虛部大于小于等于的一個(gè)帶形區(qū)域。 解:此圖形表示兩圓的外部。 解：，，它表示兩相切圓半徑為的外部區(qū)域。 解:此圖形表示半徑為2的圓的內(nèi)部,且的部分，它是區(qū)域。 ） 解：此圖象表示半徑為2的圓的內(nèi)部且輻角主值在的部分,它是區(qū)域。 第二章 解析函數(shù)（1） 4.若函數(shù)在區(qū)域D上解析,并滿足下列的條件,證明必為常數(shù). 證明：因?yàn)樵趨^(qū)域上解析,所以。

3、 令,即。 由復(fù)數(shù)相等的定義得:,。 所以,（常數(shù)) ,(常數(shù))，即為常數(shù)。 5 .證明函數(shù)在平面上解析，并求出其導(dǎo)數(shù)。 （1） 證明：設(shè)＝ 則, ； ；　 滿足。 即函數(shù)在平面上可微且滿足條件，故函數(shù)在平面上解析。 8.由已知條件求解析函數(shù)， ，。 解：，　。 所以即是平面上調(diào)和函數(shù)。由于函數(shù)解析，根據(jù)條件得,于是，,其中是x的待定函數(shù)，再由C—R條件的另一個(gè)方程得＝， 所以,即。于是 又因?yàn)?所以當(dāng),時(shí)，得 所以。 第二章 解析函數(shù)（2） 12．設(shè)是的解析函數(shù),證明， 。 證明:是z上的解析函數(shù),所以,在上處處可微,即，, 所以,,所以

4、， 同理,，所以， 即得所證。 14.若,試證：(1）。 證： = = １8．解方程。 解：， 即，設(shè) ，得,即。 20.試求及。 解： , 22,求證 證： (x,y，均為實(shí)數(shù)),所以 當(dāng)則極限趨近于z軸,有 當(dāng)時(shí)，則極限趨于ｚ軸，有, 故。 第三章 柯西定理 柯西積分（１) 1.計(jì)算積分積分路徑是直線段。 解:令，則： 。 2.計(jì)算積分路徑是（1）直線段，(2)右半單位圓，（3)左半單位圓。 解:， ,則 , ５.不用計(jì)算,證明下列分之值為零,其中為單位圓。 （1）,(2）,(3）， 解：（1）因

5、為函數(shù)在單位圓所圍的區(qū)域內(nèi)解析，所以。 （2）因?yàn)楹瘮?shù)在單位圓內(nèi)解析，所以。 (3） ６.計(jì)算,,，。 解:。 。 。 。 7.由積分之值，證明，其中取單位圓。 證明：因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分圍道外，故，現(xiàn)令,則在上,， , 比較可得:， 。 第三章　柯西定理 柯西積分（2） 8.計(jì)算： （1)。 解： 。 １0.設(shè)表圓周,,求。 解:設(shè)，它在復(fù)平面內(nèi)解析，故當(dāng)時(shí),則由哥西積分公式有，所以 。 1１.求積分從而證明:。 解：由于，函數(shù)在處不解析，。 令,則 ,故 ，所以 ，即 。 13.設(shè),利用本章例５驗(yàn)證哥西積分公式以及哥西求

6、導(dǎo)公式。提示：把寫成。 證明:設(shè),則式的右邊為可寫為： 　由哥西積分定理有： ，所以右邊, 即 左邊=右邊。 再由式子可知當(dāng)時(shí),,成立。 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立。則 當(dāng)時(shí)，成立。 所以。 14.求積分(1），(2),其中 解：(1）被積函數(shù)有奇點(diǎn),該奇點(diǎn)在積分圍道內(nèi),由哥西積分求導(dǎo)公式有: 第四章　　解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示(１) 2．將下列函數(shù)展為含的冪級(jí)數(shù),并指明展式成立的范圍： (1),(2）, (3)，(4）， 　(５)(6), (1）解：原式=　 　 （2）解：原式= 　 ｜z|<∞ (3)解：原式= ｜z|<∞ （4

7、)解:原式= 　 |z|<∞ (５）解：原式＝　　 　|ｚ|<∞ (６）解;原式= 　 　 ｜z|<1 4．寫出的冪級(jí)數(shù)至少含項(xiàng)為止，其中。 解:, 兩式相乘得 5.將下列函數(shù)按的冪展開,并指明收斂范圍： (1）， 　 　 　 （2), (３）， 　　 　 (４), 解：(1）原式= （2）原式= 　　 　 (３） 　 (４）解:原式 　　 6．設(shè)，證明,指出此級(jí)數(shù)展式之前5項(xiàng),并指出收斂范圍。 解：(）， ） 原式= 　 　 第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示(２） 9

8、．將下列函數(shù)在指定環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù): (１） 解：原式 在內(nèi)，上式 在內(nèi)，上式 (２), 解：原式 （3) 解：原式 (4), 解:當(dāng)時(shí),原式= 當(dāng)時(shí),原式= (5）,。 解： 。 10.將下列各函數(shù)在指定點(diǎn)的無(wú)心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù),并指出成立的范圍: （1） ，其中。 解: 　 　 （2） ， 解：， １1．把展成下列級(jí)數(shù)： (1)在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。 解:， 　。 (２)在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。 解；， (３)在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。 解：原式， ||<１ (4)在上展成的泰勒級(jí)數(shù)。 解：原式　 　

9、 1２.把展成在下列區(qū)域收斂的羅朗或泰勒級(jí)數(shù): (1), 解:原式, (2） 解：原式, （3) 解：原式， (４） 解:原式, （５） 解:原式 , (6) 解:原式 。 (7) 解:原式 　　 　　 　 第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示(3) 13.確定下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出他們是什么樣的類型，對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)也要加以討論: （1） 解:孤立奇點(diǎn)為:， 對(duì)于原式=Z為一階極點(diǎn) ,原式=為二階極點(diǎn)， 同理:也為二階極點(diǎn)。 對(duì)，原式＝,由于，即為可去奇點(diǎn)。 (2) 解：，為二階極點(diǎn)。 即為可去極點(diǎn)。 （3)

10、解；,為一階極點(diǎn)。 即為可去極點(diǎn)。 (4) 解:為本性極點(diǎn)。 即在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為可去極點(diǎn)。 （5) 解：z=0,即ｚ=0時(shí),有(m-１)階極點(diǎn), 即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為可去極點(diǎn)。 (6） 解:，即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為可去極點(diǎn)。 (７） 解:,, (k=0,， )一階極點(diǎn), 不存在，為本性極點(diǎn)。 (８） 解:,，　 ,一階極點(diǎn)。 即可去極點(diǎn)。 （９) 解:,三階極點(diǎn)， (10) 解： ,,一階極點(diǎn),＞不存在 （１1) 解:,為本性奇點(diǎn),即為可去奇點(diǎn)。 (１2) 解:,一階極點(diǎn),可去奇點(diǎn)。 １4.設(shè)分別以為階極點(diǎn)，試問為的什么樣的特點(diǎn)。 解；設(shè)

11、 （1） 　 (m+n）階極點(diǎn)　 　 （2） 　 　　　(３) 所以 當(dāng)ｍ≠ｎ時(shí) z=a為ｆ+g的mａx{m,n}階極點(diǎn) 當(dāng)ｍ=n時(shí)　 　 15.設(shè)，且以為解析點(diǎn)或極點(diǎn),而以為本性奇點(diǎn),證明是,，的本性奇點(diǎn)。 證明:設(shè) 顯然其中主要部分有無(wú)限項(xiàng)。 所以z=a是f(z)+ (z)的本性奇點(diǎn)。 所以z=a是ｆ(ｚ)（ｚ）及的本性奇點(diǎn)。 16．討論下列函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。 （１) 解: 二階極點(diǎn)。 (2) 解：可去極點(diǎn)。 (3) 解: 由上得:＝1　 　 從而得：z=∞為本性奇點(diǎn)。 (4) 解：　 可去奇點(diǎn)。 第五章　

12、殘數(shù)及其應(yīng)用（1) 1. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的殘數(shù). 在 解:當(dāng)時(shí),＝, 當(dāng)時(shí)，. 求時(shí)的殘數(shù)，用殘數(shù)和定理,即, , 在 解:由題可知,是本題的極點(diǎn),將用羅朗展開得: =,求,　。 （3)在. 解:將原式用羅朗展開得：=，，根據(jù)殘數(shù)和定理，. (4)在， 解： 的奇點(diǎn)為１,將用羅朗展開式展開得： 所以,, 根據(jù)殘數(shù)和定理得：? 2．求下列函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn))處的殘數(shù)(是自然數(shù)). 解:將式子用羅朗展開，當(dāng). 當(dāng)ｍ為奇數(shù)時(shí)，殘數(shù)為０,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),，根據(jù)殘數(shù)和定理， (2) 解:是函數(shù)的一階極點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)， , 解:本題是以

13、為階極點(diǎn)，以為其一階極點(diǎn). - 根據(jù)殘數(shù)和定理得: －+=0 (4) 解:是以為二階極點(diǎn)， 根據(jù)殘數(shù)定理和得：． 解:用羅朗展開式展開得:本題以為一階極點(diǎn). = 當(dāng)時(shí)有解,則,,所以，根據(jù)殘數(shù)和定理得：－ 解：本題以為其孤立齊點(diǎn)． 解：本題以為奇點(diǎn)。 用羅朗展開式得： 原式得:，所以 解:本題以為階極點(diǎn)。所以 = 第五章　殘數(shù)及其應(yīng)用（２） 3．計(jì)算下列積分。 解：用殘數(shù)方法求,用羅朗展式展開, 由上式可已看出沒有符合殘數(shù)要求的項(xiàng)，所以，即=0。 解:用殘數(shù)方法求解, 在有 二階極點(diǎn),ｉ有一階極點(diǎn). (z

14、+i） （3),，n為自然數(shù)。 解:分別以為其階極點(diǎn)。 =,＝ 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),＝ 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),=0 （4) 解:在圍線內(nèi)，有兩個(gè)不解析點(diǎn), , 　 　　 即= (5) （6) 解：本題以為其一階極點(diǎn)。 =,　 　 =。 即=－=-= ４.求下列積分值。 (1)(a>1) 解:= 由于分母有兩個(gè)一階極點(diǎn):,,很明顯只有 所以只有符合題意,所以， 即＝＝ (2） 解：原式等于= 在時(shí),只有的一個(gè)一階極點(diǎn)． ,所以,＝２ （3) (>０) 解:原式＝=＝－ 令，則為其二階極點(diǎn).所以 即＝ (a為是實(shí)數(shù)而且) 解：＝-= ５．

15、求下列個(gè)積分的值。 (1) 解：函數(shù)在上半平面有兩個(gè)一階極點(diǎn)：。 , 所以，= (2) 解:函數(shù)在上半平面有一個(gè)二　階極點(diǎn)。 = 所以,= （３） 解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)。所以=令= 在上半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。 所以，= (４) (m>0,a>１) 解:由于是偶函數(shù)，而且在上半平面只有兩個(gè)一階極點(diǎn)： 同理, 所以,＝ (5） 解：= 函數(shù)＝在上半平面有兩個(gè)一階極點(diǎn): 而， 即= 第七章 一維波動(dòng)方程的傅氏解 1． 今有一弦，其兩端被釘子釘緊，作自由,它的初位移為: ,初速度為0,試求其付氏解,其中h為已知常數(shù)。 解：所求問題是一維波動(dòng)方程的混合問

16、題:,根據(jù)前面分離變量解法得其傅氏解為:。 其中，, ， 于是所求傅氏解為: 2．將前題之初始條件改為:，試求其傅氏解。 解:所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題: 。 3今有一弦,其兩端和為釘所固定,作自由搖動(dòng),它的初位移為０。初速度為 ，其中為常數(shù),試求其傅氏解。 解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題： 4.今有一弦，其兩端固定在和兩處,在開始一瞬間，它的形狀是一條以過 點(diǎn)的鉛垂線為對(duì)稱拋物線,其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ｈ,假定沒有初速度,試用付氏方法求弦的振動(dòng)情況： 解:設(shè)其拋物線方程為,將點(diǎn)代入得: ,故方程為，即 , 所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題,

17、 , 5求解混合問題。 解：， 。 6．求解混合問題。 解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題:　 第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解 １．一根長(zhǎng)為的樞軸,它的初溫為常數(shù),其兩端的溫度保持為0，試求在樞軸上溫度的分布情況。 解：所求問題為熱傳導(dǎo)方程混合問題,其付氏解為： 　　 , 其中： 故: 5．有一兩端無(wú)界的樞軸,其初始溫度為,試求在樞軸上的溫度分布為。 解：所求問題為熱傳導(dǎo)方程初值問題, 其付氏解為: = = ＝ =0 故: ６.利用前題的結(jié)果，證下面重要的定積分:。 解:由上題結(jié)論： 當(dāng)時(shí), ， 即: 令,則有： 即: 　　得證。 第九章 拉普拉斯方程圓的狄利克雷問題付氏解（１） 1、試證明拉普拉斯方程在極坐標(biāo)下的形式為:。